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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:20 Sa 26.11.2011 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Man sagt, x > 0 ist die n-te Wurzel von y > 0 (in Formeln x = [mm] \wurzel[n]{y}=
[/mm]
[mm] y^{1/n} [/mm] ), wenn [mm] x^n [/mm] = y gilt. Die n-te Wurzel einer positiven Zahl ist
eindeutig bestimmt. Man beweise
lim [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] =1
n -> [mm] \infty
[/mm]
indem man auf der rechten Seite der Gleichung n = [1 + ( [mm] \wurzel[n]{n}-1)]^n [/mm] den binomischen Lehrsatz anwendet und dann geschickt abschätzt. |
Ich verstehe irgendwie gar nicht wie ich das angehen soll.
Kann mir wer einen Anstoß zum Lösungsweg geben?
rechte seite welcher Gleichung?
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Hallo quasimo,
> Man sagt, x > 0 ist die n-te Wurzel von y > 0 (in Formeln x = [mm]\wurzel[n]{y}=[/mm]
> [mm]y^{1/n}[/mm] ), wenn [mm]x^n[/mm] = y gilt. Die n-te Wurzel einer
> positiven Zahl ist eindeutig bestimmt. Man beweise
> lim [mm]\wurzel[n]{n}[/mm] =1 n -> [mm]\infty[/mm]
> indem man auf der rechten Seite der Gleichung
> [mm]n = [1 + (\wurzel[n]{n}-1)]^n[/mm] den binomischen Lehrsatz anwendet und
> dann geschickt abschätzt.
> Ich verstehe irgendwie gar nicht wie ich das angehen soll.
Verwende wie im Hinweis den binomischen Lehrsatz:
[mm] n=\left[1+(\wurzel[n]{n}-1)\right]^n=\sum_{i=0}^n(\wurzel[n]{n}-1)^i\geq \binom{n}{2}(\wurzel[n]{n}-1)^2.
[/mm]
Es ist also [mm] (\wurzel[n]{n}-1)^2 [/mm] Nullfolge (warum?). Damit folgt, dass auch [mm] (\wurzel[n]{n}-1) [/mm] Nullfolge ist.
LG
> Kann mir wer einen Anstoß zum Lösungsweg geben?
> rechte seite welcher Gleichung?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Sa 26.11.2011 | | Autor: | quasimo |
Ich weiß zwar nicht warum du genau für 2 abschätz - aber egal, wird schon nen grund haben
[mm] \binom{n}{2}(\wurzel[n]{n}-1)^2 [/mm]
= [mm] \begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix} [/mm] ( [mm] \wurzel[n]{n^2} [/mm] - 2 [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] + 1)
Ich weiß - ich sollte es selber sehen ;( Aber ich seh leider nicht warum das einer Nullfolge enspricht.. Ein weiterer Ansatz wäre toll ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 Sa 26.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du sollst das nicht so umformen, sonder die ungleichungskette ansehen und vielleich so umschreiben, das da [mm] (\wurzel[n]{n}-1)^2 [/mm] alleine vorkommt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Sa 26.11.2011 | | Autor: | quasimo |
[mm] \begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix}
[/mm]
Den Ausruck kann ich aber doch nicht beim abschätzen weglassen?
$ [mm] \binom{n}{2}(\wurzel[n]{n}-1)^2 [/mm] $
wie sehe ich das es sich um eine Nullfolge handelt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 Sa 26.11.2011 | | Autor: | quasimo |
Hat noch wer anders einen Tipp?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Sa 26.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
nochmal: schreib die ganze ungleichung hin und schreib $ [mm] \begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix} [/mm] $ aus und diividiere die Ungleichung dadurch.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Sa 26.11.2011 | | Autor: | quasimo |
$ [mm] n=\left[1+(\wurzel[n]{n}-1)\right]^n=\sum_{i=0}^n(\wurzel[n]{n}-1)^i\geq \binom{n}{2}(\wurzel[n]{n}-1)^2 [/mm] = [mm] \frac{n!}{(n-2)!*2} (\wurzel[n]{n}-1)^2
[/mm]
Durch was soll ich den dividieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Sa 26.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> $
> [mm]n=\left[1+(\wurzel[n]{n}-1)\right]^n=\sum_{i=0}^n(\wurzel[n]{n}-1)^i\geq \binom{n}{2}(\wurzel[n]{n}-1)^2[/mm]
> = [mm]\frac{n!}{(n-2)!*2} (\wurzel[n]{n}-1)^2[/mm]
>
> Durch was soll ich den dividieren?
da du was über [mm] (\wurzel[n]{n}-1)^2) [/mm] sagen willst durch das, was dabeisteht, durch was denn sonst. und schreib das gekürzt hin!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Sa 26.11.2011 | | Autor: | quasimo |
> $ [mm] n=\left[1+(\wurzel[n]{n}-1)\right]^n=\sum_{i=0}^n(\wurzel[n]{n}-1)^i\geq \binom{n}{2}(\wurzel[n]{n}-1)^2 [/mm] $ = $ [mm] \frac{n!}{(n-2)!\cdot{}2} (\wurzel[n]{n}-1)^2 [/mm] $
= [mm] \frac{(n^2-n)((\wurzel[n]{n}-1)^2)}{2}
[/mm]
da
[mm] \frac{n!}{(n-2)!\cdot{}2} [/mm] = [mm] \frac{(n-1)*n}{2} [/mm] =
Stimmt das so?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Sa 26.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Fragen kommen zu schnell!! damit müssen wir alle deine flüchtigkeitsfehler ausbügeln.
also schreib Z und N mal mit Pünktchen! übrigens, alle binomialkoeff. sind ganze zahlen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Sa 26.11.2011 | | Autor: | quasimo |
Nach Überprüfung hab ich trotzdem dass selbe wie oben. Was stimmt denn daran nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Sa 26.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
bitte schreib mal n! und (n-2)! hin welches hat mehr Faktoren?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Sa 26.11.2011 | | Autor: | quasimo |
Habe versucht [mm] v_1 [/mm] zu richten. Bin mir aber unsicher.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Sa 26.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist das letzte mal, dass ich endlos zurückscrolle um zu verstehen, was du meinst. lies mal dein post!
für jemand der diesen thred nachliest, weil er vielleicht dieselbe frage hat ist das durch dein Verbessern Irrsinn geworden.
bitte schreib Berichtigungen neu! und stell allgemeinverständliche fragen. Ich bin nicht der einzige helfer mehr.
Wenn du das als persönliches Tutorium auffasst klinkt ich mich mal ne Weile aus.
ja, jetzt ist richtig.
aber wie gesagt, wenn du weitere fragen dazu hast, stell sie so ,, dass jeder sie versteht ohne alle zu lesen!
ich mach mal pause.
Gruss leduart
PS ist dir mal aufgefallen, dass andere im forum sich kurz begrüßen, manchmal danken, manchmal um was bitten sich verabschieden? hier ist wirklch kein chatraum
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Sa 26.11.2011 | | Autor: | quasimo |
leduart: habe [mm] v_1 [/mm] dazugeschrieben, also relativ einfach zu finden-
Nochmal,
$ [mm] n=\left[1+(\wurzel[n]{n}-1)\right]^n=\sum_{i=0}^n(\wurzel[n]{n}-1)^i\geq \binom{n}{2}(\wurzel[n]{n}-1)^2 [/mm] $ = $ [mm] \frac{n!}{(n-2)!\cdot{}2} (\wurzel[n]{n}-1)^2 [/mm] $
= $ [mm] \frac{(n^2-n)((\wurzel[n]{n}-1)^2)}{2} [/mm] $
Soll ich das ausmultiplizieren?Geht - aber hilft mir nichts
Kürzen - wüsste ich nicht was.
Ein Hinweis für den weiteren Weg würde mir sehr helfen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Sa 26.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
siehe a-2 und a-3
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Sa 26.11.2011 | | Autor: | quasimo |
$ [mm] n=\left[1+(\wurzel[n]{n}-1)\right]^n=\sum_{i=0}^n(\wurzel[n]{n}-1)^i\geq \binom{n}{2}(\wurzel[n]{n}-1)^2 [/mm] $ = $ [mm] \frac{n!}{(n-2)!\cdot{}2} (\wurzel[n]{n}-1)^2 [/mm] $
= $ [mm] \frac{(n^2-n)((\wurzel[n]{n}-1)^2)}{2} [/mm] $
/ : [mm] \frac{n^2-n}{2}
[/mm]
[mm] =\frac{2 ((n^2-n)((\wurzel[n]{n}-1)^2)}{2(n^2-n))} [/mm]
wie dividiere ich aber die summe durch den ausdruck?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:35 Sa 26.11.2011 | | Autor: | Lu- |
Hei, ich hab dieselbe Frage in meinen Kurs. Komme da aber auch nicht weiter.
Also pushe ich die Frage mal ;) SIe ist so ja noch wichtiger zu beantworten - wenn eine Antwort zwei Probleme auf einmal löst!
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:25 So 27.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du mal wirklich die post durchliest , die GANZE ungeleichungskette von vorn vis hinten ansiehst und durch den Faktor der nun endlich feststeht teilst. was steht dann ganz links und ganz rechts?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 So 27.11.2011 | | Autor: | quasimo |
Wie in meiner obigen ABtwort geschrieben weiß ich nicht wie ich eine Summe durch den Ausdruck dividiere. SIehe meine obere Antwort.
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Hallo quasimo,
> Wie in meiner obigen ABtwort geschrieben weiß ich nicht
> wie ich eine Summe durch den Ausdruck dividiere. SIehe meine obere Antwort.
Du wurdest inzwischen von mehreren darauf hingewiesen:
Deine Art und Weise, hier Fragen zu stellen, verursacht sehr unübersichtliche Threads. Bitte denk erst einmal gründlich nach, bevor Du die nächste Frage stellst. Du selbst könntest Zeit einsparen und deine Threads nur halb so lang werden. Du brauchst dich andernfalls nicht zu wundern, wenn Du weniger Antworten erhältst.
In meiner ersten Antwort habe ich eigentlich schon das Konzept angegeben und Dir natürlich noch ein paar Stellen zum Nachdenken überlassen.
> Verwende wie im Hinweis den binomischen Lehrsatz:
>
> $ [mm] n=\left[1+(\wurzel[n]{n}-1)\right]^n=\sum_{i=0}^n(\wurzel[n]{n}-1)^i\geq \binom{n}{2}(\wurzel[n]{n}-1)^2. [/mm] $
>
> Es ist also $ [mm] (\wurzel[n]{n}-1)^2 [/mm] $ Nullfolge (warum?). Damit folgt, dass auch $ [mm] (\wurzel[n]{n}-1) [/mm] $ Nullfolge ist.
Zum "warum":
Du brauchst doch lediglich die Ungleichung umzustellen.
[mm] n\geq\binom{n}{2}(\wurzel[n]{n}-1)^2 \gdw n\geq\frac{n(n-1)}{2}(\wurzel[n]{n}-1)^2 \gdw \frac{2}{n-1}\geq(\wurzel[n]{n}-1)^2.
[/mm]
Aufgrund der Monotonie der Wurzelfunktion folgt dann noch
[mm] (\wurzel[n]{n}-1)\leq\sqrt{\frac{2}{n-1}}.
[/mm]
Es ist [mm] \wurzel[n]{n}-1 [/mm] also Nullfolge und somit konvergiert [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] gegen 1.
LG
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