Analytische Fortsetzung Funkt. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Mo 07.03.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich bin nicht sicher ob ich das Thema Analytische Fortsetzung richtig verstehe. Hier der Link:![[]](/images/popup.gif) Analytische Fortsetzung.
Das ist zimlich formal (zu formal) für mich, einen nicht-mathematiker. Wollte aber mal aus interesse fragen, was genau die aussage dieser Fortsetzungsmöglichkeit ist?
Man nehme an, in einem Intervall [2,3] auf der x-Achse seien alle Werte y = f(x) bekannt. Dann ist die Funktion y = f(x) für alle x eindeutig bestimmbar? Kann man das so einfach sagen?
Ich meine, klar, haben wir z.B. 7 Punkte x und jeweils f(x) gegeben, so lässt sich noch lange keine Funktion daraus bestimmen (höchstens ein Polynom 6. Ordnung).
Aber ich nehme ja an auf dem Intervall seien alle Punkte x zu f(x) zugeordnet. Dann hat es ja im Prinzip Unendlich viele Punkte in dem Intervall. Die Taylorentwicklung braucht ja auch nur alle Ableitungen an einer(!) Stelle um die Funktion zu Rekonstruieren.
Trotzdem frage ich mich, ob die Funktion dann wirklich eindeutig bestimmbar ist oder nicht? Denn man kann doch an ein Stück f(x) in einem Intervall [a,b] einfach ein anderes Stück g(x) an [mm] [b,\infty] [/mm] anhängen indem man f(b) = g(b), f'(b) = g'(b), f''(b) = g''(b) gleichsetzt. Dann ist der Übergang doch analytisch?
Danke.
Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Mo 07.03.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
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> Ich bin nicht sicher ob ich das Thema Analytische
> Fortsetzung richtig verstehe. Hier der
> Link:Analytische Fortsetzung.
> Das ist zimlich formal (zu
> formal) für mich, einen nicht-mathematiker. Wollte aber
> mal aus interesse fragen, was genau die aussage dieser
> Fortsetzungsmöglichkeit ist?
>
> Man nehme an, in einem Intervall [2,3] auf der x-Achse
> seien alle Werte y = f(x) bekannt. Dann ist die Funktion y
> = f(x) für alle x eindeutig bestimmbar? Kann man das so
> einfach sagen?
> Ich meine, klar, haben wir z.B. 7 Punkte x und jeweils
> f(x) gegeben, so lässt sich noch lange keine Funktion
> daraus bestimmen (höchstens ein Polynom 6. Ordnung).
> Aber ich nehme ja an auf dem Intervall seien alle Punkte x
> zu f(x) zugeordnet. Dann hat es ja im Prinzip Unendlich
> viele Punkte in dem Intervall. Die Taylorentwicklung
> braucht ja auch nur alle Ableitungen an einer(!) Stelle um
> die Funktion zu Rekonstruieren.
Das ist nicht ganz richtig: es muss in jedem Punkt des Intervalls eine endliche offene Umgebung geben, sodass die Taylorentwicklung um diesen Punkt in dieser Umgebung konvergiert und die Funktion darstellt.
Wenn es einen Punkt in diesem Intervall gibt, sodass die Taylorentwicklung um diesen Punkt im gesamten Intervall konvergiert und die Funktion darstellt, dann stimmt deine Aussage.
Das berühmte Gegenbeispiel ist die Funktion
[mm] f(x) = \begin{cases} \exp\left(-\bruch{1}{x^2}\right), & x\not = 0 \\ 0, & x= 0 \end{cases} [/mm]
die auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert und beliebig oft differenzierbar ist, deren Taylorreihe um 0 aber nur im Punkt $x=0$ konvergiert und identisch gleich 0 ist. Diese Funktion ist also im Punkt 0 und damit in [mm] $\IR$ [/mm] nicht analytisch, wohl aber in jedem offenen Intervall, das den Punkt 0 nicht enthält.
> Trotzdem frage ich mich, ob die Funktion dann wirklich
> eindeutig bestimmbar ist oder nicht? Denn man kann doch an
> ein Stück f(x) in einem Intervall [a,b] einfach ein
> anderes Stück g(x) an [mm][b,\infty][/mm] anhängen indem man f(b)
> = g(b), f'(b) = g'(b), f''(b) = g''(b) gleichsetzt. Dann
> ist der Übergang doch analytisch?
Nein, nur wenn alle, beliebig hohen Ableitungen von f und g an der Stelle b übereinstimmen, denn nur dann stimmen die Potenzreihen überein.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Mi 09.03.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo Rainer,
........Danke........
Trotzdem schwer vorstellbar, dass jede Ableitung übereinstimmen muss. Intuitiv würde ja die zweite Ableitung für einen "schönen Übergang reichen" und man könnte jede beliebige Funktion anknüpfen.
Gruss!
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