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Analysis: Integral
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:19 Di 11.01.2005
Autor: studentin

Hallo!
Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe, habe leider weder ein Ansatzpunkt noch eine Beweisidee, wäre sehr sehr dankbar, wenn mir einer hilft!!

Es sei
a) g(x,y):= { [mm] (x^3 y^5) [/mm] / [mm] (x^4 [/mm] + [mm] y^4)^2 [/mm]     falls (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0) }
            { 0                     falls (x,y) = (0,0)}  

Zeige, dass  
[mm] \partial [/mm] / [mm] \partial [/mm] y  [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {g(x,y) dx}|y=0 [mm] \not= \integral_{0}^{1} \partial [/mm] / [mm] \partial [/mm] y  g(x,y) | y=0 dx



Es sei
b) f(x,y):= { [mm] (x^2 [/mm] - [mm] y^2) [/mm] / [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2)^2 [/mm]     falls (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0) }
            { 0                         falls (x,y) = (0,0)}  

          


Zeige, dass  
[mm] \integral_{0}^{1} [/mm] ( [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {f(x,y)dy}) dx = [mm] \pi/4 [/mm] = - [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] ( [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {f(x,y)dx}) dy


Danke in Voraus!


        
Bezug
Analysis: Hinweis zu b)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:19 Di 11.01.2005
Autor: MathePower

Hallo,

ich habe folgenden Hinweis zu b)

[mm]\frac{{x^2 \; - \;y^2 }}{{\left( {x^2 \; + \;y^2 } \right)^2 }}\; = \;\frac{1}{{x^2 \; + \;y^2 }}\; - \;\frac{{2y^2 }}{{\left( {x^2 \; + \;y^2 } \right)^2 }}\; = \;\frac{{ - 1}}{{x^2 \; + \;y^2 }}\; + \;\frac{{2x^2 }}{{\left( {x^2 \; + \;y^2 } \right)^2 }}[/mm]

Diese kannst Du verwenden um die Gleichung zu beweisen.

Zu zeigen ist also:

[mm]\int\limits_0^1 {\int\limits_0^1 {\frac{{ - 1}}{{x^2 \; + \;y^2 }}\; + \;\frac{{2x^2 }}{{\left( {x^2 \; + \;y^2 } \right)^2 }}\;dy\;dx} } \; = \; - \int\limits_0^1 {\int\limits_0^1 {\frac{1}{{x^2 \; + \;y^2 }}\; - \;\frac{{2y^2 }}{{\left( {x^2 \; + \;y^2 } \right)^2 }}\;dx\;dy} } [/mm]

Bei der Berechnung des Wertes des Doppelintegrals habe ich noch keine Möglichkeit gefunden diesen zu verifizieren.

Ist bei a) g(x,y) identisch mit f(x,y)?

Gruss
MathePower




Bezug
                
Bezug
Analysis: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:39 Mi 12.01.2005
Autor: studentin

Hallo Mathe Power!

Danke für die schnelle Hilfe, aber die Aufleitung klappt bei mir leider auch nicht, kann man vielleich irgendwie in den Nenner minus reinmogeln? Damit ich ihn (den Nenner) in zwei Produkte aufteilen kann. Oder wie kann man es anders ausrechnen?

Sorry, bei Aufgabe a)  habe ich mich nur vertippt es sollte beide Male g(x) sein. Habe auch schon verbessert.

Liebe Grüße
Studentin


Bezug
                        
Bezug
Analysis: Substititution
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:02 Do 13.01.2005
Autor: MathePower

Hallo studentin,

ich muss zugeben, dass die Aufgabe b) etwas schwer ist.
Trotzdem bin ich dahintergekommen, wie diese Aufgabe anzugehen ist.

Probiere es mal mit einer geeigneten Substitution.

Im Falle von [mm]\int {f\left( {x,y} \right)\;dx} [/mm] mit der Substitution [mm]x\; = \;y\;\tan \left( u \right)[/mm]. Dann wird daraus [mm]\int {f\left( {u,y} \right)\;du} [/mm].


Im Falle von [mm]\int {f\left( {x,y} \right)\;dy} [/mm] mit der Substitution [mm]y\; = \;x\;\tan \left( u \right)[/mm]. Dann wird daraus [mm]\int {f\left( {x,u} \right)\;du} [/mm].

Nach Berechnung dieser Integrale stösst Du auf ein Integral ähnlicher Bauart. Hier kannst Du ebenfalls solch eine Substitution verwenden.

Ist Dir der Begriff "Funktionaldeterminante" ein Begriff?

Gruss
MathePower




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