Anfangswertaufgabe < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Mo 02.07.2012 | | Autor: | ggT |
| Aufgabe | Folgende Anfangswertaufgabe sei auf $U = [mm] \mathbb{R} \times (0,\infty)$ [/mm] definiert:
$y' = [mm] -\dfrac{5}{6}\dfrac{|x-1|^{\frac{2}{3}}}{y}, \quad [/mm] y(0) = [mm] \sqrt{33}$
[/mm]
Gibt es ein [mm] $x_{0}>0$, [/mm] so dass [mm] $\lim_{x \to x_{0}} \phi(x) [/mm] = [mm] \infty$, [/mm] wenn ja welches? [mm] \\ [/mm] |
[mm] $\dfrac{dy}{dx} [/mm] = [mm] -\dfrac{5}{6}\dfrac{|x-1|^{\frac{2}{3}}}{y}$ \\
[/mm]
$y dy = [mm] -\dfrac{5}{6}|x-1|^{\frac{2}{3}}dx$ \\
[/mm]
[mm] $\int_{}^{} [/mm] y dy = [mm] \int_{}^{} -\dfrac{5}{6}|x-1|^{\frac{2}{3}}dx$ \\
[/mm]
Da rechts ein Integral mit Beträgen steht, mache ich eine Fallunterscheidung: [mm] \\
[/mm]
1.Fall: $x [mm] \geq [/mm] 0$ [mm] \\
[/mm]
[mm] $\int_{}^{} [/mm] y dy = [mm] \int_{}^{} -\dfrac{5}{6}(x-1)^{\frac{2}{3}}dx$ \\
[/mm]
2.Fall: $x [mm] \leq [/mm] 0$ [mm] \\
[/mm]
[mm] $\int_{}^{} [/mm] y dy = [mm] \int_{}^{} -\dfrac{5}{6}(-x-1)^{\frac{2}{3}}dx$ \\
[/mm]
Ist das bis dahin richtig, vor allem das mit der Fallunterscheidung, weil dann müsste ich mal gucken wie ich am besten die rechte Seite integriere? [mm] \\
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Mo 02.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Fallunterscheidun in x> 0 und x<0 ist falsch. wie kannst du |x-1| auflosen? wann ist das x-1? wann -(x-1)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Mo 02.07.2012 | | Autor: | ggT |
[mm] $\dfrac{dy}{dx} [/mm] = [mm] -\dfrac{5}{6}\dfrac{|x-1|^{\frac{2}{3}}}{y}$ \\
[/mm]
$y dy = [mm] -\dfrac{5}{6}|x-1|^{\frac{2}{3}}dx$ \\
[/mm]
[mm] $\int_{}^{} [/mm] y dy = [mm] \int_{}^{} -\dfrac{5}{6}|x-1|^{\frac{2}{3}}dx$ \\
[/mm]
Da rechts ein Integral mit Beträgen steht, mache ich eine Fallunterscheidung: [mm] \\
[/mm]
1.Fall: $x-1 [mm] \geq [/mm] 0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] x>1$ [mm] \\
[/mm]
[mm] $\int_{}^{} [/mm] y dy = [mm] \int_{}^{} -\dfrac{5}{6}(x-1)^{\frac{2}{3}}dx$ \\
[/mm]
2.Fall: $x-1 [mm] \leq [/mm] 0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] x<1$ [mm] \\
[/mm]
[mm] $\int_{}^{} [/mm] y dy = [mm] \int_{}^{} -\dfrac{5}{6}((-1)x-1)^{\frac{2}{3}}dx$ \\
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Mo 02.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja und die Integrale sind leicht entweder sieh mans oder u=x-1 subst bzw u=1-x
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 Mo 02.07.2012 | | Autor: | ggT |
[mm] $\dfrac{dy}{dx} [/mm] = [mm] -\dfrac{5}{6}\dfrac{|x-1|^{\frac{2}{3}}}{y}$ \\
[/mm]
$y dy = [mm] -\dfrac{5}{6}|x-1|^{\frac{2}{3}}dx$ \\
[/mm]
[mm] $\int_{}^{} [/mm] y dy = [mm] \int_{}^{} -\dfrac{5}{6}|x-1|^{\frac{2}{3}}dx$ \\
[/mm]
Da rechts ein Integral mit Beträgen steht, mache ich eine Fallunterscheidung: [mm] \\
[/mm]
1.Fall: $x-1 [mm] \geq [/mm] 0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] x>1$ [mm] \\
[/mm]
[mm] $\int_{}^{} [/mm] y dy = [mm] \int_{}^{} -\dfrac{5}{6}(x-1)^{\frac{2}{3}}dx$ \\
[/mm]
[mm] $\dfrac{1}{2}y^{2} [/mm] = [mm] -\dfrac{1}{2}(x-1)^{\frac{5}{3}}$ \\
[/mm]
[mm] $y^{2} [/mm] = [mm] -(x-1)^{\frac{5}{3}}$ \\
[/mm]
$y = [mm] \sqrt{-(x-1)^{\frac{5}{3}}}$ \\
[/mm]
2.Fall: $x-1 [mm] \leq [/mm] 0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] x<1$ [mm] \\
[/mm]
[mm] $\int_{}^{} [/mm] y dy = [mm] \int_{}^{} -\dfrac{5}{6}((-(x-1))^{\frac{2}{3}}dx$ \\
[/mm]
[mm] $\dfrac{1}{2}y^{2} [/mm] = [mm] \dfrac{1}{2}(-(x-1))^{\frac{5}{3}}$ \\
[/mm]
[mm] $y^{2} [/mm] = [mm] (-(x-1))^{\frac{5}{3}}$ \\
[/mm]
$y = [mm] \sqrt{(-(x-1))^{\frac{5}{3}}}$ \\ \\
[/mm]
Da beide Fälle vom Ergebnis identisch, gehts hier weiter: [mm] \\
[/mm]
$y = [mm] (-(x-1))^{\frac{5}{6}}$ \\
[/mm]
$y = [mm] (-x+1)^{\frac{5}{6}}$ \\
[/mm]
Keine Ahnung, obs nun stimmt, aber inwieweit ist dies jetzt die Antwort auf die Ausgangsfrage, da ich jetzt ja $y$ raushab, aber nicht [mm] $\phi$...
[/mm]
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Hallo ggT,
> [mm]\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{5}{6}\dfrac{|x-1|^{\frac{2}{3}}}{y}[/mm]
> [mm]\\[/mm]
>
> [mm]y dy = -\dfrac{5}{6}|x-1|^{\frac{2}{3}}dx[/mm] [mm]\\[/mm]
>
> [mm]\int_{}^{} y dy = \int_{}^{} -\dfrac{5}{6}|x-1|^{\frac{2}{3}}dx[/mm]
> [mm]\\[/mm]
>
> Da rechts ein Integral mit Beträgen steht, mache ich eine
> Fallunterscheidung: [mm]\\[/mm]
>
> 1.Fall: [mm]x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x>1[/mm] [mm]\\[/mm]
> [mm]\int_{}^{} y dy = \int_{}^{} -\dfrac{5}{6}(x-1)^{\frac{2}{3}}dx[/mm]
> [mm]\\[/mm]
>
> [mm]\dfrac{1}{2}y^{2} = -\dfrac{1}{2}(x-1)^{\frac{5}{3}}[/mm] [mm]\\[/mm]
>
> [mm]y^{2} = -(x-1)^{\frac{5}{3}}[/mm] [mm]\\[/mm]
>
Hier hast Du auf der rechten Seite eine Integrationskonstante vergessen:
[mm]y^{2} = -(x-1)^{\frac{5}{3}}\red{+C_{1}}[/mm]
> [mm]y = \sqrt{-(x-1)^{\frac{5}{3}}}[/mm] [mm]\\[/mm]
>
> 2.Fall: [mm]x-1 \leq 0 \Leftrightarrow x<1[/mm] [mm]\\[/mm]
> [mm]\int_{}^{} y dy = \int_{}^{} -\dfrac{5}{6}((-(x-1))^{\frac{2}{3}}dx[/mm]
> [mm]\\[/mm]
>
> [mm]\dfrac{1}{2}y^{2} = \dfrac{1}{2}(-(x-1))^{\frac{5}{3}}[/mm] [mm]\\[/mm]
>
> [mm]y^{2} = (-(x-1))^{\frac{5}{3}}[/mm] [mm]\\[/mm]
>
Hier analog:
[mm]y^{2} = (-(x-1))^{\frac{5}{3}}\red{+C_{2}}[/mm]
> [mm]y = \sqrt{(-(x-1))^{\frac{5}{3}}}[/mm] [mm]\\ \\[/mm]
>
> Da beide Fälle vom Ergebnis identisch, gehts hier weiter:
> [mm]\\[/mm]
>
> [mm]y = (-(x-1))^{\frac{5}{6}}[/mm] [mm]\\[/mm]
>
> [mm]y = (-x+1)^{\frac{5}{6}}[/mm] [mm]\\[/mm]
>
> Keine Ahnung, obs nun stimmt, aber inwieweit ist dies jetzt
> die Antwort auf die Ausgangsfrage, da ich jetzt ja [mm]y[/mm]
> raushab, aber nicht [mm]\phi[/mm]...
Gruss
MathePower
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