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Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:44 So 08.01.2012
Autor: meely

Aufgabe
Lösen Sie: u''+5u'+6u=cos(t), u(0)=u'(0)=1,1

[mm] Up(t)=\alpha*cos(t+\sigma) [/mm] ... Ansatz für Partikulärlösung

hallo :)

habe mich nun mit diffgl. 2. ordnung beschäftigt und bin auf ein problem gestoßen. normalerweise würde ich für dieses bsp einen anderen ansatz für die partikulärlösung Up(t) wählen, jedoch soll ich den gegebenen verwenden.

homogene lösung haben ich schon berechnet.

meine idee für die lösung der partikulärlösung wäre:

u''+5u'+6u=cos(t) -->

[mm] -\alpha*cos(t+\sigma)-5\alpha*sin(t+\sigma)+6\alpha*cos(t+\sigma)=cos(t) [/mm]

für t= [mm] \frac{pi/2} [/mm] folgt: [mm] -\alpha*cos((pi/2)+\sigma)-5\alpha*sin((pi/2)+\sigma)+6\alpha*cos((pi/2+)\sigma)=0 [/mm]

[mm] -5*sin((pi/2)+\sigma)+5*cos((pi/2+)\sigma)=0 [/mm]

für t=0 folgt

[mm] -5*sin(\sigma)+5*cos(\sigma)=1 [/mm]

nun würde ich mir gerne [mm] \sigma [/mm] berechnen (um anschließend [mm] \alpha [/mm] zu berechnen und die diffgl. lösen) jedoch komme ich hier auf keinen grünen zweig. wissen tu ich das [mm] \sigma=4*pi/7 [/mm] sein sollte - wie ich das herrausfinde allerdings nicht :( vielleicht könnt ihr mir helfen.

liebe grüße meely

        
Bezug
Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:34 Mo 09.01.2012
Autor: Martinius

Hallo meely,


> Lösen Sie: u''+5u'+6u=cos(t), u(0)=u'(0)=1,1
>  
> [mm]Up(t)=\alpha*cos(t+\sigma)[/mm] ... Ansatz für
> Partikulärlösung
>  hallo :)
>  
> habe mich nun mit diffgl. 2. ordnung beschäftigt und bin
> auf ein problem gestoßen. normalerweise würde ich für
> dieses bsp einen anderen ansatz für die partikulärlösung
> Up(t) wählen, jedoch soll ich den gegebenen verwenden.
>  
> homogene lösung haben ich schon berechnet.
>  
> meine idee für die lösung der partikulärlösung wäre:
>  
> u''+5u'+6u=cos(t) -->
>
> [mm]-\alpha*cos(t+\sigma)-5\alpha*sin(t+\sigma)+6\alpha*cos(t+\sigma)=cos(t)[/mm]
>  
> für t= [mm]\frac{pi/2}[/mm] folgt:
> [mm]-\alpha*cos((pi/2)+\sigma)-5\alpha*sin((pi/2)+\sigma)+6\alpha*cos((pi/2+)\sigma)=0[/mm]
>  
> [mm]-5*sin((pi/2)+\sigma)+5*cos((pi/2+)\sigma)=0[/mm]
>  
> für t=0 folgt
>  
> [mm]-5*sin(\sigma)+5*cos(\sigma)=1[/mm]
>  
> nun würde ich mir gerne [mm]\sigma[/mm] berechnen (um anschließend
> [mm]\alpha[/mm] zu berechnen und die diffgl. lösen) jedoch komme
> ich hier auf keinen grünen zweig. wissen tu ich das
> [mm]\sigma=4*pi/7[/mm] sein sollte - wie ich das herrausfinde
> allerdings nicht :( vielleicht könnt ihr mir helfen.
>  
> liebe grüße meely



Deine partikuläre Lösung lautet:

[mm] $u_p \; [/mm] = [mm] \; \frac{1}{10}*sin(t) [/mm] + [mm] \frac{1}{10}*cos(t) [/mm] $


Das kannst Du umschreiben in:

[mm] $u_p \; [/mm] = [mm] \; \frac{\wurzel{2}}{10}*cos \left(t-\frac{\pi}{4} \right)$ [/mm]  oder  [mm] $u_p \; [/mm] = [mm] \; \frac{\wurzel{2}}{10}*sin \left(t+\frac{\pi}{4} \right)$ [/mm]


So ich mich nicht verrechnet habe.

LG, Martinius


Edit: Ich hatte mich doch verrechnet. Entschuldigung.  Habe oben korrigiert.


Bezug
                
Bezug
Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:53 Mo 09.01.2012
Autor: meely


> Deine partikuläre Lösung lautet:
>  
> [mm]u_p \; = \; \frac{1}{10}*sin(t) + \frac{1}{10}*cos(t)[/mm]

>

ich weiß doch nicht mal wie ich auf [mm] \sigma [/mm] komme .. :( wie soll ich denn das dann nachvollziehen? bzw hast du glaub ich [mm] \sigma [/mm] sogar vergessen, da ja die eigentliche partikulärlösung [mm] Up(t)=\frac{\sqrt{2}}{10}*cos(t+\frac{7\pi}{4}) [/mm] lautet..

  

>
> Das kannst Du umschreiben in:
>  
> [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}*cos \left(t-\frac{\pi}{2} \right)[/mm]
>  oder  [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}*sin \left(t+\frac{\pi}{2} \right)[/mm]
>  
>
> So ich mich nicht verrechnet habe.
>  
> LG, Martinius

Trotzdem danke,

Liebe Grüße Meely


Bezug
                        
Bezug
Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:00 Mo 09.01.2012
Autor: Martinius

Hallo meely,

ich hatte mich oben verrechnet. Sorry.


> > Deine partikuläre Lösung lautet:
>  >  
> > [mm]u_p \; = \; \frac{1}{10}*sin(t) + \frac{1}{10}*cos(t)[/mm]
>  >
>  
> ich weiß doch nicht mal wie ich auf [mm]\sigma[/mm] komme .. :( wie
> soll ich denn das dann nachvollziehen? bzw hast du glaub
> ich [mm]\sigma[/mm] sogar vergessen, da ja die eigentliche
> partikulärlösung
> [mm]Up(t)=\frac{\sqrt{2}}{10}*cos(t+\frac{7\pi}{4})[/mm] lautet..
>  
>
> >
> > Das kannst Du umschreiben in:
>  >  
> > [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}*cos \left(t-\frac{\pi}{2} \right)[/mm]
> >  oder  [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}*sin \left(t+\frac{\pi}{2} \right)[/mm]

>  
> >  

> >
> > So ich mich nicht verrechnet habe.
>  >  
> > LG, Martinius
>
> Trotzdem danke,
>  
> Liebe Grüße Meely
>  


Als Lösungsansatz kann man nehmen:

[mm] $u_p(t) \; [/mm] = [mm] \, [/mm] A*cos(t) + B*sin(t)$

[mm] $u_p'(t) \; [/mm] = [mm] \, [/mm] -A*sin(t) + B*cos(t)$

[mm] $u_p''(t) \; [/mm] = [mm] \, [/mm] -A*cos(t) - B*sin(t)$


Einsetzen in:  $u''+5u'+6u=cos(t)$

$-A*cos(t) - B*sin(t) -5A*sin(t)+5*B*cos(t)+6*A*cos(t)+6*B*sin(t) = cos(t)$

$(6A+5B-A)*cos(t)+(6B-5A-B)*sin(t)=cos(t)$

$5(A+B)*cos(t)+5(B-A)*sin(t)=cos(t)$

B = A

$10*A*cos(t)=cos(t)$

[mm] $A=B=\frac{1}{10}$ [/mm]


[mm] $u_p \; [/mm] = [mm] \; \frac{1}{10}*sin(t)+\frac{1}{10}*cos(t)$ [/mm]

Die Periode ist [mm] 2*\pi. [/mm]


Wo liegt das Maximum?

[mm] $u_p' \; [/mm] = [mm] \; \frac{1}{10}*cos(t)-\frac{1}{10}*sin(t) \; [/mm] = [mm] \; [/mm] 0$

[mm] $cos(t)=sin(t)=\wurzel{1-cos^2(t)}$ [/mm]

[mm] $cos^2(t)=1-cos^2(t)$ [/mm]

[mm] $cos(t)=\wurzel{\frac{1}{2}}$ [/mm]

[mm] $t=\frac{\pi}{4}$ [/mm]


Wie groß ist die Amplitude?

[mm] $u_p \left(t=\frac{\pi}{4} \right) \; [/mm] = [mm] \;\frac{1}{10}*cos\left( \frac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{10}*sin\left(\frac{\pi}{4} \right) \; [/mm] = [mm] \; \frac{\wurzel{2}}{10}$ [/mm]


Damit:   [mm] $u_p \; [/mm] = [mm] \; \frac{\wurzel{2}}{10}*cos \left(t-\frac{\pi}{4} \right)$ [/mm]


LG, Martinius

Bezug
                                
Bezug
Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:21 Mo 09.01.2012
Autor: meely

Hallo :)

> Hallo meely,
>  
> ich hatte mich oben verrechnet. Sorry.
>  
>
> > > Deine partikuläre Lösung lautet:
>  >  >  
> > > [mm]u_p \; = \; \frac{1}{10}*sin(t) + \frac{1}{10}*cos(t)[/mm]
>  
> >  >

>  >  
> > ich weiß doch nicht mal wie ich auf [mm]\sigma[/mm] komme .. :( wie
> > soll ich denn das dann nachvollziehen? bzw hast du glaub
> > ich [mm]\sigma[/mm] sogar vergessen, da ja die eigentliche
> > partikulärlösung
> > [mm]Up(t)=\frac{\sqrt{2}}{10}*cos(t+\frac{7\pi}{4})[/mm] lautet..
>  >  
> >
> > >
> > > Das kannst Du umschreiben in:
>  >  >  
> > > [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}*cos \left(t-\frac{\pi}{2} \right)[/mm]
> > >  oder  [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}*sin \left(t+\frac{\pi}{2} \right)[/mm]

>  
> >  

> > >  

> > >
> > > So ich mich nicht verrechnet habe.
>  >  >  
> > > LG, Martinius
> >
> > Trotzdem danke,
>  >  
> > Liebe Grüße Meely
>  >  
>
>
> Als Lösungsansatz kann man nehmen:
>  
> [mm]u_p(t) \; = \, A*cos(t) + B*sin(t)[/mm]
>  
> [mm]u_p'(t) \; = \, -A*sin(t) + B*cos(t)[/mm]
>  
> [mm]u_p''(t) \; = \, -A*cos(t) - B*sin(t)[/mm]
>  
>
> Einsetzen in:  [mm]u''+5u'+6u=cos(t)[/mm]
>  
> [mm]-A*cos(t) - B*sin(t) -5A*sin(t)+5*B*cos(t)+6*A*cos(t)+6*B*sin(t) = cos(t)[/mm]
>  
> [mm](6A+5B-A)*cos(t)+(6B-5A-B)*sin(t)=cos(t)[/mm]
>  
> [mm]5(A+B)*cos(t)+5(B-A)*sin(t)=cos(t)[/mm]
>  
> B = A
>  
> [mm]10*A*cos(t)=cos(t)[/mm]
>  
> [mm]A=B=\frac{1}{10}[/mm]
>  
>
> [mm]u_p \; = \; \frac{1}{10}*sin(t)+\frac{1}{10}*cos(t)[/mm]
>  
> Die Periode ist [mm]2*\pi.[/mm]
>  
>
> Wo liegt das Maximum?
>  
> [mm]u_p' \; = \; \frac{1}{10}*cos(t)-\frac{1}{10}*sin(t) \; = \; 0[/mm]
>  
> [mm]cos(t)=sin(t)=\wurzel{1-cos^2(t)}[/mm]
>  
> [mm]cos^2(t)=1-cos^2(t)[/mm]
>  
> [mm]cos(t)=\wurzel{\frac{1}{2}}[/mm]
>  
> [mm]t=\frac{\pi}{4}[/mm]
>  
>
> Wie groß ist die Amplitude?
>  
> [mm]u_p \left(t=\frac{\pi}{4} \right) \; = \;\frac{1}{10}*cos\left( \frac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{10}*sin\left(\frac{\pi}{4} \right) \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}[/mm]
>
>
> Damit:   [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}*cos \left(t-\frac{\pi}{4} \right)[/mm]
>  
>
> LG, Martinius

diesen ansatz würde ich ja auch verwenden, da er das bsp einfacher macht, leider darf ich aber nur $ [mm] Up(t)=\alpha\cdot{}cos(t+\sigma) [/mm] $ als ansatz verwenden um das bsp zu lösen. deshalb muss ich ja [mm] \sigma [/mm] lösen.

Liebe Grüße und danke, Meely

Bezug
                                        
Bezug
Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:44 Mo 09.01.2012
Autor: MathePower

Hallo meely,

> Hallo :)
>  
> > Hallo meely,
>  >  
> > ich hatte mich oben verrechnet. Sorry.
>  >  
> >
> > > > Deine partikuläre Lösung lautet:
>  >  >  >  
> > > > [mm]u_p \; = \; \frac{1}{10}*sin(t) + \frac{1}{10}*cos(t)[/mm]
>  
> >  

> > >  >

>  >  >  
> > > ich weiß doch nicht mal wie ich auf [mm]\sigma[/mm] komme .. :( wie
> > > soll ich denn das dann nachvollziehen? bzw hast du glaub
> > > ich [mm]\sigma[/mm] sogar vergessen, da ja die eigentliche
> > > partikulärlösung
> > > [mm]Up(t)=\frac{\sqrt{2}}{10}*cos(t+\frac{7\pi}{4})[/mm] lautet..
>  >  >  
> > >
> > > >
> > > > Das kannst Du umschreiben in:
>  >  >  >  
> > > > [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}*cos \left(t-\frac{\pi}{2} \right)[/mm]
> > > >  oder  [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}*sin \left(t+\frac{\pi}{2} \right)[/mm]

>  
> >  

> > >  

> > > >  

> > > >
> > > > So ich mich nicht verrechnet habe.
>  >  >  >  
> > > > LG, Martinius
> > >
> > > Trotzdem danke,
>  >  >  
> > > Liebe Grüße Meely
>  >  >  
> >
> >
> > Als Lösungsansatz kann man nehmen:
>  >  
> > [mm]u_p(t) \; = \, A*cos(t) + B*sin(t)[/mm]
>  >  
> > [mm]u_p'(t) \; = \, -A*sin(t) + B*cos(t)[/mm]
>  >  
> > [mm]u_p''(t) \; = \, -A*cos(t) - B*sin(t)[/mm]
>  >  
> >
> > Einsetzen in:  [mm]u''+5u'+6u=cos(t)[/mm]
>  >  
> > [mm]-A*cos(t) - B*sin(t) -5A*sin(t)+5*B*cos(t)+6*A*cos(t)+6*B*sin(t) = cos(t)[/mm]
>  
> >  

> > [mm](6A+5B-A)*cos(t)+(6B-5A-B)*sin(t)=cos(t)[/mm]
>  >  
> > [mm]5(A+B)*cos(t)+5(B-A)*sin(t)=cos(t)[/mm]
>  >  
> > B = A
>  >  
> > [mm]10*A*cos(t)=cos(t)[/mm]
>  >  
> > [mm]A=B=\frac{1}{10}[/mm]
>  >  
> >
> > [mm]u_p \; = \; \frac{1}{10}*sin(t)+\frac{1}{10}*cos(t)[/mm]
>  >  
> > Die Periode ist [mm]2*\pi.[/mm]
>  >  
> >
> > Wo liegt das Maximum?
>  >  
> > [mm]u_p' \; = \; \frac{1}{10}*cos(t)-\frac{1}{10}*sin(t) \; = \; 0[/mm]
>  
> >  

> > [mm]cos(t)=sin(t)=\wurzel{1-cos^2(t)}[/mm]
>  >  
> > [mm]cos^2(t)=1-cos^2(t)[/mm]
>  >  
> > [mm]cos(t)=\wurzel{\frac{1}{2}}[/mm]
>  >  
> > [mm]t=\frac{\pi}{4}[/mm]
>  >  
> >
> > Wie groß ist die Amplitude?
>  >  
> > [mm]u_p \left(t=\frac{\pi}{4} \right) \; = \;\frac{1}{10}*cos\left( \frac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{10}*sin\left(\frac{\pi}{4} \right) \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}[/mm]
> >
> >
> > Damit:   [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}*cos \left(t-\frac{\pi}{4} \right)[/mm]
>  
> >  

> >
> > LG, Martinius
>
> diesen ansatz würde ich ja auch verwenden, da er das bsp
> einfacher macht, leider darf ich aber nur
> [mm]Up(t)=\alpha\cdot{}cos(t+\sigma)[/mm] als ansatz verwenden um
> das bsp zu lösen. deshalb muss ich ja [mm]\sigma[/mm] lösen.
>  


Dieser Ansatz lässt sich auf obigen Ansatz zuürckführen mit

[mm]A=\alpha*\cos\left(\sigma\right), \ B=-\alpha*\sin\left(\sigma\right)[/mm]


> Liebe Grüße und danke, Meely


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:57 Mo 09.01.2012
Autor: meely

Hallo MathePower :)

> Hallo meely,
>  
>
> Dieser Ansatz lässt sich auf obigen Ansatz zuürckführen
> mit
>  
> [mm]A=\alpha*\cos\left(\sigma\right), \ B=-\alpha*\sin\left(\sigma\right)[/mm]
>  
>
> > Liebe Grüße und danke, Meely
>
>
> Gruss
>  MathePower

AH ! das ist des Rätsel's Lösung. Dann ist mir alles klar - danke :)

dann komme ich auch auf $ [mm] u_p \; [/mm] = [mm] \; \frac{\wurzel{2}}{10}\cdot{}cos \left(t-\frac{\pi}{4} \right) [/mm] $

Mein Professor hat uns die Lösung $ [mm] u_p \; [/mm] = [mm] \; \frac{\wurzel{2}}{10}\cdot{}cos \left(t-\frac{7\pi}{4} \right) [/mm] $ gegeben. Ist dies das selbe nur phasenverschoben ? Also um [mm] +6\pi/4 [/mm] ? oder hab ich da was falsch verstanden?

Dank und liebe Grüße, Meely :)



Bezug
                                                        
Bezug
Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:18 Mo 09.01.2012
Autor: MathePower

Hallo meely,

> Hallo MathePower :)
>  
> > Hallo meely,
>  >  
> >
> > Dieser Ansatz lässt sich auf obigen Ansatz zuürckführen
> > mit
>  >  
> > [mm]A=\alpha*\cos\left(\sigma\right), \ B=-\alpha*\sin\left(\sigma\right)[/mm]
>  
> >  

> >
> > > Liebe Grüße und danke, Meely
> >
> >
> > Gruss
>  >  MathePower
>
> AH ! das ist des Rätsel's Lösung. Dann ist mir alles klar
> - danke :)
>  
> dann komme ich auch auf [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}\cdot{}cos \left(t-\frac{\pi}{4} \right)[/mm]
>  
> Mein Professor hat uns die Lösung [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}\cdot{}cos \left(t-\frac{7\pi}{4} \right)[/mm]
> gegeben. Ist dies das selbe nur phasenverschoben ? Also um
> [mm]+6\pi/4[/mm] ? oder hab ich da was falsch verstanden?
>  


Nein, das ist nicht dasselbe.

Die Lösung von Dir:

[mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}\cdot{}cos \left(t-\frac{\pi}{4} \right)=\[\frac{\mathrm{sin}\left( t\right) }{10}+\frac{\mathrm{cos}\left( t\right) }{10}\][/mm]


Die Lösung Deines Profs:

[mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}\cdot{}cos \left(t-\frac{7\pi}{4} \right)=\[\frac{\mathrm{cos}\left( t\right) }{10}-\frac{\mathrm{sin}\left( t\right) }{10}\][/mm]

Diese Lösung ist keine partikuläre Lösung.

Wahrscheinlich meinte der Prof:

[mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}\cdot{}cos \left(t\blue{+}\frac{7\pi}{4} \right)[/mm]


> Dank und liebe Grüße, Meely :)
>  


Gruss
MathePower  

Bezug
                                                                
Bezug
Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:21 Mo 09.01.2012
Autor: meely


> > Mein Professor hat uns die Lösung [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}\cdot{}cos \left(t-\frac{7\pi}{4} \right)[/mm]
> > gegeben. Ist dies das selbe nur phasenverschoben ? Also um
> > [mm]+6\pi/4[/mm] ? oder hab ich da was falsch verstanden?
>  >  
>
>
> Nein, das ist nicht dasselbe.
>  
> Die Lösung von Dir:
>  
> [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}\cdot{}cos \left(t-\frac{\pi}{4} \right)=\[\frac{\mathrm{sin}\left( t\right) }{10}+\frac{\mathrm{cos}\left( t\right) }{10}\][/mm]
>  
>
> Die Lösung Deines Profs:
>  
> [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}\cdot{}cos \left(t-\frac{7\pi}{4} \right)=\[\frac{\mathrm{cos}\left( t\right) }{10}-\frac{\mathrm{sin}\left( t\right) }{10}\][/mm]
>
> Diese Lösung ist keine partikuläre Lösung.
>  
> Wahrscheinlich meinte der Prof:
>  
> [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}\cdot{}cos \left(t\blue{+}\frac{7\pi}{4} \right)[/mm]
>  

danke für deine antwort :)
hmm mag sein dass er sich da vertan hat.. aber wie kommt man dann trotzdem auf die [mm] 7\pi/4 [/mm] ?

> Gruss
>  MathePower  

Liebe Grüße :)

Bezug
                                                                        
Bezug
Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:27 Mo 09.01.2012
Autor: leduart

Hallo
[mm] cos(t+\phi)=cos(t+\phi\pm 2\pi) [/mm]
Gruss leduart

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Bezug
Anfangswertproblem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:50 Mo 09.01.2012
Autor: meely

also in dem fall wirklich um 2pi phasenverschoben :) okay danke :)

wart mir eine sehr große hilfe :) danke danke danke danke ...

liebe grüße meely

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