Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Lösen sie das Anfangswertproblem auf geeigneten Intervallen.
y'(t) = [mm] 12t^2*(t-1)tan(y(t)) [/mm] ; [mm] y(0)=\pi/4 [/mm] |
Hallo,
ich fange mal an:
[mm] \integral_{0}^{x}{12t^2*(t-1)tan(y(t)) dx} [/mm] =
[mm] \integral_{0}^{x}{12t^2*(t-1)\bruch {sin(y(t)}{cos(y(t))}) dx}; \integral_{0}^{x}{12t^2*(t-1)) dt} [/mm] = [mm] 4x^3-3x^4
[/mm]
Dann substituiere y(t) = s
[mm] \integral_{y(0)}^{y(x)}{tan(s)) ds}
[/mm]
[mm] =[-log|cos(s)|]^{y(x)}_{\pi/4}
[/mm]
[mm] =log(|cos(y(x)|-log(\bruch{1}{\wurzel{2}})
[/mm]
Bis hier hin kann ich folgen, auch wenn die Musterlösung statt mit [mm] \bruch{sin(y(t)}{cos(y(t))} [/mm] mit
[mm] \bruch{cos(y(t)}{sin(y(t))} [/mm] angesetzt hat, was ich absolut nicht verstehe, es aber so weit keinen Unterschied macht, da
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] = [mm] cos(\pi/4) [/mm] = [mm] sin(\pi/4)
[/mm]
was ich nicht verstehe kommt jetzt:
(Hier steht jetzt der Sinus, weil die andersrum angesetzt haben)
Es folgt |sin(y(x))| = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*e^{4x^3-3x^4}
[/mm]
und damit wegen 0 < y(0) < [mm] \pi
[/mm]
y(x) = [mm] arcsin(\bruch{1}{\wurzel{2}}*e^{4x^3-3x^4})
[/mm]
[mm] (-\epsilon [/mm] < x < [mm] \epsilon) [/mm] für ein [mm] \epsilon [/mm] > 0 hinreichend klein.
Davon verstehe ich jetzt leider nur Bahnhof. Bitte könnt ihr mir etwas helfen?
|
|
| |
|
Hallo,
> Lösen sie das Anfangswertproblem auf geeigneten
> Intervallen.
> y'(t) = [mm]12t^2*(t-1)tan(y(t))[/mm] ; [mm]y(0)=\pi/4[/mm]
> Hallo,
>
> ich fange mal an:
>
> [mm]\integral_{0}^{x}{12t^2*(t-1)tan(y(t)) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{x}{12t^2*(t-1)\bruch {sin(y(t)}{cos(y(t))}) dx}; \integral_{0}^{x}{12t^2*(t-1)) dt}[/mm]
> = [mm]4x^3-3x^4[/mm]
> Dann substituiere y(t) = s
>
> [mm]\integral_{y(0)}^{y(x)}{tan(s)) ds}[/mm]
>
> [mm]=[-log|cos(s)|]^{y(x)}_{\pi/4}[/mm]
> [mm]=log(|cos(y(x)|-log(\bruch{1}{\wurzel{2}})[/mm]
> Bis hier hin kann ich folgen, auch wenn die Musterlösung
> statt mit [mm]\bruch{sin(y(t)}{cos(y(t))}[/mm] mit
> [mm]\bruch{cos(y(t)}{sin(y(t))}[/mm] angesetzt hat, was ich absolut
> nicht verstehe, es aber so weit keinen Unterschied macht,
> da
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] = [mm]cos(\pi/4)[/mm] = [mm]sin(\pi/4)[/mm]
> was ich nicht verstehe kommt jetzt:
> (Hier steht jetzt der Sinus, weil die andersrum angesetzt
> haben)
> Es folgt |sin(y(x))| =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}*e^{4x^3-3x^4}[/mm]
> und damit wegen 0 < y(0) < [mm]\pi[/mm]
> y(x) = [mm]arcsin(\bruch{1}{\wurzel{2}}*e^{4x^3-3x^4})[/mm]
> [mm](-\epsilon[/mm] < x < [mm]\epsilon)[/mm] für ein [mm]\epsilon[/mm] > 0
> hinreichend klein.
>
> Davon verstehe ich jetzt leider nur Bahnhof. Bitte könnt
> ihr mir etwas helfen?
>
Also das kann man echt schier nicht lesen, da unübersichtlich notiert und auch Typos drin sind. Deine Lösung is der DGL ist soweit richtig.
Auch deine Frage kann man nicht so ganz nachvollziehen. Da muss man einfach auch sprachlich präziser sein, um so ein Problem zu beschreiben.
Also bemühen wir mal wieder die Kristallkugel: deine eigentliche Frage ist die, weshalb der Gültigkeitsbereich der Lösung um den Nullpunkt eingeschränkt ist? Nun, dass für x=0 mit [mm] y(0)=\pi/4 [/mm] die Anwendung des Arkussinus erlaubt ist, das hast du selbst begründet mit [mm] 0
Jetzt ist es halt naturgemäß so, dass der Definitionsbereich der Arkussinusfunktion der Wertebereich der Sinusfunktion, also das Intervall [-1;1] sein muss. Und deine Aufgabe besteht hier jetzt noch darin, dies entweder einzusehen oder [mm] \epsilon [/mm] noch zu berechnen (das geht aus deiner Frage nicht hervor). Wobei für mich die Formulierung auf geeigneten Intervallen schon impliziert, dass diese Intervalle auch konkret benannt bzw. berechnet und angegeben werden.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Sorry, wenn das nicht gut formuliert ist, ich habe das 1 zu 1 von der Musterlösung abgetippt (bis auf vergessene Klammern und umdrehen des Bruches) ). Die hört an der Stelle auch auf, man muss [mm] \epsilon [/mm] also nicht berechnen.
Meine Fragen sind:
-Warum setzt die Musterlösung mit [mm] \bruch{cos(s)}{sin(s)} [/mm] an, nicht mit dem Kehrbruch?
-Warum folgt |sin(y(x))| = [mm] \bruch{1}{\wurzel_{2}}*e^{4x^3-3x^4}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Sorry, wenn das nicht gut formuliert ist, ich habe das 1 zu
> 1 von der Musterlösung abgetippt (bis auf vergessene
> Klammern und umdrehen des Bruches) ). Die hört an der
> Stelle auch auf, man muss [mm]\epsilon[/mm] also nicht berechnen.
> Meine Fragen sind:
> -Warum setzt die Musterlösung mit [mm]\bruch{cos(s)}{sin(s)}[/mm]
> an, nicht mit dem Kehrbruch?
Da geht es um das linke Integral, da ist der Intergand 1/tan(y)=cot(y). Du hast den Tangens erst irgendwie auf die rechte Seite gewurschtelt es ist mehr oder weniger Zufall, dass dein Ergebnis stimmt. Richtig ist deine Rechnung in meinen Aufgen keinesfalls, aber wie gesagt: man kann das schier nicht auseinanderpfriemeln.
> -Warum folgt |sin(y(x))| =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel_{2}}*e^{4x^3-3x^4}[/mm]
Das ist jetzt wieder ein Tippfehler, dass die Exponentialfunktion im Nenner steht? Im Wesentlichen ist es so, dass beide Seiten zunächst integriert werden. Dabei entsteht auf der rechten Seite eine ganzrationale Funktion (inkl. einer Integrationskonstanten) und auf der linken Seite eben ln|sin(y)|. Das wird zunächst nach dem Sinus (durch Exponieren) und anschließend nach y( durch den Arkussinus) aufgelöst und BTW die Integrationskonstante bestimmt (das sind die [mm] 1/\wurzel{2}).
[/mm]
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Ok, ja das war wirklich ein Tippfehler, tut mir leid ich war nur am Handy hier, jetzt bin ich am Laptop und habe nochmal etwas nachgedacht. Ich schreibe jetzt mal auf, was ich habe.
[mm] y'(x)=12x^2(1-x)tan(y(x)) [/mm] und [mm] y(0)=\pi/4
[/mm]
Dann teile ich durch tan(y(x)):
[mm] \bruch{y'(x)}{tan(y(x))}=12x^2(1-x)
[/mm]
Dann suche ich eine Stammfunktion auf beiden Seiten:
[mm] \integral_{0}^{x}{\bruch{y'(x)}{tan(y(x))} dx}=
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{x}{12x^2(1-x) dx}
[/mm]
links substituiere ich y(x) = t, dann dt/dx=1 -> dx= dt
Also weiter:
[mm] \integral_{y(0)}^{y(x)}{\bruch{1}{tan(t)} dt}=
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{x}{12x^2(1-x) dx}
[/mm]
Dann weiß ich [mm] y(0)=\pi/4 [/mm]
[mm] \integral_{\pi/4}^{y(x)}{cot(t) dt}=
[/mm]
[mm] [4x^3-3x^4]_{0}^{x}
[/mm]
[mm] [log|sin(t)|]_{\pi/4}^{y(x)}=4x^3-3x^4
[/mm]
log|sin(y(x))| - [mm] log(\bruch{1}{\wurzel_{2}}) [/mm] = [mm] 4x^3-3x^4
[/mm]
Dann nehme ich auf beiden Seiten [mm] e^{Seite}:
[/mm]
[mm] e^{log|sin(y(x))| - log(\bruch{1}{\wurzel_{2}}}) [/mm] = [mm] e^{4x^3-3x^4}
[/mm]
[mm] \bruch{|sin(y(x))|}{\bruch{1}{\wurzel_{2}}} [/mm] = [mm] e^{4x^3-3x^4}
[/mm]
|sin(y(x))| = [mm] \bruch{1}{\wurzel_{2}} [/mm] * [mm] e^{ (4x^3-3x^4)}
[/mm]
y(x) = [mm] arcsin(\bruch{1}{\wurzel_{2}} [/mm] * [mm] e^{ (4x^3-3x^4)} [/mm] )
Das einzige, was ich nicht verstehe, ist:
Warum benötige ich jetzt noch das [mm] (-\epsilon [/mm] < x < [mm] \epsilon)?
[/mm]
Schönen Dank!
|
|
|
| |
|
Hallo,
nach wie vor ist alles schlecht lesbar. Wieso haut es dir denn immer mitten in deine Gleichungen Zeilenumbrüche rein? Wenn du das irgendwie vermeiden könntest, wäre viel gewonnen.
> Ok, ja das war wirklich ein Tippfehler, tut mir leid ich
> war nur am Handy hier, jetzt bin ich am Laptop und habe
> nochmal etwas nachgedacht. Ich schreibe jetzt mal auf, was
> ich habe.
>
> [mm]y'(x)=12x^2(1-x)tan(y(x))[/mm] und [mm]y(0)=\pi/4[/mm]
> Dann teile ich durch tan(y(x)):
> [mm]\bruch{y'(x)}{tan(y(x))}=12x^2(1-x)[/mm]
> Dann suche ich eine Stammfunktion auf beiden Seiten:
> [mm]\integral_{0}^{x}{\bruch{y'(x)}{tan(y(x))} dx}=[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{x}{12x^2(1-x) dx}[/mm]
> links substituiere ich
> y(x) = t, dann dt/dx=1 -> dx= dt
> Also weiter:
> [mm]\integral_{y(0)}^{y(x)}{\bruch{1}{tan(t)} dt}=[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{x}{12x^2(1-x) dx}[/mm]
> Dann weiß ich [mm]y(0)=\pi/4[/mm]
> [mm]\integral_{\pi/4}^{y(x)}{cot(t) dt}=[/mm]
> [mm][4x^3-3x^4]_{0}^{x}[/mm]
> [mm][log|sin(t)|]_{\pi/4}^{y(x)}=4x^3-3x^4[/mm]
> log|sin(y(x))| - [mm]log(\bruch{1}{\wurzel_{2}})[/mm] = [mm]4x^3-3x^4[/mm]
> Dann nehme ich auf beiden Seiten [mm]e^{Seite}:[/mm]
> [mm]e^{log|sin(y(x))| - log(\bruch{1}{\wurzel_{2}}})[/mm] =
> [mm]e^{4x^3-3x^4}[/mm]
> [mm]\bruch{|sin(y(x))|}{\bruch{1}{\wurzel_{2}}}[/mm] =
> [mm]e^{4x^3-3x^4}[/mm]
> |sin(y(x))| = [mm]\bruch{1}{\wurzel_{2}}[/mm] * [mm]e^{ (4x^3-3x^4)}[/mm]
>
> y(x) = [mm]arcsin(\bruch{1}{\wurzel_{2}}[/mm] * [mm]e^{ (4x^3-3x^4)}[/mm] )
>
> Das einzige, was ich nicht verstehe, ist:
> Warum benötige ich jetzt noch das [mm](-\epsilon[/mm] < x <
> [mm]\epsilon)?[/mm]
>
Weil die Arkussinusfunktion nur auf dem Intervall [-1;1] definiert ist, hab ich doch schon geschrieben.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:02 Mi 03.09.2014 | | Autor: | RunOrVeith |
Keine Ahnung, warum da Zeilenumbrüche sind.
D.h. ich müsste noch das Argument vom arcsin gleich [mm] \pm [/mm] 1 setzen und nach x auflösen, um das [mm] \epsilon [/mm] zu finden?
Wobei -1 ja eh nicht geht, da beide Produktteile ja immer positiv sind.
Stimmt das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 Mi 03.09.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Keine Ahnung, warum da Zeilenumbrüche sind.
>
> D.h. ich müsste noch das Argument vom arcsin gleich [mm]\pm[/mm] 1
> setzen und nach x auflösen, um das [mm]\epsilon[/mm] zu finden?
> Wobei -1 ja eh nicht geht, da beide Produktteile ja immer
> positiv sind.
> Stimmt das?
Ja, das ist glaube ich richtig gedacht. Da FRED es aber ausführlich erklärt hat, schau dir dazu bitte seine Antwort an!
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Mi 03.09.2014 | | Autor: | fred97 |
Noch einige Bemerkungen:
Der Aufgabensteller schreibt:
"Lösen sie das Anfangswertproblem
$y'(t) [mm] =12t^2\cdot{}(t-1)tan(y(t)) [/mm] $ ; $ [mm] y(0)=\pi/4 [/mm] $
auf geeigneten Intervallen."
Am Ende schreibt er:
$y(x) = [mm] arcsin(\bruch{1}{\wurzel{2}}\cdot{}e^{4x^3-3x^4}) [/mm] $
$ [mm] (-\epsilon [/mm] < x < [mm] \epsilon) [/mm] $
für ein $ [mm] \epsilon [/mm] > 0$ hinreichend klein.
Das [mm] \epsilon [/mm] kann man sehr schön Dingfest machen. Mit diesem [mm] \epsilon [/mm] ist das max. Existenzintervall der Lösung des AWPs gegeben durch
$(- [mm] \infty, \epsilon)$.
[/mm]
Dazu betrachten wir [mm] $f(x):=4x^3-3x^4$. [/mm] Macht man eine kleine Kurvendiskussion, so sieht man unter anderem:
es gibt genau 2 Punkte [mm] x_0,x_1 \in \IR [/mm] mit
[mm] x_0
Weiter ist [mm] x_0 [/mm] >0.
Das gesuchte [mm] \epsilon [/mm] ist [mm] \epsilon=x_0. [/mm] Denn es gilt
1. $f(x)< [mm] ln(\wurzel{2})$ [/mm] für alle [mm] x
2. [mm] $0<\bruch{e^{f(x)}}{\wurzel{2}}<1 [/mm] für alle [mm] x
Damit ist
$y(x) = [mm] arcsin(\bruch{1}{\wurzel{2}}\cdot{}e^{4x^3-3x^4}) [/mm] $ auf [mm] $(-\infty, x_0)$ [/mm] die Lösung des obigen AWPs.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Mi 03.09.2014 | | Autor: | RunOrVeith |
Ok vielen Dank, für die ganze Mühe, ich denke ich hab es jetzt verstanden!
Schönen Tag noch allen!
|
|
|
|
