Analytische geometrie im Raum < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A = (5=1=0), B = (1=5=2), C = (1=1=6) und die Gerade g
[mm] \vektor{2 \\ -5 \\ -3} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{2 \\ 4 \\ 5}
[/mm]
Die Ebene E enthält die Punkte A B und C.
a) Stellen Sie die Koordinatengleichung der Ebene E auf.
b) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes von E und g.
c) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig und rechtwinklig ist.
d) Der Punkt D bildet zusammen mit A, B und C ein Quadrat mit Mittelpunkt
M. Bestimmen Sie die Koordinaten von D und M.
e) Geben Sie eine Gleichung der Graden g an, die durch B und C geht.
|
Ich schreibe jetzt erstmal wie weit ich gekommen bni
zu a ) Hier mache ich einfach das Vektorprodukt mit AB und AC womit ich auf die Gleichung 2x+y+2z=11 komme
b) Ich stelle mir die Parametergleichung auf :
[mm] \vektor{5 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{-4 \\ 4 \\ 2} [/mm] + [mm] \mu \vektor{-6 \\ 0 \\ 6} [/mm] und setze das Gleich mit meiner gegebenen Graden g was mir auch klar ist!
c) + d) + e) ist jetzt mein Problem was mach ich da bzw. wie Zeig ich das?
Zu e hab ich mir überlegt ich könnte ja einfach Punkt B von Punkt C abziehen und dass da als Gleichung schreiben?
Lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Sa 26.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A =
> (5=1=0), B = (1=5=2), C = (1=1=6) und die Gerade g
> [mm]\vektor{2 \\ -5 \\ -3}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{2 \\ 4 \\ 5}[/mm]
>
> Die Ebene E enthält die Punkte A B und C.
> a) Stellen Sie die Koordinatengleichung der Ebene E auf.
> b) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes von E
> und g.
> c) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig und
> rechtwinklig ist.
> d) Der Punkt D bildet zusammen mit A, B und C ein Quadrat
> mit Mittelpunkt
> M. Bestimmen Sie die Koordinaten von D und M.
> e) Geben Sie eine Gleichung der Graden g an, die durch B
> und C geht.
>
> Ich schreibe jetzt erstmal wie weit ich gekommen bni
> zu a ) Hier mache ich einfach das Vektorprodukt mit AB und
> AC womit ich auf die Gleichung 2x+y+2z=11 komme
>
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> b) Ich stelle mir die Parametergleichung auf :
> [mm]\vektor{5 \\ 1 \\ 0}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{-4 \\ 4 \\ 2}[/mm] + [mm]\mu \vektor{-6 \\ 0 \\ 6}[/mm]
> und setze das Gleich mit meiner gegebenen Graden g was mir
> auch klar ist!
Mach es dir einfacher, und setze die Gerade in die Koordinatenform ein.
[mm] g:\vektor{x\\y\\z}=\vektor{2\\-5\\-3}+\lambda \vektor{2\\4\\5}=\vektor{2+2\lambda\\4\lambda-5\\5\lambda-3}
[/mm]
Das in die Ebene eingesetzt:
[mm] 2(2+2\lambda)+(4\lambda-5)+2(5\lambda-3)=11
[/mm]
Jetzt hast du eine Gleichung für dein [mm] \lambda, [/mm] mit dem du den Schnittpunkt bestimmen kannst.
>
> c) + d) + e) ist jetzt mein Problem was mach ich da bzw.
> wie Zeig ich das?
zu c)
Bestimme dazu mal die Schnittwinkel von [mm] \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} [/mm] und [mm] \overrightarrow{BC}, [/mm] sowie jeweils deren Längen. Dann sollte ein Winkel 90° betragen und zwei Vektoren gleichlang sein.
zu d)
Der Mittelpunkt M liegt ja "auf halbem Weg" der Diagonalen.
Also: [mm] \vec{m}=\vec{a}+\bruch{\overrightarrow{AC}}{2}
[/mm]
Da der Vektor [mm] \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} [/mm] ist(Warum, solltest du noch begründen), gilt:
[mm] \vec{d}=\vec{c}+\overrightarrow{CD}=\vec{c}+\overrightarrow{AB}
[/mm]
>
> Zu e hab ich mir überlegt ich könnte ja einfach Punkt B von
> Punkt C abziehen und dass da als Gleichung schreiben?
Damit hast du deinen Richtungsvektor.
Jetzt brauchst du nur noch den Stützvektor. Dafür kannst du dann [mm] \vec{b} [/mm] oder [mm] \vec{c} [/mm] nehmen.
Also: [mm] h:\vec{x}=\vec{b}+\mu\overrightarrow{BC}
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
> Mach es dir einfacher, und setze die Gerade in die
> Koordinatenform ein.
Danke für den Tipp :) Geht echt einfacher!!
> > c) + d) + e) ist jetzt mein Problem was mach ich da bzw.
> > wie Zeig ich das?
>
> zu c)
> Bestimme dazu mal die Schnittwinkel von
> [mm]\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{BC},[/mm] sowie jeweils deren Längen. Dann
> sollte ein Winkel 90° betragen und zwei Vektoren gleichlang
> sein.
Das hat auch soweit Funktioniert!
Ich berechne mir also :
AB = [mm] \vektor{-4 \\ 4 \\ 2}
[/mm]
AC = [mm] \vektor{-6 \\ 0 \\ 6}
[/mm]
BC = [mm] \vektor{ -2 \\ -4 \\ 4}
[/mm]
AB und BC haben jeweils die selbe länge von 6!
Für AB und BC erhalte ich dann den Winkel 90 Grad
Das ist dann ja alles :) ?
> Damit hast du deinen Richtungsvektor.
> Jetzt brauchst du nur noch den Stützvektor. Dafür kannst
> du dann [mm]\vec{b}[/mm] oder [mm]\vec{c}[/mm] nehmen.
> Also: [mm]h:\vec{x}=\vec{b}+\mu\overrightarrow{BC}[/mm]
Also eine Gerade die durch die beiden Punkte geht wäre also z.b:
BC = [mm] \vektor{0 \\ -4 \\ 4}
[/mm]
Also wäre eine Gerade die durch B und C geht :
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 6} [/mm] + x [mm] \vektor{0 \\ -4 \\ 4}
[/mm]
Wenn cih jetzt noch bestimmen wollte unter welchem Winkel
die Gerade meine Ebene schneidet wie würde ich da vorgehen?
Zu meiner Ebene bestimmte ich mir doch als erstes einen Vektor der orthogonal zu meiner Ebene ist?
Doch was mache ich mit der Gerade?
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Di 29.01.2008 | | Autor: | abakus |
Den Schnittwinkel zweier Geraden (bzw. den Winkel zwichen dem Normalenvektor einer Ebene und dem Richtungsvektor einer Geraden) kann man mit Hilfe des Skalarprodukts bestimmen: [mm] \cos\phi=\bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{a}| }
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:59 Di 29.01.2008 | | Autor: | Marry2605 |
Ja, das ist klar! Nur ich kann ja nicht einfach alles einfach so in meine Skalarproduktformel ensetzen, das war ja genau meine Frage im Post zuvor...
Lg
|
|
|
| |
|
Ich seh grad ich hab meine letzte Frage nicht als Frage sondern als Mitteilung reingestellt...
Deswegen hier nochmal das ganze als Frage :
Wenn ich jetzt noch bestimmen wollte unter welchem Winkel
die Gerade meine Ebene schneidet wie würde ich da vorgehen?
Zu meiner Ebene bestimmte ich mir doch als erstes einen Vektor der orthogonal zu meiner Ebene ist, welchen ich dann in die Formel die du gepostet hast einsetze.
$ [mm] \cos\phi=\bruch{\vec{a}\cdot{}\vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{a}| } [/mm] $
Doch was mache ich mit der Gerade, bzw. was setzte ich von der Gerade ein?
Lg
|
|
|
| |
|
mit der folgenden Formel lässt sich der Schnittwinkel berechnen:
sin [mm] \alpha [/mm] = [mm] \underline{<\vec{v} | \vec{n}>}
[/mm]
[mm] |\vec{v}|*|\vec{n}|
[/mm]
wobei [mm] \vec{v} [/mm] der Richtungsvektor der Geraden ist und
[mm] \vec{n} [/mm] der Normalenvektor der Ebene (berechnet sich aus dem Kreuzprodukt beider Spannvektoren der
Ebene und steht senkrecht auf dieser)
Der Zähler entspricht dem Skalarprodukt beider Vektoren
Der Nenner ist das Produkt der Beträge beider Vektoren
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:38 Mi 30.01.2008 | | Autor: | heisaumi |
cos [mm] \alpha [/mm] gilt nur für den Schnittpunkt zweier Geraden!!!
da aber der Normalenvektor senkrecht auf der Ebene steht, entspräche dies ja dem Schnittwinkel Normalenvektor/Gerade
daher hier sin [mm] \alpha
[/mm]
oder 90° - arccos [mm] \alpha
[/mm]
PS: lieben gruss an den sekundarstufenlehrer vor mir
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Mi 30.01.2008 | | Autor: | abakus |
> cos [mm]\alpha[/mm] gilt nur für den Schnittpunkt zweier Geraden!!!
>
> da aber der Normalenvektor senkrecht auf der Ebene steht,
> entspräche dies ja dem Schnittwinkel Normalenvektor/Gerade
>
> daher hier sin [mm]\alpha[/mm]
>
> oder 90° - arccos [mm]\alpha[/mm]
>
> PS: lieben gruss an den sekundarstufenlehrer vor mir
Liebe Grüße zurück.
Man muss doch immer zuerst an das Gute im Menschen glauen. Warum also gleich den kompletten Lösungsweg posten, wenn der kleine Impuls vielleicht schon für eigene Schlussfolgerungen des Fragenden ausreicht. Er hätte ja selbst drauf kommen können, dass sich der mit dem Skalarprodukt berechnete Winkel mit dem gesuchten Winkel zu 90°ergänzt. 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:31 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Marry2605 |
Erstmal danke euch beiden :)
Genau dass hier war mein Problem :
> >wobei $ [mm] \vec{v} [/mm] $ der Richtungsvektor der Geraden ist
Das mit der Ebenen ist klar, ich rechne mal ein Paar Aufgaben durch obs klappt!
Lg und danke!!
|
|
|
|
