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| Aufgabe | Lösen Sie das Anfangswertproblem:
[mm] y'''-2y''-y'+2y=12e^{x} [/mm] und y(0)=3, y'(0)=2, y''(0)=6 |
Hallo :D
Ich komme hier leider überhaupt nicht klar, habe bisher nur mein char. Polynom, weis aber leider nicht wie ich weitermachen kann ...
[mm] P(x)=x^{3}-2x^{2}-x+2
[/mm]
Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen :D
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 So 06.07.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie bei der anderen Frage, Lösung raten, immer mal 1,-1,2,-2 einsetzen und dann Polynomdivision, oder alle 3 Lösungen dabei finden,
Gruss leduart
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Habe Polynomdivision gemacht, nun habe ich also als Funktion:
P(x)=(x+1)(x-1)(x-2)
Doch was mache ich nun?? ... Ich hab in einigen aufgaben gesehen, das nun Werte für das Fundamentalsystem mit e hoch irgendwas aufgestellt wurden, aber ich hab keine Ahnung wie bzw was ich jetzt machen muss...
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Hallo Kruemel1008,
> Habe Polynomdivision gemacht, nun habe ich also als
> Funktion:
> P(x)=(x+1)(x-1)(x-2)
>
Das ist doch eher die Zerlegung von P(x) in Linearfaktoren.
> Doch was mache ich nun?? ... Ich hab in einigen aufgaben
> gesehen, das nun Werte für das Fundamentalsystem mit e
> hoch irgendwas aufgestellt wurden, aber ich hab keine
> Ahnung wie bzw was ich jetzt machen muss...
Nun, die Nullstellen von P(x) sind somit ablesbar.
Somit sind Lösungen der homogenen DGL:
[mm]e^{\operatorname{Nullstelle}_{1}*x}, \ e^{\operatorname{Nullstelle}_{2}*x}, \ e^{\operatorname{Nullstelle}_{3}*x}[/mm]
Gruss
MathePower
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dann habe ich also:
FS [mm] {e^{-x}, e^{x}, e^{2x}}
[/mm]
Jetzt muss ich ja irgendwie eine Matrix für w(x) aufstellen, doch ich habe keine Ahnung wie das geht :/
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 Mo 07.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> dann habe ich also:
> FS [mm]{e^{-x}, e^{x}, e^{2x}}[/mm]
>
> Jetzt muss ich ja irgendwie eine Matrix für w(x)
Was soll w sein ???
> aufstellen, doch ich habe keine Ahnung wie das geht :/
Für eine spezielle Lösung [mm] y_p [/mm] von
$ [mm] y'''-2y''-y'+2y=12e^{x} [/mm] $
mache den Ansatz [mm] y_p(x)=axe^x
[/mm]
FRED
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Ich habs jetzt nochmal einfach ausprobiert:
[mm] w(x)=\pmat{ e^{-x} & e^{x} & e^{2x} \\ -e^{-x} & e^{x} & 2e^{2x} \\ e^{-x} & e^{x} & 4e^{2x} }
[/mm]
[mm] w(x)^{-1}=\pmat{ \bruch{1}{3e^{x}} & -\bruch{1}{2e^{x}} & \bruch{1}{6e^{x}} \\ \bruch{1}{e^{x}} & \bruch{1}{2e^{x}} & -\bruch{1}{2e^{x}} \\ -\bruch{1}{3e^{2x}} & 0 & \bruch{1}{3e^{2x}} }
[/mm]
[mm] w(0)^{-1}=\pmat{ \bruch{1}{3} & -\bruch{1}{2} & \bruch{1}{6} \\ 1 & \bruch{1}{2} & -\bruch{1}{2} \\ -\bruch{1}{3} & 0 & \bruch{1}{3} }
[/mm]
[mm] y(x)=(e^{-x}, e^{x}, e^{2x})*(\pmat{ \bruch{1}{3} & -\bruch{1}{2} & \bruch{1}{6} \\ 1 & \bruch{1}{2} & -\bruch{1}{2} \\ -\bruch{1}{3} & 0 & \bruch{1}{3} }*\pmat{ 3 \\ 2 \\ 6 }+\integral_{0}^{x}{\pmat{ \bruch{1}{3e^{x}} & -\bruch{1}{2e^{x}} & \bruch{1}{6e^{x}} \\ \bruch{1}{e^{x}} & \bruch{1}{2e^{x}} & -\bruch{1}{2e^{x}} \\ -\bruch{1}{3e^{2x}} & 0 & \bruch{1}{3e^{2x}} }
* \pmat{ 0 \\ 0 \\ 12e^{x} } dx}
[/mm]
[mm] =(e^{-x}, e^{x}, e^{2x})*(\pmat{ 0 \\ 4 \\ 5 }+\integral_{0}^{x}{\pmat{ 2 \\ -6 \\ \bruch{4}{e^{x}} } dx})
[/mm]
Stimmt das so?? Wie mache ich denn nun weiter ??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Mo 07.07.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich verstehe nicht, was du da machst.
Die allgemeine Lösung der homogenen Dgl ist
[mm] y_h(x)=C_1e^x+C:2e^{-x}+C_3e^{2x}
[/mm]
jetzt suchst du noch eine spezielle Lösung der inhomogenen Dgl.
da [mm] 12e^x [/mm] schon Lösung der inhomogenen Dgl ist machst du den Ansatz [mm] y_p=A*x*e^x
[/mm]
differenzierst 3 mal und setzt es in die inhomogene Dgl ein um A zu bestimmen.
Schließlich setzest du dann die Anfangsbed. ein um die [mm] C_i [/mm] zu bestimmen.
Da x kein Vektor ist, ist es nicht sehr sinnvoll eine Lösung von y(x) als Vektor zu schreiben!
Sinn würde das nur machen, wenn du die Dgl in ein System von 3 Dgl erster Ordnung umgeschrieben hättest.
Wende doch nicht einfach blindlings irgendwelche Formeln an, ohne zu wissen, wo und für was sie gelten.
Gruß leduart
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Aaah, ok, ich habs, danke :D
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