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Wie weisse ich nach ob f:[0,unendlich)--->[0,unendlich)
[mm] x--->x^2
[/mm]
und f^-1:[0,unendlich)--->[0,unendlich)
x---> [mm] \wurzel{x}
[/mm]
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Sorry Die Frage sollte heissen:
Wie finde ich heraus das die beiden Funktionen Gleichmäßig stetig sind?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 Mi 23.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Florian,
die Frage ist nicht: "Wie finde ich heraus, dass die Funktionen glm. stetig sind?", sondern:
"...ob die Funktionen glm. stetig sind?"
Also:
Sei [mm] $f_1:[0, \infty) \rightarrow \IR$ [/mm] gegeben durch [mm] $f_1(x):=x^2$.
[/mm]
Behauptung:
[mm] $f_1$ [/mm] ist nicht glm. stetig!
Beweis:
Angenommen, doch. Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gegeben und ohne Einschränkung können wir zusätzlich [mm] $\varepsilon \in [/mm] (0,1)$ (d.h. [mm]0 < \varepsilon < 1[/mm]) annehmen. Unter der Annahme, dass [mm] $f_1$ [/mm] glm. stetig ist, existiert dann ein [m]\delta=\delta_{\varepsilon} > 0[/m], so dass für alle [m]x_1,x_2 \in [0, \infty)[/m] mit [m]|x_1-x_2| < \delta[/m] gilt:
[mm] $|f_1(x_1)-f_1(x_2)| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm]
Wir betrachten nun [mm]y_1:=\frac{1}{\delta}[/mm] (beachte: [m]\delta > 0[/m]) und [mm]y_2:=y_1+\frac{\varepsilon \delta}{2}[/mm].
Dann sind [mm]y_1,y_2 \in [0, \infty)[/mm] und es gilt:
(I)[m]|y_1-y_2|=\frac{\varepsilon \delta}{2} < \frac{\delta}{2} < \delta[/m] (beachte: [mm]\varepsilon \in (0,1)[/mm]).
Außerdem gilt:
[mm]|f_1(y_1)-f_1(y_2)|=|y_1^2-(y_1+\frac{\varepsilon \delta}{2})^2|=|y_1^2-(y_1^2+y_1*\delta*\varepsilon+\frac{\varepsilon^2 \delta^2}{4})|=|-y_1*\delta*\varepsilon-\frac{\varepsilon^2 \delta^2}{4}|[/mm]
[mm]= \varepsilon+\frac{\varepsilon^2 \delta^2}{4} \ge \varepsilon[/mm]
(beachte, dass [mm] $y_1*\delta=1$ [/mm] gilt).
Widerspruch!
(Denn wegen (I) müßte ja, wenn [mm] $f_1$ [/mm] glm. stetig wäre, auch [m]|f_1(y_1)-f_1(y_2)| < \varepsilon[/m] gelten!)
Nun zu der zweiten Aufgabe:
Sei [mm]f_2: [0,\infty) \rightarrow \IR[/mm] definiert durch [m]f_2(x):=\wurzel(x)[/m].
Behauptung:
[mm] $f_2$ [/mm] ist glm. stetig!
Beweis:
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gegeben. Sei [mm]\delta:=\frac{\varepsilon^2}{4}[/mm] (und damit ist auch [mm]\delta > 0[/mm]).
Dann gilt für alle [mm]x_1,x_2 \in [0,\infty) [/mm] mit [mm]|x_1-x_2| < \delta[/mm] (ohne Einschränkung gelte [mm] $x_2 [/mm] > [mm] x_1$):
[/mm]
[mm]|f_2(x_2)-f_2(x_1)|=|\wurzel(x_2)-\wurzel(x_1)|=\wurzel(x_2)-\wurzel(x_1)=\frac{x_2-x_1}{\wurzel(x_2)+\wurzel(x_1)}=\frac{\wurzel(x_2-x_1)*\wurzel(x_2-x_1)}{\wurzel(x_2)+\wurzel(x_1)} \le \wurzel(x_2-x_1) < \wurzel(\delta)=\wurzel(\frac{\varepsilon^2}{4})=\frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon [/mm]
(Beachte: Für $a,b [mm] \ge [/mm] 0$ mit $a > b$ gilt:
[mm]\frac{\wurzel(a-b)}{\wurzel(a)+\wurzel(b)} \le 1[/mm])
Bemerkung:
Dass für [mm]x_1=x_2[/mm] ([mm]x_1,x_2 \in [0,\infty)[/mm]) die Ungleichung [mm]|f_2(x_2)-f_2(x_1)| < \varepsilon [/mm] gilt, ist trivial, weil dann:
[mm]|f_2(x_2)-f_2(x_1)|=|f_2(x_2)-f_2(x_2)|=0 < \varepsilon[/mm] gilt!
Viele Grüße
Marcel
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Vielen dank für die Rasche Antwort !!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Mi 23.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Bitteschön! 
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HI
Da ich diese Aufgabe nicht nur Abschreiben möchte sondern auch irgendwie verstehen möchte habe ich noch nee frage wie man auf die Idee kommt die Funktionen so umzustellen bzw. erweitern.
$ [mm] |f_2(x_2)-f_2(x_1)|=|\wurzel{x_2}-\wurzel{x_1}|=\wurzel{x_2}-\wurzel{x_1}=\frac{x_2-x_1}{\wurzel{x_2}+\wurzel{x_1}}=\frac{\wurzel{x_2-x_1}\cdot{}\wurzel{x_2-x_1}}{\wurzel{x_2}+\wurzel{x_1}} \le \wurzel{x_2-x_1} [/mm] < [mm] \wurzel{\delta}=\wurzel{\frac{\varepsilon^2}{4}}=\frac{\varepsilon}{2} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $
$ [mm] |f_1(y_1)-f_1(y_2)|=|y_1^2-(y_1+\frac{\varepsilon \delta}{2})^2|=|y_1^2-(y_1^2+y_1\cdot{}\delta\cdot{}\varepsilon+\frac{\varepsilon^2 \delta^2}{4})|=|-y_1\cdot{}\delta\cdot{}\varepsilon-\frac{\varepsilon^2 \delta^2}{4}| [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Mi 23.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> HI
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> Da ich diese Aufgabe nicht nur Abschreiben möchte sondern
> auch irgendwie verstehen möchte habe ich noch nee frage wie
> man auf die Idee kommt die Funktionen so umzustellen bzw.
> erweitern.
>
>
>
>
[mm]|f_2(x_2)-f_2(x_1)|=|\wurzel{x_2}-\wurzel{x_1}|=\wurzel{x_2}-\wurzel{x_1}=...[/mm]
Nun, bis hier hin ist alles klar, denke ich. Wir wissen jetzt aber nur etwas über [mm] $|x_1-x_2|$ [/mm] (bzw. [mm] |x_2-x_1|, [/mm] was aber das gleiche ist  ), deswegen sollte man hier einfach den "Blick" dafür haben, dass wir das ins Spiel bringen können durch die dritte binomische Formel (dann steht nämlich [m]x_2-x_1[/m] im Zähler). Deswegen erweitere ich mit: [mm] $\wurzel{x_2}+\wurzel{x_1}$
[/mm]
[mm]...=\frac{x_2-x_1}{\wurzel{x_2}+\wurzel{x_1}}=\frac{\wurzel{x_2-x_1}\cdot{}\wurzel{x_2-x_1}}{\wurzel{x_2}+\wurzel{x_1}} ...[/mm]
und dass es hier nützlich ist, [mm]x_2-x_1[/mm] in [mm]\wurzel(x_2-x_1)*\wurzel(x_2-x_1)[/mm] umzuschreiben, kann man eigentlich erst erahnen, wenn man die Ungleichung, welche ich dir dazugeschrieben habe (die mit den Variablen $a,b$), kennt, oder "sieht" (oder beides ). Glücklicherweise steht dann auch weiterhin unser "guter Ausdruck" [m]x_2-x_1[/m] unter der Wurzel. Ist zwar nicht ganz so schön, wie, wenn er alleine steht, aber immer noch akzeptabel.
[mm]...\le \wurzel{x_2-x_1} < \wurzel{\delta}...[/mm]
Als ich das da stehen hatte, habe ich mir einfach überlegt:
Wann ist denn [mm] $\wurzel(\delta) [/mm] < [mm] \varepsilon$? [/mm] Na, zum Beispiel für [mm]\wurzel(\delta)=\frac{\epsilon}{2}[/mm], also [mm]\delta=\frac{\varepsilon^2}{4}[/mm], und das ist dann auch $>0$. Aus ästhetischen Gründen habe ich das aber beim Beweis vorne stehen!
[mm]...=\wurzel{\frac{\varepsilon^2}{4}}=\frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon[/mm]
>
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> [mm]|f_1(y_1)-f_1(y_2)|=|y_1^2-(y_1+\frac{\varepsilon \delta}{2})^2|=|y_1^2-(y_1^2+y_1\cdot{}\delta\cdot{}\varepsilon+\frac{\varepsilon^2 \delta^2}{4})|=|-y_1\cdot{}\delta\cdot{}\varepsilon-\frac{\varepsilon^2 \delta^2}{4}|[/mm]
Also: Warum ich mir das [mm] $y_1$ [/mm] und das [mm] $y_2$ [/mm] gerade so definiert habe, ist jetzt schwer zu erklären. Ich habe einfach ein bisschen rumprobiert, bis ich etwas hatte, was gepasst hat. Ist zwar nicht die schönste Methode, aber wenn sie funktioniert, spricht doch nichts dagegen!
Man kann durch berechnen von [mm] $f_1(x+h)-f_1(x)$ [/mm] wahrscheinlich auch mit einigen Umformungen eine Darstellung erreichen, so dass man sieht, was man für $x$ (hier: [mm] $\in [/mm] [0, [mm] \infty)$) [/mm] und $h (>0)$ definieren muss, damit es passt (also so, dass man sieht: [mm] $|f_1(x+h)-f_1(x)| \ge \varepsilon$, [/mm] wenn man $x:=...$ setzt und dann [mm] $h:=\frac{\delta}{2}$. [/mm] Das [mm] $\frac{\delta}{2}$ [/mm] ist deshalb schon geeignet, weil dann [mm] $|(x+h)-x|=|h|=\frac{\delta}{2} [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] gilt. Du könntest aber auch [mm] $\frac{\delta}{3}$ [/mm] oder sonstiges nehmen, hauptsache kleiner als [mm] $\delta$...).
[/mm]
Aber da ich das nun einfach so zusammengebastelt habe, will ich mir, ehrlich gesagt, dazu nicht auch noch Gedanken machen.
Vielleicht bekommst du noch von jemand anderem Tipps dazu (die dritte binomische Formel kann bestimmt wieder helfen ), ich lasse die Frage deshalb mal auf 'teilweise beantwortet' stehen.
Viele Grüße
Marcel
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