Anal-Geo Aufgabe < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | A(1/2/3), B(1/0/1), C(1/0/0)
1) Geradengleichung durch A und B im Vektorraum. Wenn möglich in Koordinatenform
2) Ebene im Vektorraum durch ABC. Wenn möglich in Koordinatenform
3) Abstand D(5/5/5) von der Ebene
4) Spiegelpunkt D* zur Ebene berechnen.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Frage 1 dürfte wohl g:x= Vektor(1,2,3)+t(0,2,2) sein.
Nur wie kommt man auf die Koordinatenform.
Das selbe bei Frage 2)
Denke, dass die Ebene folgendermaßen lauten muss: E:x=(1,2,3)+ t(0,2,2)+r(0,0,-1)
Wie kommt man auf die Koordinatenform?
bei Frage 3 und 4, weiß ich nur, dass ich den Normalenvektor anwenden muss. Nur wie?
Lautet dieser n=(-2,0,0)?
Hoffe ihr könnt mit der Beschreibung etwas anfangen.
Danke für eure HIlfe
Mfg Damnation
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 So 28.05.2006 | | Autor: | cfe0705 |
also die gerade ist richtig, aber die ebene wäre
E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\3} [/mm] + t [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 2} [/mm] + s [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
und die Koordinatengleichung macht man in dem man die die vektoren in die x,y und z werte einsetzt.
d.h. x=1+2s
y=2+2t+2s
z=3+2t+3s
und dann einfach das gleichungssystem auflösen.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:36 So 28.05.2006 | | Autor: | Damnation |
zu Frage 1: die lautet ja g:x=(1.2.3)+t(0.2.2)
wenn ich das Gleichungssystem erstelle:
I. X1=1
II. X2=2+2t
III. X3=3+3t
komm ich zu nem Problem. I ist ja schon "fertig". die andren beiden löse ich nach t auf und setzte die eine in die andre ein. dann hab ich ne Gleichung(2*x3-2*x2=4) mit X2 und X3. Wie erhalte ich dann die Koordinatenform?
Zu Frage 4:
Ich hab jetzt rausgefunden, dass man den Abstand mit der HNF berechnet. hab ich auch für Punkt D. Wie erhalte ich jetzt den Spiegelpunkt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:11 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Damnation |
Hallo nochmal,
seit gestern suche ich meine Mathe-Bücher und das Internet nach einer Lösung durch. Ohne erfolg. Da ich die Aufgabe für mein morgiges Colloquium unbedingt brauche, wäre ich sehr dankbar, wenn nochmal jemand helfen könnte. Wie erhalte ich den Spiegelpunkt, wenn ich den zu spiegelnden Punkt, den Abstand dieses Punktes und die Ebene gegeben habe?
Mfg Damnation, der verzweifelt ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:55 Mo 29.05.2006 | | Autor: | riwe |
in gottes namen:
1) [mm] g:\vec{x}=\vektor{1\\2\\3}+t\vektor{0\\1\\1}
[/mm]
eine koordinatenform einer geraden in R3 gibt es nicht, das sollte man wissen.
2) in der einfachsten form E: [mm] \vec{x}=\vektor{1\\0\\0}+t\vektor{0\\1\\1}+s\vektor{0\\0\\1}.
[/mm]
einen normalenvektor bestimmt man mit dem vektorprodukt oder da [mm] \vec{n}=\vektor{n_1\\n_2\\n_3} [/mm] auf die beiden spannvektoren senkrecht steht, mit hilfe des skalarproduktes und lösen des entsprechenden linearen gleichungssystems
[mm] 0n_1+n_2+n_3=0 [/mm]
[mm] 0n_1+0n_2+n_3=0
[/mm]
das liefert den normalenvektor [mm] \vec{n}=\vektor{1\\0\\0} [/mm] und damit E: x = 1, indem man den punkt A einsetzt in ax +by+cz= d.
3) den abstand berechnest du mit hilfe der HNF - selber suchen - zu d [mm] =\frac{5-1}{1}=4.
[/mm]
4) und zur ermittlung des spiegelpunktes legst du eine zu E senkrechte gerade durch D, schneidest mit E (gibt P(1/5/5)) und "verlängerst" die strecke SP um den abstand d, das liefert D*(-3/5/5).
das mußt du selber ausrechnen und kontrollieren.
und das ding heißt analytische geometrie nicht anal geomatrie, igittigitt!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:59 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo riwe!
> 2) in der einfachsten form E: [mm]\vec{x}=\vektor{1\\0\\0}+t\vektor{0\\1\\1}+s\vektor{0\\0\\1}.[/mm]
Wie kommst Du denn auf den ersten Richtungsvektor?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:56 Mo 29.05.2006 | | Autor: | riwe |
hallo loddar,
sollte ich mich schon wieder einmal vertan haben?
aus [mm] \overrightarrow{AB}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo riwe!
> aus [mm]\overrightarrow{AB}[/mm]
Das ist aber falsch, wenn Du den Punkt $C_$ als Stützpunkt wählst!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 Mo 29.05.2006 | | Autor: | riwe |
hallo loddar
WARUM???
soweit ich weiß, - das ist nicht sehr weit, aber trotzdem -, ist die einzige EINDEUTIGE darstellung einer ebene die normalvektorform, und der parameterformen gibt es zahllose, unter anderem auch die von mir.
begründung: alle 3 punkte liegen in E(meinige), was will man mehr, und sie liefert daher auch die richtige koordinatendarstellung x = 1.
ernsthafte begründung - oder versuch dazu: die ebene ist eindeutig bestimmt durch 2 (beliebige) linear unabhängige vektoren (oder linearkombinationen von irgendsowas) und einen beliebigen punkt, die in ihr liegen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:15 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo riwe!
Deine Ebenengleichung mag ja richtig sein. Aber da würde mich echt interessieren, wie Du auf diese gekommen bist (System oder einfach probiert?).
Vom Didaktischen gesehen ist es mehr als unglücklich, das hier einfach nur so kommentarlos hinzuhauen.
Denn die Parameterdarstellung aus 3 gegebenen Punkten $A_$ , $B_$ und $C_$ ermittelt sich zu (o.B.d.A. wurde $A_$ als Aufpunkt gewählt):
$E \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \overrightarrow{O\red{A}}+r*\overrightarrow{\red{A}B}+s*\overrightarrow{\red{A}C} [/mm] \ = \ [mm] \overrightarrow{OA}+r*\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)+s*\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\right)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:39 Mo 29.05.2006 | | Autor: | riwe |
wie man eine parameterform der ebene findet, ist mir durchaus vertraut. und meine ebenengleichung ist richtig und nicht falsch, sie dreht sich sozusagen doch!
das ganze hat sich natürlich aus dem davor entwickelt, und aus der sogenannten "dringlichkeit" des schreibers - seinen namen sehe ich ja jetzt nicht. eine parameterform der ebene hatte er ja auch schon gefunden, die war also gar nicht das problem, sondern eine darstellung in koordinatenform. (darum steht ja auch da "..in...."), und ich wollte ihm/ihr nur den weg aufzeigen, wie es weitergeht. das kann man ja nun auch selbst mit anderen vektoren machen, wenn man will.
zu deiner frage system oder probieren: "einfachster" punkt + die 2 "einfachsten" vektoren. sowas sieht man eben.
aber du hast schon recht: didaktisch war es nicht das gelbe vom ei.
andererseits verbessert es vielleicht das verständnis darüber, was vektoren sind.
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