Analyse Multivar. Normalvert. < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $X = [mm] (X_{1},X_{2})^{T}$ [/mm] normalverteilt mit Erwartungswert [mm] \mu [/mm] und Kovarianzmatrix [mm] \Sigma. [/mm] Sei
[mm] $A:=\begin{pmatrix}\cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta)\end{pmatrix}$
[/mm]
Wie ändern sich die Hauptachsen und die zugehörigen Eigenwerte bei einer Analyse von AX anstelle von X?
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Hallo!
Da $X [mm] \sim N(\mu,\Sigma)$, [/mm] ist [mm] $AX\sim N(A\mu, A\Sigma A^{T})$. [/mm] (Multivariate Normalverteilung)
In der Vorlesung haben wir dann gesagt, dass wegen [mm] \Sigma [/mm] symmetrisch und positiv definit eine Orthonormalmatrix $P$ existiert mit [mm] $P*P^{T} [/mm] = [mm] P^{T}*P [/mm] = I$ und Diagonalmatrix [mm] \Lambda, [/mm] sodass
[mm] $\Sigma [/mm] = [mm] P*\Lambda*P^{T}$ [/mm] ist und [mm] $\Lambda [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}\lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2}\end{pmatrix}$.
[/mm]
Und diese [mm] \lambda_{i} [/mm] waren dann auch die Eigenwerte, die wir bei der Hauptachsenanalyse / transformation verwendet haben.
Wir haben dann noch verwendet, dass die Orthonormalmatrizen [mm] $P^{T}\in \IR^{2\times 2}$ [/mm] entweder die Gestalt
[mm] $P^{T} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}\cos(\phi) & \sin(\phi) \\ -\sin(\phi) & \cos(\phi)\end{pmatrix}$
[/mm]
oder eine leicht andere (Drehungen und Spiegelungen) haben.
Nun habe ich im obigen Fall erstmal dasselbe angenommen, dann sieht das bei mir ja so aus:
[mm] $A\Sigma A^{T} [/mm] = [mm] A*P*\Lambda A^{T}*P^{T} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}\cos(\theta+\phi) & -\sin(\theta+\phi) \\ \sin(\theta+\phi) & \cos(\theta+\phi)\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}\lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2}\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}\cos(\theta+\phi) & \sin(\theta+\phi) \\ -\sin(\theta+\phi) & \cos(\theta+\phi)\end{pmatrix}$
[/mm]
Würde das nicht aber bedeuten, dass die Eigenwerte die gleichen bleiben, weil die äußeren beiden Matrizen wieder orthonormal sind?
Oder habe ich da etwas falsch verstanden?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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hi
da A wirklcih nur eine drehmatrix ist, ist es schon logisch, dass sich die eigenwerte nicht ändern, sondern die hauptachsentransformation hier die ganze sache nur dreht, nur um welchen winkel?
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Hallo horst,
danke für deine Antwort.
Wie aus meinen Berechnungen hervorgeht, würde sich das Ganze ja dann um den Winkel [mm] \phi+\theta [/mm] drehen...
Grüße,
Stefan
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