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Hallo!
Bei der Input-Output-Analyse nach Leontjef lautet die Formel zur Ermittlung der Produktionsmenge x:
x = (I - [mm] A)^{-1} [/mm] b
I ... Identitätsmatrix
A ... Produktionsmatrix
b ... externe Nachfrage
In meinem Lehrbuch steht weiters dazu:
"Dabei stellen sich zwei Fragen: Wann ist die Matrix (I − A) invertierbar und wann sind alle Koeffizienten der Inversen nichtnegativ? Die letzte Bedingung ist wichtig, da sich für beliebigen Nachfragevektor b mit [mm] b_{j} [/mm] ≥ 0 auch ein Lösungsvektor x mit [mm] x_{j} [/mm] ≥ 0 ergeben muss! Das ist aber genau dann der Fall, wenn alle Koeffizienten der inversen Matrix (I − [mm] A)^{−1} [/mm] nichtnegativ sind."
Irgendwie verstehe ich die letzte Aussage nicht: Wieso müssen alle Koeffizienten von (I − [mm] A)^{−1} [/mm] nichtnegativ sein, damit alle [mm] x_{j} [/mm] >= 0 sind?
Was ist, wenn gilt:
(I − [mm] A)^{−1} [/mm] := [mm] \pmat{ 2 & -1 \\ 1 & 1 }
[/mm]
b := [mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
... dann ist x = [mm] \vektor{1 \\ 2}
[/mm]
Also sind alle [mm] x_{j} [/mm] >= 0 obwohl nicht "alle Koeffizienten der inversen Matrix (I − [mm] A)^{−1} [/mm] nichtnegativ sind."
Kann mir da einer helfen?
Gruß und Danke,
Martin
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Hiho,
du hast völlig recht, dass es zu einzelnen b durchaus Matrizen geben kann, die auch negative Einträge haben. Das war aber nicht die Aussage des Textes. Dort soll sichergestellt werden, dass für beliebige Vektoren b mit nichtnegativen Einträgen ein Lösungsvektor x mit nichtnegativen Einträgen herauskommt.
Oder anders formuliert: für alle b mit nichtnegativen Einträgen.
Und da kann man eben recht schnell zeigen, dass dann auch alle Koeffizienten der invertierten Matrix nichtnegativ sein müssen.
Gruß
Gono
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