Analysis zusammenges. Aufg. 1 < VK 29: Oberstufe < VK Abivorbereitungen < Schule < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Mo 29.12.2008 | | Autor: | argl |
| Aufgabe |
Gegeben seien die Funktionen $f(x) = [mm] x^3 [/mm] - [mm] 9x^2 [/mm] + 24x$ und $g(x) = [mm] x^3 [/mm] - [mm] 6x^2 [/mm] - 9x $.
a) Untersuchen Sie f auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. Bestimmen Sie jeweils die Koordinaten der Punkte und geben Sie diese an.
b) Erstellen Sie eine Wertetabelle für $ 1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 5 $.
c) Zeichnen Sie die Graphen von f und g für $ -0,5 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 5,5 $ in ein gemeinsames Koordinatensystem.
d) Zeigen Sie, dass f und g genau zwei Punkte gemeinsam haben.
e) Zeigen sie, dass die Graphen von f und g sich in gleichgrossen Winkeln schneiden und bestimmen Sie die grösse dieser Schnittwinkel.
f) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der von f und g eingeschlossenen Fläche.
g) Zeigen Sie, dass die Wendetangenten von f und g parallel verlaufen. Die Wendetangenten bilden mit den Koordinatenachsen ein Trapez. Bestimmen Sie dessen Flächeninhalt.
h) Die Graphen von f und g schneiden aus den Parallelen zur y-Achse für $ 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 5 $ eine Strecke heraus. Bestimmen Sie die maximale Länge dieser Strecken. |
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[mm] f(x)=x^3-9x^2+24x [/mm] und [mm] g(x)=x^3-6x^2-9x
[/mm]
a) Untersuchung von f auf Nullstellen (NST), Extrema und Wendepunkte (WP):
Nullstellen sind dort wo f(x)=0 gilt:
zuerst schreibe ich den Funktionsterm von f um und setze ihn gleich Null:
[mm] f(x)=x(x^2-9x+24)=0
[/mm]
[mm] x_N_1=0
[/mm]
[mm] x_N_{2,3}=4.5\pm\wurzel{4.5^2-24} [/mm] da der Wert unter der Wurzel negativ ist, gibt es neben der Null keine weiteren reellen NST !
Für das Vorliegen von Extrema muss die 1.Ableitung gleich Null sein:
[mm] f'(x)=0=3x^2-18x+24 [/mm] wir teilen den rechten Gleichungsterm durch 3 (den linken, d.h. die Null natürlich auch !):
[mm] 0=x^2-6x+8
[/mm]
[mm] x_{1,2}=3\pm\wurzel{9-8}=3\pm1
[/mm]
[mm] x_1=4 [/mm] und [mm] x_2=2
[/mm]
Eingesetzt in f ergibt dies die Extrempunkte [mm] E_1 [/mm] (2 | 20) und [mm] E_2 [/mm] (4 | 16), um Hoch- und Tiefpunkt zu bestimmen benutzt man die 2.Ableitung:
f''(x)=6x-18 Einsetzen von [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] ergibt:
f''(2)=-6 dies ist < 0 also liegt hier ein Hochpunkt (HP (2|20)) vor.
f''(4)=+6 dies ist > 0 also liegt hier ein Tiefpunkt (TP (4|16) vor.
Bestimmung des Wendepunktes von f:
Voraussetzungen für das Vorliegen eines Wendepunktes sind:
[mm] f''(x_{WP})=0 [/mm] und [mm] f'''(x_{WP}) \not= [/mm] 0
f''(x)=0=6x-18 d.h. x=3 f(3)=18
da f'''(3)=6 ist, liegt bei (3 | 18) der WP von f.
b) Wertetabelle (von f und g) für 1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 5:
x=1 f(x)=16 g(x)=-14
x=2 f(x)=20 g(x)=-34
x=3 f(x)=18 g(x)=-54
x=4 f(x)=16 g(x)=-68
x=5 f(x)020 g(x)=-70
c) Zeichnung der Graphen von f und g für -0.5 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 5.5 in einem gemeinsamen Koordinatensystem:
Der Graph von g kommt vom linken oberen Quadranten, geht durch den Ursprung in den rechten unteren Quadranten, ändert an einem Wendepunkte seine Richtung, durchläuft einen Tiefpunkt und steigt nach oben an, schneidetdie x-Achse etwa bei x=7 und steigt anschließend sehr steil ( im 1.Quadranten) an.
Der Graph von f kommt aus dem linken unteren Quadranten nach oben durch den Ursprung, durchläuft den Hochpunkt (siehe a)), ändert beim Wendepunkt (siehe a)) seine Richtung nach links, durchläuft den Tiefpunkt (siehe a)) und steigt links neben dem Graphen von g im 1.Quadranten steil nach oben. Weiter oben (darauf komme ich später) schneiden sich f und g.
d) f und g sollen 2 Punkte gemeinsam haben, ich setze f(x)=g(x) und berechne die Schnittpunkte:
[mm] x^3-9x^2+24x=x^3-6x^2-9x |-x^3+6x^2+9x [/mm] ergibt
-3x+33x=0 oder -3x(x-11)=0 Dies ergibt [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=11.
[/mm]
Eingesetzt in f und/oder g ergibt dies die beiden Schnittpunkte: [mm] S_1 [/mm] (0 | 0) und [mm] S_2 [/mm] (11 | 506)
e) Die Graphen von f und g sollen sich in gleichgroßen Winkeln schneiden, d.h die Winkel zwischen den Tangenten in P und Q sollen gleich groß sein !
Wir betrachten zuerst den Punkt [mm] S_1 [/mm] (0 | 0). Für die Steigung von f und g in diesem Punkt benötigen wir die 1.Ableitung:
[mm] f'(x)=3x^2-18x+24 [/mm] und [mm] g'(x)=3x^2-12x-9
[/mm]
wenn wir die Werte von [mm] S_1 [/mm] einsetzen, ergibt dies:
[mm] f'(x_{S1})=24 [/mm] und [mm] g'(x_{S1})=-9 [/mm] d.h. die Steigung der 1.Tangente = [mm] m_1 [/mm] = 24 und die der 2.Tangente = [mm] m_2=-9
[/mm]
Die (bisher vorliegende) Tangentengleichung lautet: [mm] t_1(x_{S1})=m_1((x_{S1}) [/mm] + n
Da dieser Schnittpunkt im Ursprung liegt, ist n = 0. Dies trifft auch für die andere Tangente zu. Die Tangentengleichungen lauten nun richtig:
[mm] t_1(x)=24x [/mm] und [mm] t_2(x)=-9x
[/mm]
Da sich die Graphen ebenso wie diese beiden Tangenten im Punkt [mm] S_1 [/mm] schneiden, berechnen wir nun die beiden Winkel. Dazu nehmen wir den [mm] Tangens^{-1} [/mm] von 24 und -9.
[mm] tan^{-1} [/mm] (24) = 87,614 Grad und [mm] tan^{-1} [/mm] (-9)= -83.659 Grad.
Welche Schnittwinkelgröße genau gemeint war, war mir nicht schlüssig.
Meiner Meinung nach müsste es der spitze Winkel zwischen den beiden Tangenten sein:
Diesen erhielt ich, indem ich ihn mit [mm] tan^{-1}(\bruch{1}{9}) [/mm] + [mm] tan^{-1}(\bruch{1}{24})= [/mm] 8.726 Grad berechnete.
Für die Tangenten von [mm] S_2 [/mm] (11 | 506) machte ich es ähnlich:
[mm] f'(x)=3x^2-18x+24 [/mm] und [mm] g'(x)=3x^2-12x-9 [/mm] ergab nach Einsetzen:
f'(11)=189 und g'(11)=222
Die Tangentengleichungen müssten dann lauten:
[mm] t_f(x_{S2})= [/mm] 506 =189*11+n [mm] \Rightarrow [/mm] n=-1573 und [mm] t_g(x_{S2})= [/mm] 506 =222*11+n [mm] \Rightarrow [/mm] n=-1936
Die Tangentengleichungen für [mm] S_2 [/mm] heißen nun:
[mm] t_f_{S2}(x)=189x-1573 [/mm] und [mm] t_g_{S2}(x)=222x-1936
[/mm]
Diesmal haben beide Tangenten positive Steigungen. Erneut gibt es einen spitzen Winkel, den ich wie folgt berechnete:
180 Grad - [mm] tan^{-1}(189) [/mm] - [mm] tan^{-1}(222) [/mm] =0.5612 Grad
f) Gesucht wird der Flächeninhalt der von f und g eingeschlossenen Fläche.
Wir erhalten die gesuchte Fläche, indem wir die Differenzfunktion d integrieren.
d(x)=f(x)-g(x) Der Graph von f liegt über dem von g (ansonsten kann man auch Betragsstriche setzen)
[mm] d(x)=x^3-9x^2+24x [/mm] - [mm] (x^3-6x^2-9x)=-3x^2 [/mm] + 33x oder besser = -3x(x-11)
Nun benötigen wir noch die NST von d, um die untere und obere Intervallgrenze zu erhalten.
Aus der Funktionsgleichung von d erhalten wir das Intervall [0 ; 11]
Jetzt brauchen wir noch die Stammfunktion D(x) :
[mm] D(x)=-x^3+ 16.5x^2
[/mm]
[mm] A=\integral_{0}^{11}{d(x) dx} [/mm] = [mm] [-x^3+16.5x^2]^{11}_0 [/mm] = [mm] -11^3 [/mm] + [mm] 16.5*11^2= [/mm] 665.5 FE
g) Gezeigt werden soll, dass die beiden Wendetangenten parallel verlaufen. Dann soll die Fläche eines Trapezes berechnet werden, das die Wendetangenten mit den Koordinatenachsen bilden.
Aus Aufgabe a) ist ja der Wendepunkt von f [mm] WP_f [/mm] (3 | 18) bekannt.
Zum Berechnen der Wendetangente benötiguen wir die Steigung im Wendepunkt (=1.Ableitung von f):
[mm] f'(3)=3*3^2-18*3+24= [/mm] -3 Die Wendetangente von f hat also die Steigung m=-3
Die gesuchte Gleichung dieser Wendetangente sieht (im Moment) so aus:
[mm] t_f(x_{WP})=-3*x_{WP} [/mm] + n
Nach Einsetzen ergibt dies : n=27
Die Wendetangente von f heißt nun : [mm] t_f_{WP}(x)=-3x [/mm] +27
Nun bestimmen wir das Ganze noch für g:
Der Wendepunkt ergibt sich aus [mm] g''(x_{WP})=0=6x-12 [/mm] dies ergibt den WP (2 | -34)
nun die Werte in die 1.Ableitung:
[mm] g'(x_{WP})= 3*2^2-12*2-9= [/mm] -21 jetzt fiel mir natürlich auf, dass die Steigung der 2.Wendetangente mit der der 1.Wendetangente nicht übereinstimmte. Insofern können die beiden Tangenten nicht parallel sein !
übrigens: für die Wendetangente von g bekam ich heraus: [mm] t_g_{WP}(x)= [/mm] -21x +8
Voraussetzung für parallele Geraden ist auch, dass [mm] g_1(x) \not= g_2(x) [/mm] (und x = {} = Nullmenge)
Wenn man nun aber die beiden Wendetangenten gleichsetzt, erhält man (wie man sieht) einen Schnittpunkt ! :
[mm] t_f_{WP}(x)=t_g_{WP}(x)
[/mm]
und nach Einsetzen der entsprechenden Terme:
-3x+27=-21x+8 | +21x-27
18x=-19 und
x = [mm] -\bruch{19}{18} [/mm] mit dem Schnittpunkt S [mm] (-\bruch{19}{18} [/mm] | [mm] \bruch{181}{6}) [/mm] !
Die zu berechnende Trapezfläche kann nun auch nicht berechnet werden, da in dem entstandenen Viereck keine 2 parallelen Seiten vorliegen, also kein Trapez vorliegt !
h) Gesucht wird die von den Graphen von f und g begrenzte maximale Strecke parallel zur y-Achse für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 5
Wenn man sich die Graphen von f und g anschaut, liegen die entsprechenden f-Streckenteile im positiven Bereich und die g-Streckenteile im negativen Bereich !
Um die Berechnung zu vereinfachen, bilden wir wie bei der Flächenberechnung die Differenzfunktion d(x)=f(x)-g(x)
d(x)=-3x(x-11) Bei d handelt es sich um eine quadratische Funktion mit den beiden NST bei x=0 und x=11 sowie dem Hochpunkt (5.5 | [mm] 90\bruch{3}{4}). [/mm] (Dies ergab d'(x)=0=-6x+33 und d''(x)=-6 also < 0.
Da die Werte für d bis zum Hochpunkt bei x=5.5 ansteigen, kann die gesuchte maximale Streckenlänge nur bei x=5 liegen !
also d(5)=90 LE
Ich bin gespannt, ob ich richtig gerechnet oder ob ich mich irgendwo total vertan habe.
Schorsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:45 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schorsch!
> Nullstellen sind dort wo f(x)=0 gilt:
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zuerst schreibe ich den Funktionsterm von f um und setze
> ihn gleich Null:
>
> [mm]f(x)=x(x^2-9x+24)=0[/mm]
>
> [mm]x_N_1=0[/mm]
>
> [mm]x_N_{2,3}=4.5\pm\wurzel{4.5^2-24}[/mm] da der Wert unter der
> Wurzel negativ ist, gibt es neben der Null keine weiteren
> reellen NST !
> Für das Vorliegen von Extrema muss die 1.Ableitung gleich
> Null sein:
>
> [mm]f'(x)=0=3x^2-18x+24[/mm] wir teilen den rechten Gleichungsterm
> durch 3 (den linken, d.h. die Null natürlich auch !):
>
> [mm]0=x^2-6x+8[/mm]
>
> [mm]x_{1,2}=3\pm\wurzel{9-8}=3\pm1[/mm]
> [mm]x_1=4[/mm] und [mm]x_2=2[/mm]
> Eingesetzt in f ergibt dies die Extrempunkte [mm]E_1[/mm] (2 | 20)
> und [mm]E_2[/mm] (4 | 16),
> um Hoch- und Tiefpunkt zu bestimmen benutzt man die 2.Ableitung:
>
> f''(x)=6x-18 Einsetzen von [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] ergibt:
>
> f''(2)=-6 dies ist < 0 also liegt hier ein Hochpunkt (HP (2|20)) vor.
> f''(4)=+6 dies ist > 0 also liegt hier ein Tiefpunkt (TP (4|16) vor.
> Bestimmung des Wendepunktes von f:
>
> Voraussetzungen für das Vorliegen eines Wendepunktes sind:
>
> [mm]f''(x_{WP})=0[/mm] und [mm]f'''(x_{WP}) \not=[/mm] 0
>
> f''(x)=0=6x-18 d.h. x=3 f(3)=18
>
> da f'''(3)=6 ist, liegt bei (3 | 18) der WP von f.
> b) Wertetabelle (von f und g) für 1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 5:
>
> x=1 f(x)=16 g(x)=-14
> x=2 f(x)=20 g(x)=-34
> x=3 f(x)=18 g(x)=-54
> x=4 f(x)=16 g(x)=-68
> x=5 f(x)=20 g(x)=-70
> c) Zeichnung der Graphen von f und g für -0.5 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 5.5
> in einem gemeinsamen Koordinatensystem:
>
> Der Graph von g kommt vom linken oberen Quadranten, geht
> durch den Ursprung in den rechten unteren Quadranten,
> ändert an einem Wendepunkte seine Richtung, durchläuft
> einen Tiefpunkt und steigt nach oben an, schneidetdie
> x-Achse etwa bei x=7 und steigt anschließend sehr steil (
> im 1.Quadranten) an.
>
> Der Graph von f kommt aus dem linken unteren Quadranten
> nach oben durch den Ursprung, durchläuft den Hochpunkt
> (siehe a)), ändert beim Wendepunkt (siehe a)) seine
> Richtung nach links, durchläuft den Tiefpunkt (siehe a))
> und steigt links neben dem Graphen von g im 1.Quadranten
> steil nach oben. Weiter oben (darauf komme ich später)
> schneiden sich f und g.
Aber verwende ruhig die korrekte Bezeichnung der Quadranten:
"rechts oben" = 1. Quadrant
"links oben" = 2. Quadrant
"links unten" = 3. Quadrant
"rechts unten" = 4. Quadrant
> d) f und g sollen 2 Punkte gemeinsam haben, ich setze
> f(x)=g(x) und berechne die Schnittpunkte:
>
> [mm]x^3-9x^2+24x=x^3-6x^2-9x |-x^3+6x^2+9x[/mm] ergibt
>
> -3x+33x=0 oder -3x(x-11)=0 Dies ergibt [mm]x_1=0[/mm] und [mm]x_2=11.[/mm]
>
> Eingesetzt in f und/oder g ergibt dies die beiden
> Schnittpunkte: [mm]S_1[/mm] (0 | 0) und [mm]S_2[/mm] (11 | 506)
> e) Die Graphen von f und g sollen sich in gleichgroßen
> Winkeln schneiden, d.h die Winkel zwischen den Tangenten in
> P und Q sollen gleich groß sein !
>
> Wir betrachten zuerst den Punkt [mm]S_1[/mm] (0 | 0). Für die
> Steigung von f und g in diesem Punkt benötigen wir die
> 1.Ableitung:
>
> [mm]f'(x)=3x^2-18x+24[/mm] und [mm]g'(x)=3x^2-12x-9[/mm]
>
> wenn wir die Werte von [mm]S_1[/mm] einsetzen, ergibt dies:
>
> [mm]f'(x_{S1})=24[/mm] und [mm]g'(x_{S1})=-9[/mm] d.h. die Steigung der
> 1.Tangente = [mm]m_1[/mm] = 24 und die der 2.Tangente = [mm]m_2=-9[/mm]
Der weitere Weg über die Tangentengleichungen ist zu umständlich. Verwende hier jeweils die folgende Formel für den Schnittwinkel zweier Geraden:
[mm] $$\tan(\alpha) [/mm] \ = \ [mm] \left|\bruch{m_1-m_2}{1+m_1*m_2}\right|$$
[/mm]
> f) Gesucht wird der Flächeninhalt der von f und g
> eingeschlossenen Fläche.
>
> Wir erhalten die gesuchte Fläche, indem wir die
> Differenzfunktion d integrieren.
>
> d(x)=f(x)-g(x) Der Graph von f liegt über dem von g
> (ansonsten kann man auch Betragsstriche setzen)
> [mm]d(x)=x^3-9x^2+24x[/mm] - [mm](x^3-6x^2-9x)=-3x^2[/mm] + 33x oder besser = -3x(x-11)
> Nun benötigen wir noch die NST von d, um die untere und
> obere Intervallgrenze zu erhalten.
Die kennen wir ja bereits mit den beiden Schnittpunkten aus Aufgabe d.)
> Aus der Funktionsgleichung von d erhalten wir das Intervall
> [0 ; 11]
>
> Jetzt brauchen wir noch die Stammfunktion D(x) :
>
> [mm]D(x)=-x^3+ 16.5x^2[/mm]
> [mm]A=\integral_{0}^{11}{d(x) dx}[/mm] = [mm][-x^3+16.5x^2]^{11}_0[/mm] = [mm]-11^3[/mm] + [mm]16.5*11^2=[/mm] 665.5 FE
> g) Gezeigt werden soll, dass die beiden Wendetangenten
> parallel verlaufen. Dann soll die Fläche eines Trapezes
> berechnet werden, das die Wendetangenten mit den
> Koordinatenachsen bilden.
>
> Aus Aufgabe a) ist ja der Wendepunkt von f [mm]WP_f[/mm] (3 | 18)
> bekannt.
>
> Zum Berechnen der Wendetangente benötiguen wir die Steigung
> im Wendepunkt (=1.Ableitung von f):
>
> [mm]f'(3)=3*3^2-18*3+24=[/mm] -3 Die Wendetangente von f hat also
> die Steigung m=-3
> Die gesuchte Gleichung dieser Wendetangente sieht (im
> Moment) so aus:
>
> [mm]t_f(x_{WP})=-3*x_{WP}[/mm] + n
> Nach Einsetzen ergibt dies : n=27
>
> Die Wendetangente von f heißt nun : [mm]t_f_{WP}(x)=-3x[/mm] +27
> Nun bestimmen wir das Ganze noch für g:
>
> Der Wendepunkt ergibt sich aus [mm]g''(x_{WP})=0=6x-12[/mm] dies
> ergibt den WP (2 | -34)
> nun die Werte in die 1.Ableitung:
>
> [mm]g'(x_{WP})= 3*2^2-12*2-9=[/mm] -21 jetzt fiel mir natürlich auf,
> dass die Steigung der 2.Wendetangente mit der der
> 1.Wendetangente nicht übereinstimmte. Insofern können die
> beiden Tangenten nicht parallel sein !
Richtig beaobachtet / festgestellt.
> übrigens: für die Wendetangente von g bekam ich heraus:
> [mm]t_g_{WP}(x)=[/mm] -21x +8
> Voraussetzung für parallele Geraden ist auch, dass [mm]g_1(x) \not= g_2(x)[/mm]
> (und x = {} = Nullmenge)
>
> Wenn man nun aber die beiden Wendetangenten gleichsetzt,
> erhält man (wie man sieht) einen Schnittpunkt ! :
>
> Die zu berechnende Trapezfläche kann nun auch nicht
> berechnet werden, da in dem entstandenen Viereck keine 2
> parallelen Seiten vorliegen, also kein Trapez vorliegt !
> h) Gesucht wird die von den Graphen von f und g begrenzte
> maximale Strecke parallel zur y-Achse für 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 5
>
> Wenn man sich die Graphen von f und g anschaut, liegen die
> entsprechenden f-Streckenteile im positiven Bereich und die
> g-Streckenteile im negativen Bereich !
>
> Um die Berechnung zu vereinfachen, bilden wir wie bei der
> Flächenberechnung die Differenzfunktion d(x)=f(x)-g(x)
>
> d(x)=-3x(x-11) Bei d handelt es sich um eine quadratische
> Funktion mit den beiden NST bei x=0 und x=11 sowie dem
> Hochpunkt (5.5 | [mm]90\bruch{3}{4}).[/mm] (Dies ergab
> d'(x)=0=-6x+33 und d''(x)=-6 also < 0.
> Da die Werte für d bis zum Hochpunkt bei x=5.5 ansteigen,
> kann die gesuchte maximale Streckenlänge nur bei x=5 liegen !
Das solltest du noch durch die Werte $d(0) \ = \ ...$ bzw. $d(5) \ = \ ...$ untermauern.
> also d(5)=90 LE
Gruß
Loddar
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Danke für die Tipps Loddar !
Die Formel für die Winkelberechnung kannte ich noch nicht. Bei den Quadrantenbezeichnungen war ich mir nicht sicher und umschrieb sie. Bei Behauptungen muss ich noch genauer sein.
Mit Aufgabe 2 habe ich mich dann sehr schwer getan und kam irgendwie nicht weiter...
Näheres folgt...
Schorsch
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