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| Aufgabe | Eine Population von Bakterien entwickelt sich unter Laborbedingungen mit exponentiellen
Wachstum mit der Wachstumskonstante 𝜆 = 0,02 𝑇𝑎𝑔−1
. Unter realen Bedingungen sei das
Wachstum beschränkt. Die Größe der Anfangspopulation sei 10 mg und die maximale
Population sei 5 ∙ 106 𝑚𝑔.
Stellen Sie das Anfangswertproblem auf, die das Wachstum der Bakterienpopulation unter
dessen Bedingungen beschreibt und geben Sie die Lösung an.
Berechnen Sie dann die Große der Population nach 2 Wochen. |
Hallo,
die Wachstumsgleichung müsste lauten: N(t) = 10 mg * [mm] e^{0.02t}. [/mm] Und da ein Anfangswertproblem aufgestellt werden muss, muss das irgendwas mit Differentialgleichungen zu tun haben, doch ich komm nicht ganz drauf was ich machen soll.
Ich habe im Internet diesen Ansatz gefunden: [mm] \bruch{1}{1+C*e^-t} [/mm] . Aber der ist mir nicht hilfreich genug.
Das Ergebnis soll lauten : [mm] \bruch{5 \cdot 10^6}{1 + (5 \cdot 10^5 -1) \cdot e^{0.02t} } [/mm] für das Anfangswertproblem und nach 2 Wochen ist die Population 13,2313 mg.
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Hallo Ulquiorra,
das Wachstum Deiner Aufgabe nennt sich ![[]](/images/popup.gif) logistisches Wachstum.
Zu finden z. B. in Schulbüchern für einen 5-stündigen Kurs der Sekundarstufe II.
LG, Martinius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:49 Sa 24.09.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo Ulquiorra
das Wachstum ist beschränkt, d. h die Kultur wächst nur noch proportional zumr Differenz der Anzahl zur Schranke.
also [mm] dN/dt=(\lambda*(S-N(t) [/mm] ; S ist dabei dein [mm] 5*10^6
[/mm]
das ist die Dgl die du lösen musst
Gruß leduart
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ENTWEDER handelt es sich um ein exponentielles ODER um ein logistisches Wachstum (das auch die Exponentialfunktion enthält).
Da die Lösung angegeben ist, handelt es sich somit um ein logistisches Wachstum, und der Aufgabensteller sollte es auch so benennen. Durch Angabe der Obergrenze ist dies nicht klar, denn das Wachstum könnte auch rein exponentiell und beim Erreichen der Obergrenze dann konstant verlaufen (s.u).
> Hallo,
> die Wachstumsgleichung müsste lauten: N(t) = 10 mg *
> [mm]e^{0.02t}.[/mm]
Ja, falls [mm] N(t)\le [/mm] 5*106 mg ist, danach 5*106 mg.
Aber der Aufgabensteller meint offenbar etwas anderes, als er sagt (s.o.)
Und da ein Anfangswertproblem aufgestellt werden
> muss, muss das irgendwas mit Differentialgleichungen zu tun
> haben, doch ich komm nicht ganz drauf was ich machen soll.
> Ich habe im Internet diesen Ansatz gefunden:
> [mm]\bruch{1}{1+C*e^-t}[/mm] . Aber der ist mir nicht hilfreich
> genug.
Wenn du die Gleichung einfach mal so akzeptierst, musst du nur noch einen Faktor A davorsetzen:
[mm]\bruch{A}{1+C*e^-t}[/mm]
und jetzt A und C so wählen, dass bei t=0 und [mm] t=\infty [/mm] die richtigen Werte herauskommen.
Falls du aber die Formel nicht übernehmen willst, musst du die von leduard angegebene Differenzialgleichung aufstellen.
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Hallo, danke für die Tipps. Ich hab es mal versucht auf beiden Wegen zu lösen.
Mein restliches Wissen über Differentialgleichungen führte zu einem ganz falschen Ergebnis, während es mit dem Ausrechnen von A und C zum richtigen Ergebnis gereicht hat.
Lösungsansatz Differentialgleichung:
[mm] \bruch{dN}{dt} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * ( S - N(t)) | * dt
[mm] \Rightarrow [/mm] dN = [mm] \lambda [/mm] * ( S - N(t)) dt | beide Seiten integrieren
[mm] \Rightarrow \integral [/mm] dN = [mm] \lambda \integral [/mm] ( S - N(t)) dt
[mm] \Rightarrow [/mm] N = [mm] \lambda [/mm] * S*t - [mm] \lambda \integral [/mm] 10 * [mm] e^{-0.02t}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] N = [mm] \lambda [/mm] * S*t - [mm] \lambda [/mm] * 10 * [mm] e^{-0.02t} [/mm] * (-0.02) = [mm] \lambda [/mm] * S * t + [mm] \bruch{\lambda * 10 * 0.02} {e^{0.02t}} [/mm]
Da sieht für mich nichts richtig aus ...
Lösungsansatz für die Konstanten A und C:
N(t) = [mm] \bruch{A}{1+C* e^{-0.02t}}
[/mm]
N(0) = [mm] \bruch{A}{1+C* e^{0}} [/mm] = [mm] \bruch{A}{1+C} [/mm] = 10 mg
[mm] N(x^{*}) [/mm] = [mm] \limes_{x^*\rightarrow\infty} \bruch{A}{1+\bruch{C}{e^{x^*}}} [/mm] = A = 5 * [mm] 10^6 [/mm] mg
A in [mm] \bruch{A}{1+C} [/mm] = 10 mg [mm] \Rightarrow [/mm] C = 5 * [mm] 10^5 [/mm] -1
Das führt dann auch zur richtigen Population nach 2 Wochen, wenn man 14 einsetzt für t.
Ich würde trotzdem gerne wissen was ich bei der DGL falsch gemacht habe.
Gruß
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Hallo Ulquiorra,
> Hallo, danke für die Tipps. Ich hab es mal versucht auf
> beiden Wegen zu lösen.
> Mein restliches Wissen über Differentialgleichungen
> führte zu einem ganz falschen Ergebnis, während es mit
> dem Ausrechnen von A und C zum richtigen Ergebnis gereicht
> hat.
>
> Lösungsansatz Differentialgleichung:
>
> [mm]\bruch{dN}{dt}[/mm] = [mm]\lambda[/mm] * ( S - N(t)) | * dt
> [mm]\Rightarrow[/mm] dN = [mm]\lambda[/mm] * ( S - N(t)) dt | beide Seiten
> integrieren
> [mm]\Rightarrow \integral[/mm] dN = [mm]\lambda \integral[/mm] ( S - N(t))
> dt
> [mm]\Rightarrow[/mm] N = [mm]\lambda[/mm] * S*t - [mm]\lambda \integral[/mm] 10 *
> [mm]e^{-0.02t}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] N = [mm]\lambda[/mm] * S*t - [mm]\lambda[/mm] * 10 * [mm]e^{-0.02t}[/mm]
> * (-0.02) = [mm]\lambda[/mm] * S * t + [mm]\bruch{\lambda * 10 * 0.02} {e^{0.02t}}[/mm]
>
>
> Da sieht für mich nichts richtig aus ...
>
> Lösungsansatz für die Konstanten A und C:
> N(t) = [mm]\bruch{A}{1+C* e^{-0.02t}}[/mm]
> N(0) = [mm]\bruch{A}{1+C* e^{0}}[/mm]
> = [mm]\bruch{A}{1+C}[/mm] = 10 mg
> [mm]N(x^{*})[/mm] = [mm]\limes_{x^*\rightarrow\infty} \bruch{A}{1+\bruch{C}{e^{x^*}}}[/mm]
> = A = 5 * [mm]10^6[/mm] mg
>
> A in [mm]\bruch{A}{1+C}[/mm] = 10 mg [mm]\Rightarrow[/mm] C = 5 * [mm]10^5[/mm] -1
>
> Das führt dann auch zur richtigen Population nach 2
> Wochen, wenn man 14 einsetzt für t.
> Ich würde trotzdem gerne wissen was ich bei der DGL falsch
> gemacht habe.
Die DGL die Du aufgestellt hast:
[mm] $\bruch{dN}{dt} =\lambda [/mm] * ( S - N(t))$
ist nicht diejenige des logistischen Wachstums, sondern die des beschränkten Wachstums!
Überdies hast Du sie falsch "gelöst".
Die DGL des logistischen Wachstum lautet:
[mm] $\bruch{dN}{dt} =\lambda [/mm] * N(t)*( S - N(t))$
und sie kann 1.) mittels "Trennung der Variablen" und anschließender Partialbruchzerlegung gelöst werden.
Oder 2.) man verwendet das Lösungsverfahren für eine "Bernoulli-DGL":
Matroids Matheplanet
LG, Martinius
> Gruß
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> Hallo, danke für die Tipps. Ich hab es mal versucht auf
> beiden Wegen zu lösen.
> Mein restliches Wissen über Differentialgleichungen
> führte zu einem ganz falschen Ergebnis, während es mit
> dem Ausrechnen von A und C zum richtigen Ergebnis gereicht
> hat.
>
> Lösungsansatz Differentialgleichung:
>
> [mm]\bruch{dN}{dt}[/mm] = [mm]\lambda[/mm] * ( S - N(t)) | * dt
> [mm]\Rightarrow[/mm] dN = [mm]\lambda[/mm] * ( S - N(t)) dt | beide Seiten
> integrieren
> [mm]\Rightarrow \integral[/mm] dN = [mm]\lambda \integral[/mm] ( S - N(t))
> dt
> [mm]\Rightarrow[/mm] N = [mm]\lambda[/mm] * S*t - [mm]\lambda \integral[/mm] 10 *
> [mm]e^{-0.02t}[/mm]
> Da sieht für mich nichts richtig aus ...
Zunächst: Sorry, dass ich dich auf leduard verwiesen habe. Der hat, ganz richtig, die DGL für das beschränkte Wachstum angegeben, hatte mir das nicht genau angesehen. Aber du brauchst natürlich die für das logistische Wachstum, wie das von Ulquiorra richtig angegeben wird.
Nun zu deinem Fehler:
[mm]\integral[/mm] dN = [mm]\lambda \integral[/mm] ( S - N(t)) dt
[mm]\Rightarrow[/mm] N = [mm]\lambda[/mm] * S*t - [mm]\lambda \integral[/mm] 10 * [mm]e^{-0.02t}[/mm]
Wieso setzt du im letzten Integral N(t)= 10 * [mm]e^{-0.02t}[/mm] ?
Wenn du N(t) schon kennst, kannst du dir doch die ganzen Berechnungen sparen. Tatsächlich kennst du N nicht und hast daher nur
N(t) = [mm]\lambda[/mm] * S*t - [mm]\lambda \integral[/mm] N(t), wobei eben N(t) unbekannt ist.
Tatsächlich müsstest du so vorgehen:
[mm]\bruch{dN}{dt}[/mm] = [mm]\lambda[/mm] * ( S - N(t)) | * dt/(S-N)
[mm]\Rightarrow[/mm] [mm] \bruch{dN}{S-N} [/mm] = [mm]\lambda[/mm] * dt | beide Seiten integrieren
usw.
Aber jetzt versuch mal die DGL von Ulquiorra.
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