Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 Di 13.03.2012 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie zu der folgenden Differentialgleichung zunächst die allgemeine Lösung und lösen Sie dann das Anfangswertproblem.
[mm] y'=\bruch{2}{x}y+1 [/mm] mit x>0 und y(1)=0 |
Also ich hab die Lösung (im Anhang hochgeladen) aber ich verstehe nicht wie man darauf kommt.
Also die homogene Lösung müsste man ja mit Trennung der Variablen bekommen, also:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{y} dy}=\integral_{}^{}{2x^{-1} dx}
[/mm]
und das ist ja
ln|y|=2*ln|x|+c (wenn man c [mm] \in \IR [/mm] zulässt kann man ja die Beträge weglassen)...das alles hoch e genommen ergibt:
[mm] y=x^2+d [/mm] mit [mm] d=e^c
[/mm]
Ich verstehe nicht wie die auf die andere Lösung kommen :/
Kann mir das vielleicht jemand erklären?
Lösung
Gruß David
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:00 Di 13.03.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo David!
> Bestimmen Sie zu der folgenden Differentialgleichung
> zunächst die allgemeine Lösung und lösen Sie dann das
> Anfangswertproblem.
> [mm]y'=\bruch{2}{x}y+1[/mm] mit x>0 und y(1)=0
> Also ich hab die Lösung (im Anhang hochgeladen) aber ich
> verstehe nicht wie man darauf kommt.
> Also die homogene Lösung müsste man ja mit Trennung der
> Variablen bekommen, also:
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{y} dy}=\integral_{}^{}{2x^{-1} dx}[/mm]
>
> und das ist ja
> ln|y|=2*ln|x|+c (wenn man c [mm]\in \IR[/mm] zulässt kann man ja
> die Beträge weglassen)...das alles hoch e genommen
> ergibt:
> [mm]y=x^2+d[/mm] mit [mm]d=e^c[/mm]
Nein das ist falsch:
[mm] \exp(2*ln|x|+c) = x^2*e^c [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Di 13.03.2012 | | Autor: | archik |
Nun, die homogene Lösung hast du ja bereits bestimmt
[mm] y(h)=x^2 [/mm] * D
daraus bastelst du dir nun die partikuläre Lösung
du triffst eine Annahme und zwar dass [mm] y(p)=x^2*D(x) [/mm] ist
Nun musst du deine partikuläre Lösung Ableiten und in die DGL einsetzen
mach das erstmal....
gruss archik
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