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hi, wie integriere ich
[mm] \integral\bruch{3x-2}{x^{2}-6x+13}
[/mm]
Anika
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Hallo Anika,
> hi, wie integriere ich
>
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> [mm]\integral\bruch{3x-2}{x^{2}-6x+13}[/mm]
Faktorisiere den Nenner (Nullstellen bestimmen) und mache eine Partialbruchzerlegung:
[mm] $\frac{3x-2}{x^2-6x+13}=\frac{A}{x-x_1}+\frac{B}{x-x_2}$
[/mm]
Dann hast du eine leicht zu integrierende Summe ...
>
> Anika
LG
schachuzipus
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Das Problem welches ich hierbei habe ist, dass wenn ich die Nullstellen bestimme diese gleich komplexe Zahlen sind:
[mm] 3\pm\wurzel{\bruch{36}{4}-13}
[/mm]
deshalb weiß ich nicht, wie ich weiterrechnen soll
Viel Grüße
Anika
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Hallo nochmal,
> Das Problem welches ich hierbei habe ist, dass wenn ich die
> Nullstellen bestimme diese gleich komplexe Zahlen sind:
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> [mm]3\pm\wurzel{\bruch{36}{4}-13}[/mm]
>
> deshalb weiß ich nicht, wie ich weiterrechnen soll
Mea culpa, tut mir leid, ich hatte die [mm] $\red{+}13$ [/mm] im Nenner als $-13$ gelesen ...
So gibt's keine reellen NSTen
Also neuer Ansatz:
[mm] $\int{\frac{3x-2}{x^2-6x+13} \ dx}=\frac{3}{2}\cdot{}\int{\frac{2x-\frac{4}{3}}{x^2-6x+13} \ dx}$
[/mm]
[mm] $=\frac{3}{2}\cdot{}\left[\int{\frac{2x-6}{x^2-6x+13} \ dx} \ + \ \frac{14}{3}\cdot{}\int{\frac{1}{x^2-6x+13} \ dx}\right]$
[/mm]
Nun ist das erste Integral ein logarithmisches, also von der Bauart [mm] $\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}$
[/mm]
Das hat bekanntlich die Stfkt. [mm] $\ln(|f(x)|)+C$
[/mm]
(zu berechnen per Substitution $u=u(x):=f(x)$
Für das hintere mache eine quadr. Ergänzung im Nenner und erinnere dich an das Integral
[mm] $\int{\frac{1}{z^2+1} \ dz}=\arctan(z)+C$, [/mm] und du wirst auf eine entsprechende Substitution kommen ...
> Viel Grüße
> Anika
Gruß
schachuzipus
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