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| Aufgabe | Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem:
y`=(1+y)sinx , y(0)=1 |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich weiß, dass es sich hierbei um eine inhomogene DGL handelt. Dazu muss ich "Variation der Konstanten" anwenden. Also 1. die zugehörige homogene DGL lösen und 2. einen Ansatz mit variierter Konstante machen.
Also y'=sinx
y=Dx
D'x = sinx
Dx = -cosx+C
y= -cosx+C
y(0)=1
1= -cos(0)+C
1=-1+C
2=C
y=-cosx+2
Ich würde mich freuen,wenn mal schauen könnt, ob das so stimmt
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Di 01.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Diese Dgl löst du mit Trennung der Variablen!
es ist nicht eine lin Dgl der Form y'+f(x)*y=g(x)
also ist auch y'=sinx nicht die homogene
Du slltest dein Ergebnis IMMER in die Dgl einsetzen zur Probe!
hier y=-cosx+c
y'=sinx
sin(x)=(-cos(x)+c)*sin(x) ???? kann ja wohl nicht stimmen.
Gruss leduart
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Hallo,
aber Trennung der Variablen setze ich doch nur bei homogenen DGL ein.In der Aufgabe handelt es sich um eine inhomogene DGL.
Gruß
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Hallo!
Mach dir doch nicht so viele Gedanken, wann du was benutzen musst, sondern probier es aus.
Also die DGL lautet
y'=(1+y)sin(x)
<=> [mm] \bruch{y'}{1+y}=sin(x)
[/mm]
Schreibe y' um in [mm] \bruch{\partial y}{\partial x}
[/mm]
=> [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1+y} dy}=\integral_{}^{}{sin(x) dx}
[/mm]
Nun lös die Integrale, bestimme die Lösung y und berechne die Konstante mit dem Anfangswert.
Gruß
TheBozz-mismo
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Hallo,
bei Trennung der Variablen komme ich klar.Ich habe dann als Antwort:
y=e^(-cosx+(ln(2)-1))-1
Gruß
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Hallo Student89,
> Hallo,
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> bei Trennung der Variablen komme ich klar.Ich habe dann als
> Antwort:
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> y=e^(-cosx+(ln(2)-1))-1
Wie kommst du denn darauf?
Mit TdV ergibt sich doch
[mm]\frac{1}{1+y} \ dy \ = \ \sin(x) \ dx[/mm]
Beiderseits integrieren: [mm]\int{\frac{1}{1+y} \ dy} \ = \ \int{\sin(x) \ dx}[/mm]
Also [mm] $\ln(|1+y|) [/mm] \ = \ [mm] -\cos(x)+c_1
[/mm]
Damit [mm]y \ = \ c\cdot{}e^{-\cos(x)}-1[/mm] mit [mm]c\in\IR[/mm]
Dann die Anfangsbedingung [mm]y(0)=1[/mm], um [mm]c[/mm] zu bestimmen:
[mm]y(0)=c\cdot{}e^{-\cos(0)}-1=c\cdot{}e^{-1}-1\overset{!}{=}1[/mm], also [mm]c=2e[/mm]
Es löst also [mm]y:\IR\to\IR, x\mapsto 2e\cdot{}e^{-\cos(x)}-1[/mm] die gegebene Anfangswertaufgabe
Gruß
schachuzipus
>
> Gruß
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