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| Aufgabe | Gegebene Funktion: f(x)= [mm] x^t-5x^2+4!
[/mm]
Schlussfolgern sie ohne weitere Rechnung auf zwei Eigenschaften, die jede Stammfunktion der dargestllten Funktion f besitzt!
Bestimmen Sie integral der funktion f für t =3 in den intervallgrenzen -1 bis 5 und deuten sie das ergebnis grafisch!
Der Graph einer Funktion f mit t ungleich 2 besitz an der stelle x eine horizontale Tangente. Für dei 2. Ableitung gilt f´´(x) = 30. Ermitteln sie aus diesen angaben die ganze Zahl t, sowie eine Gleichung der horizontalen Tangenete! |
Hey Leute; hab da mal wieder einige Fragen zu einer ganz bestimten FunktionJ
Die gegeben Funktion lautet ja f(x) = [mm] x^t 5x^2+4
[/mm]
So ich soll jetzt ohne weitere Rechnung auf zwei Eigenschaften, die jede der Stammfunktion der dargestellten Funktion f besitzt!
Meine Stammfunktion lautet F(x)= (x^(t+1))/(t+1) - [mm] 5x^3 [/mm] / 3 +4x, ja aber was kann ich jetzt über die Eigenschaften der Funktion aussagen???
Nun soll ich das Integral der Funktion f 3 (x) dx im Intervall von 1bis 5 berechnen und dieses Ergebnis grafisch deuten
..
Das Ergebnis des Integrals ist 30! Das bedeutet doch, dass die eingeschlossene Fläche des grafen mit der x- achse ( sind ja 2 teilflächen) und das schmale stück von 1 bis zur ersten nullstelle bei ca 0,8 eine größe von 30 Flächeneinheiten hat, oder? Aber wie kann ich das grafisch deuten
??? Reicht das wenn ich die betroffene fläche in meiner zeichnung schraffiere?
So und im letzten teil der aufgabe geht es darum:
Bei der Tangentenproblematik setzte ich doch die erste ableitung 0! Danach bilde ich die zweite Ableitung und setzte die 30 und setze dann diese beiden gleichungssystem gleich und lass es mir nach t umstellen, oder? Aber das funktioniert nicht??????? hab ich da was vergessen??und iwe setzte ich bei der Gleichung an?
Danke schon mal für eure HilfeJ
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Zu den Eigenschaften kann ich leider wenig sagen, da ich nicht weiß welche Eigenschaften ihr bei der Kurvendiskussion sonst so betrachtet.
Bei der graphischen Interpretation musst Du vorsichtig sein. Du hast den Wert des Integrals mit -30 richtig berechnet. Allerdings handelt es sich sozusagen um den "Saldo" der Flächen. Also Fläche oberhalb der x-Achse abzüglich Fläche unterhalb der x-Achse.
Genauer kannst Du die einzelnen Flächeninhalte berechnen indem Du die Nullstelle der Funktion innerhalb des Intervalls bestimmst und dann Abschnittsweise das Integral berechnest.
Beim letzten Teil der Aufgabe liegst Du völlig richtig:
[mm] f'(x) = 0 \Rightarrow tx^t-1 - 10x = 0 \Rightarrow x = (\bruch{10}{t})^{\bruch{1}{t-2}} [/mm]
sowie
[mm] f''(x) = t(t-1)x^{t-2} - 10 = 30 [/mm]
Einsetzen, t berechnen (=5), x berechnen [mm] (=2^{1/3}), [/mm] f(x) berechnen und dann hast Du auch die Tangente.
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Hey....ich komm da noch nciht ganz zur lösung!
wenn ich die erste ableitung bilde: erhalte ich:t+x^(t-1)-10x und für die zweite ableitung erhalte ich [mm] x^{t-2}+(t^2-t)-10 [/mm] und so..die erste ableitung setzte ich 0 und die zweite setzte ich laut aufgabe 30! und dass alss ich mir jetzt nach t umstellen.....da kommt aber keine ganze zahl für t raus, sondern irgendwelche formeln.......??
und selbst wenn t nun 5 sein soll, dann errechne ich x mit der ersten oder zwieten ableitung??? kommen nämlich unterschieldiche ergebnisse raus, einmal das schon genannte und wenn ich es in die erste ableitung einsetzte erhalte ich für x -2^(1/4) und 2^(1/4) und dann errechen ich f(dem jeweiligen x) und dann??? wie groß is denn mein Anstieg???? und n für dei gleichung f(x)=mx+n???
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Gehen wir es nochmal Schritt für Schritt durch.
Deine erste Ableitung war:
[mm] f'(x) = tx^{t-1} - 10x = 0 [/mm]
Da hast zwar t+x geschrieben, aber meinst glaube ich tx.
Diese Ableitung hatte ich ja schon in meiner Antwort gestern angegeben, durch einen Formatierungsfehler ist da wohl die -1 aus dem Exponenten nach unten gerutscht. Entschuldigung dafür.
Mein Vorschlag war hier nach x aufzulösen und das Ergebnis in die zweite Gleichung einzusetzen. Schritt für Schritt:
[mm] tx^{t-1} - 10x = 0 \Rightarrow tx^{t-1} = 10x
\Rightarrow tx^{t-2} = 10 \Rightarrow x^{t-2} = \bruch {10}{t}
\Rightarrow x = (\bruch {10}{t})^\bruch{1}{t-2} [/mm]
Soweit bist Du hoffenlich einverstanden. Jetzt die zweite Ableitung:
[mm] f''(x) = t(t-1)x^{t-2} - 10 = 30 \Rightarrow t(t-1)x^{t-2} = 40 [/mm]
Jetzt können wir für x [mm] (\bruch {10}{t})^\bruch{1}{t-2} [/mm] einsetzen:
[mm] t(t-1)((\bruch {10}{t})^\bruch{1}{t-2})^{t-2} = 40 \Rightarrow t(t-1)((\bruch {10}{t}) = 40 \Rightarrow (t-1)*10 = 40 \Rightarrow t-1 = 4 \Rightarrow t = 5[/mm]
Jetzt kannst Du x bestimmen, egal ob mit der ersten Ableitung oder Zweiten oder auch direkt, da wir ja wissen:
[mm] x = (\bruch {10}{t})^\bruch{1}{t-2} \Rightarrow (\bruch {10}{5})^\bruch{1}{3} \Rightarrow x = 2^\bruch{1}{3} [/mm]
Als nächstes berechnest Du f(x). Du hast dann einen Punkt der Tangente (x,f(x)) und kennst ihre Steigung (die war ja 0).
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