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Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:38 Mi 14.05.2008
Autor: sqoody

Aufgabe
[mm] cosx*y'-sinx*y^2=sinx [/mm] y(0)=0

Ich möchte die allgemeine Lösung zu der Differnetialgleichung angeben und die spezielle Lösung.

Mir macht schon die richtige Trennung der Variablen schwierigkeiten.
Komme nach der Variablentrennung dann auf:

[mm] \bruch{y'}{y^2}=\bruch{sinx+sinx}{cosx} [/mm]

Ist dies noch richtig? Wenn nein, könnte mir jemand den richtigen Weg aufzeigen, das wäre für mein Verständins sehr gut bzw. den weiteren Weg erklären.

        
Bezug
Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:12 Mi 14.05.2008
Autor: wirsing

Hallo,
>
>  Ich möchte die allgemeine Lösung zu der
> Differnetialgleichung angeben und die spezielle Lösung.

>Die allgemeine Lösung beinhaltet bereits die spezielle Lösung, neben der homogenen Lösung!
  

> Mir macht schon die richtige Trennung der Variablen
> schwierigkeiten.
>  Komme nach der Variablentrennung dann auf:
>  
> [mm]\bruch{y'}{y^2}=\bruch{sinx+sinx}{cosx}[/mm]
>  
> Ist dies noch richtig?

Nein.
Mit Hilfe der Trennung der Variablen kannst du die homogene Lösung bestimmen! D.h. dein Ansatz muss demnach folgender sein: y´-a(x)y²=0

bei der Aufgabe siehst das dann so aus:
[mm] cosx*y'-sinx*y^2=0 [/mm]

dann teilst du ihn durch cosx und erhälst:
y´-tanxy²=0     Anmerkung: sinx/cosx = tanx


So nun kannst du die homogene Lösung mit Hilfe der Trennung der Variablen bestimmen:

y´=tanxy²          |+tanxy²

dy/dx=tanxy²       |y´anders aufgescrieben

dy/y²=tanxdx       |*dx  |/y²  [mm] |\integral [/mm]

[mm] -y^{-1}= [/mm] -ln|cosx| +c      [mm] |\*(-1) [/mm]  |Kehrwert

Ergebnis: homogene Lösung: y(x)= C/cosx

Weiteres Vorgehen:
1.) spezielle Lösung bestimmen: cosxy´-sinxy²=sinx

dies machst du über den Ansatz der Variation der Konstanten; bedeutet: deine Konstante c aus deiner homogenen Lösung wird zu eine von x abhängigen Funktion c(x)

Ziel: Bestimmung von c(x)
1.1  1.Ableitung y´ bilden
1.2  y´und y in die DGL einsetzen (c(x) muss sich rauskürzen!) und nach c´(x) auflösen
1.3  Integrieren von c´(x), um c(x) zu erhalten

2.) Allgemeine Lösung aufstellen: y = [mm] y_{hom} [/mm] + [mm] y_{inhom} [/mm]

3.) AWP verarbeiten: AWP in die allgemeine Lösung einsetzen und nach c auflösen (Bestimmung der Konstanten c)
      
Du kannst jetzt nochmal die Aufgabe nachrechnen und falls Probleme auftauchen nochmal nachfragen!

Viele Grüße
Anne

Bezug
                
Bezug
Anfangswertproblem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:57 Mi 14.05.2008
Autor: Martinius

Hallo,

die homogene Lösung ist

[mm] $y_h [/mm] = [mm] \bruch{1}{ln(cos(x))-C}$ [/mm]

und lässt sich leider nicht mit "Variation der Konstanten" weiter behandeln.


LG, Martinius

Bezug
                
Bezug
Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:26 Do 15.05.2008
Autor: sqoody

Hallo,

vielen Dank für die genaue Erklärung.
Ist nun deine homogene Lösung oder die Martinius richtig??? Das verwirrt mich nämlich leider jetzt...

Bezug
                        
Bezug
Anfangswertproblem: Einwand
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:40 Do 15.05.2008
Autor: fred97

Warum seid Ihr so hartnäckig und beachtet einfach nicht Leduarts Einwand:

die Differentialgleichung ist nicht linear !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Also ist von "homogen" und "inhomogen" zu reden einfach Unsinn


FRED

Bezug
                                
Bezug
Anfangswertproblem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:43 Do 15.05.2008
Autor: sqoody

Könntest du mir bitte deinen Einwand genauer erläutern und gegebenfalls das richtige Verfahren zu dieser Aufgabe stellen? Denn nun habe ich das Gefühl mit dieser Aufgabe garnicht mehr klarzukommen?? Danke.

Bezug
                                        
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Anfangswertproblem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:08 Do 15.05.2008
Autor: fred97

Für jedes lineare Problem gilt:

allg. Lösung = allg. Lösung des homogenen Problems +spezielle Lösung des inhomogenen Problems.

Dein Problem ist aber nicht linear !! Wie du es mit Trennung der Ver. lösen kannst hat Leduart Dir doch gezeigt !

Übrigens: Deine Dgl. ist auch eine Riccatische Dgl. Lösungsmethoden hierfür findest Du in der Literatur


FRED

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Anfangswertproblem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:16 Do 15.05.2008
Autor: Martinius

Hallo sqoody,

leduart hat dir die richtige Lösung doch schon aufgeschrieben:

$ [mm] cosx\cdot{}y'-sinx\cdot{}y^2=sinx [/mm] $

$ [mm] cos(x)*y'=sin(x)*y^2+sin(x) [/mm] $

$ [mm] cos(x)*y'=sin(x)*(y^2+1) [/mm] $

$ [mm] y'=tan(x)*(y^2+1) [/mm] $

$ [mm] \bruch{dy}{dx}=tan(x)*(y^2+1) [/mm] $

[mm] $\integral \bruch{1}{1+y^2}\;dy=\integral tan(x)\;dx$ [/mm]

$arctan(y) = -ln(cos(x))+C$

$y = tan(C-ln(cos(x))$

Nun noch die Anfangsbedingung einsetzen: y(0) = 0

$y = tan(C-ln(cos(0))=0$

$C = arctan(0)=0$

Also heißt die spezielle Lösung:

$y = tan(-ln(cos(x))=0$


LG, Martinius




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Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:02 Mi 14.05.2008
Autor: leduart

Hallo
normalerweise ist das mit erst homogene, dann inhomogene richtig, das gilt aber eigentlich nur für lineare Dgl.
hier hast du nur einfach falsch gerechnet:

> [mm]cosx*y'-sinx*y^2=sinx[/mm] y(0)=0

[mm] y'*cosx=sinx(1+y^2) [/mm]
also [mm] y'/(1+y^2)=sinx/cosx [/mm]
also direkt Trennung der Variablen.
Mach deine Rechnungen mit einem Zwischenschritt mehr, das spart am Ende viel Zeit!
Gruss leduart

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