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| Aufgabe | | Ermitteln Sie die Lösung des Anfangswertproblems [mm] xy'+y-e^x=0 [/mm] mit y(a)=b |
Halli Hallo,
ich habe mich das ganze Wochenende mit Differentialgleichungen auseinandergesetzt und auch recht gut verstanden und nun kommt diese Aufgabe. Habe hier zunächst den homogenen Teil gelöst und dann die partikuläre Lösung und zum Schluss hatte ich dann als allgemeine Lösung:
[mm] y=K*e^x-2x-2
[/mm]
falls das richtig sein sollte, wie verfahre ich denn dann weiter? Oder ist der Ansatz auch schon völlig falsch?
Vielen Dank schonmal für die Antwort
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi!
Also, mir kommt der Ansatz komisch vor...
Zum homogenen Teil:
xy'+y=0
Sieht sehr nach Polynomen aus, aber dafür ist das + falsch.
Mit [mm] \frac{a}{x} [/mm] wird man da glücklicher. Die Ableitung ist [mm] -\frac{a}{x^2}, [/mm] und dann paßt das.
Für die patikuläre Funktion muß da auch eine e-Funktion drin sein, aber auch da muß irgendwie noch ein 1/x dran.
Also [mm] $\frac{b}{x}*e^x$
[/mm]
Ableitung ist [mm] $-\frac{b}{x^2}*e^x+\frac{b}{x}*e^x$
[/mm]
Einsetzen:
[mm] $-\frac{b}{x}*e^x+b*e^x+\frac{b}{x}*e^x-e^x=0$
[/mm]
[mm] $b*e^x-e^x=0$
[/mm]
b=1
Somit ist die Lösung [mm] $y(x)=\frac{a}{x}+\frac{1}{x}*e^x$
[/mm]
Jetzt sehe ich grade, daß a eine schlechte Wahl für den Parameter war... Sagen wir einfach, das AWP ist y(A)=B
Also, A in die Lösung einsetzen, und das ganze gleich B setzen, dann kannst du den freien Parameter a bestimmen.
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