Anfangswertproblem < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:40 Mo 14.02.2011 | | Autor: | Klemme |
| Aufgabe | | Lösen Sie das Anfangswertproblem: y' = [mm] \bruch{1+y}{tan x}, [/mm] y( [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] = 0 |
Hallo,
das Anfangswertproblem kann ich ja lösen, wenn ich die Stammfunktion löse.Die wäre in dem Fall (laut Onlineintegrator): y= (y+1) * log (sin(x)) + C.
Nun setze ich die Werte ein:
0 = [mm] log(sin(\bruch{\pi}{2}))+C [/mm] und stelle nach C um und komme damit auf c = 1,562
und als Lösung y= (y+1)* log(sin(x) + 1,562
(Ich hoffe, zumindest das mit dem Anfangswert is richtig)
Mein Problem ist eher, wie ich eine Gleichung mit zwei Variablen integriere. Könnte mir vielleicht jemand nen Tipp geben, wie ich das anfange?
Danke schon mal.
lg
Klemme
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:17 Mo 14.02.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Klemme!
Ich weiß nicht, was Du Deinem Onlineintegrator eingegeben hast ... ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Aber um diese Differentialgleichung zu lösen, solltest Du zunächst beide Variablen auf beiden Seiten der Gleichung verteilen (sogenannte "Trennung der Variablen") und anschließend auf beiden Seiten integrieren.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Mo 14.02.2011 | | Autor: | Klemme |
Hallo Loddar,
ich versuch es mal:
y' = [mm] \bruch{1+y}{tanx}
[/mm]
Variablen trennen:
tanx = [mm] \bruch [/mm] {1+y}{y'}
beide Seiten integrieren:
[mm] \integral [/mm] tanx dx = -ln|cosx| + C
[mm] \integral \bruch [/mm] {1+y}{y'}dy = 2y- [mm] \integral \bruch {y}{\wurzel {y}} [/mm] dy = 2y- [mm] \bruch{2y^{\bruch{3}{2}}}{3} [/mm] +C
So, nun hab ich ja aber auf beiden Seiten der Gleichung ein C stehen, was es ja schwer macht, nach c aufzulösen. Falls das richtig ist bis hierhin, wie löse ich nun das Anfangswertproblem?
lg
Klemme
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Hallo Klemme,
> Hallo Loddar,
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> ich versuch es mal:
> y' = [mm]\bruch{1+y}{tanx}[/mm]
>
> Variablen trennen:
> tanx = [mm]\bruch[/mm] {1+y}{y'}
Es muss doch hier stehen:
[mm]\bruch{1}{1+y} \ y' = \bruch{1}{tan\left(x\right)}[/mm]
Dann [mm]y'=\bruch{dy}{dx}[/mm]
Daraus ergibt sich dann
[mm]\bruch{1}{1+y} \ dy = \bruch{1}{tan\left(x\right)} \ dx[/mm]
Und jetzt kannst Du beidseitig integrieren.
>
> beide Seiten integrieren:
> [mm]\integral[/mm] tanx dx = -ln|cosx| + C
> [mm]\integral \bruch[/mm] {1+y}{y'}dy = 2y- [mm]\integral \bruch {y}{\wurzel {y}}[/mm]
> dy = 2y- [mm]\bruch{2y^{\bruch{3}{2}}}{3}[/mm] +C
>
> So, nun hab ich ja aber auf beiden Seiten der Gleichung ein
> C stehen, was es ja schwer macht, nach c aufzulösen. Falls
> das richtig ist bis hierhin, wie löse ich nun das
> Anfangswertproblem?
>
> lg
>
> Klemme
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Mo 14.02.2011 | | Autor: | Klemme |
> Es muss doch hier stehen:
[mm]\bruch{1}{1+y} \ y' = \bruch{1}{tan\left(x\right)}[/mm]
> Dann [mm]y'=\bruch{dy}{dx}[/mm]
> Daraus ergibt sich dann
[mm]\bruch{1}{1+y} \ dy = \bruch{1}{tan\left(x\right)} \ dx[/mm]
> Und jetzt kannst Du beidseitig integrieren.
ok. habs wohl falsch umgestellt. also nochmal ^^
[mm] \integral \bruch{1}{1+y} [/mm] dy = log(y+1)+C
[mm] \integral \bruch{1}{tan\left(x\right)} [/mm] dx = log(sinx)+C
also:
log(y+1)+C = log(sinx)+C
Was mach ich nun mit dem c auf beiden Seiten oder gehe ich das völlig falsch an? (man muss das doch nach c umstellen und x und y einsetzen, um c zu bestimmen, oder?)
lg
Klemme
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> > Es muss doch hier stehen:
>
> [mm]\bruch{1}{1+y} \ y' = \bruch{1}{tan\left(x\right)}[/mm]
>
> > Dann [mm]y'=\bruch{dy}{dx}[/mm]
>
> > Daraus ergibt sich dann
>
> [mm]\bruch{1}{1+y} \ dy = \bruch{1}{tan\left(x\right)} \ dx[/mm]
>
> > Und jetzt kannst Du beidseitig integrieren.
>
> ok. habs wohl falsch umgestellt. also nochmal ^^
>
> [mm]\integral \bruch{1}{1+y}[/mm] dy = log(y+1)+C
> [mm]\integral \bruch{1}{tan\left(x\right)}[/mm] dx = log(sinx)+C
>
> also:
> log(y+1)+C = log(sinx)+C
also links hast du z.b. [mm] C_1 [/mm] und rechts [mm] C_2. [/mm] das [mm] C_1 [/mm] holst du nach rechts und taufst [mm] C_2-C_1 [/mm] um in C
das kannst du auch direkt nach dem integrieren auf die rechte seite schreiben
nun nach y auflösen und das awp einsetzen und nach c auflösen
>
> Was mach ich nun mit dem c auf beiden Seiten oder gehe ich
> das völlig falsch an? (man muss das doch nach c umstellen
> und x und y einsetzen, um c zu bestimmen, oder?)
>
> lg
>
> Klemme
>
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:36 Mi 16.02.2011 | | Autor: | Klemme |
Ah, Jetzt hab ichs. ^^
Danke nochmal an alle für die Hilfe.
lg
Klemme
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