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| Aufgabe | | gib für das AWP y' = [mm] sqrt(y^2 [/mm] - 1), y(0) = 1 eine zweiparametrige schar von lösungen an |
hi, ich versteh diese aufgabenlösung nicht so recht, ich habe die stationären punkte berechnet (+-1) [dazu muss ich doch immer die ableitung 0 setzen oder?] und habe festgestellt, dass y identisch +-1 immer lösung ist [gilt das immer für stationäre punkte?]
dann heißt es weiter:
sei y eine weitere lsg mit y != 1. da y' >= 0, ist y monoton wachsend, also ex. ein a aus R mit y(t) > 1 für alle t > a.
weiterhin ist y' lipschitzstetig für |y| > 1
[wie genau zeig ich das? ich kann natürlich die bedingung ansetzen, dann steht da [mm] |sqrt(y1^2 [/mm] - 1) - [mm] sqrt(y2^2 [/mm] - 1)| = L * |y1 - y2|, aber damit ists doch noch nicht bewiesen oder?],
also ist jede lsg eindeutig für |y| >1 [klar, schätze das ist picard lindelöf ?!]
dann ist die lösungsschar
1 für t<a, a>=0
y(t) =
cosh(t-a) für t > a
wieso brauch ich denn da dieses a? es ist doch a einfach gleich 1 oder nicht?und wieso ist y = 1 für t < a? meiner meinung nach ist die funktion für |y| < 1 doch gar nicht definiert.
wäre für jede hilfe äußerst dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo w3rk3rhund,
> gib für das AWP y' = [mm]sqrt(y^2[/mm] - 1), y(0) = 1 eine
> zweiparametrige schar von lösungen an
>
> hi, ich versteh diese aufgabenlösung nicht so recht, ich
> habe die stationären punkte berechnet (+-1) [dazu muss ich
> doch immer die ableitung 0 setzen oder?] und habe
Ja.
> festgestellt, dass y identisch +-1 immer lösung ist [gilt
> das immer für stationäre punkte?]
>
Ja.
> dann heißt es weiter:
> sei y eine weitere lsg mit y != 1. da y' >= 0, ist y
> monoton wachsend, also ex. ein a aus R mit y(t) > 1 für
> alle t > a.
>
> weiterhin ist y' lipschitzstetig für |y| > 1
> [wie genau zeig ich das? ich kann natürlich die bedingung
Zeige, die Beschränktheit von
[mm]\bruch{d}{dy}\wurzel{y^{2}-1}[/mm]
> ansetzen, dann steht da [mm]|sqrt(y1^2[/mm] - 1) - [mm]sqrt(y2^2[/mm] - 1)| =
> L * |y1 - y2|, aber damit ists doch noch nicht bewiesen
> oder?],
Richtig.
> also ist jede lsg eindeutig für |y| >1 [klar, schätze
> das ist picard lindelöf ?!]
>
> dann ist die lösungsschar
> 1 für t<a, a>=0
> y(t) =
> cosh(t-a) für t > a
>
> wieso brauch ich denn da dieses a? es ist doch a einfach
> gleich 1 oder nicht?und wieso ist y = 1 für t < a? meiner
Das folgt aus der Anfangsbedingung.
> meinung nach ist die funktion für |y| < 1 doch gar nicht
> definiert.
Das a benötigst Du um die Lipschitz-Stetigkeit zu zeigen.
>
> wäre für jede hilfe äußerst dankbar!
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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> gib für das AWP y' = [mm]sqrt(y^2[/mm] - 1), y(0) = 1 eine
> zweiparametrige schar von lösungen an
Hallo,
so wie ich es sehe, ist die Lösungsschar des obigen
AWP (eben mit der Anfangsbedingung y(0)=1) nicht
zweiparametrig, sondern nur einparametrig.
Lässt man die Bedingung y(0)=1 weg, so ist die Lösungs-
schar zweiparametrig - aber es ist dann ja gar kein
AWP mehr !
LG Al-Chw.
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