Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 So 05.08.2012 | | Autor: | teo |
| Aufgabe | Geben Sie für das Anfangswertproblem
[mm] y'=\wurzel{y^2-1}; y(0) = 1 [/mm]
eine zweiparametrige Schar von Lösungen an. |
Hallo,
ich komm einfach nicht auf die Lösung. Mit Tdv wirds nix und mit Substitution komm ich auch nicht weiter.
Mit TdV erhalte ich zum Beispiel (mit Formelsammlung)
[mm] y'=\wurzel{y^2-1} \Rightarrow \integral \frac{1}{\wurzel{y^2-1}} dy = \integral dx \Rightarrow ln(c(y+\wurzel{y^2-1})) = x + C \Rightarrow c(y+\wurzel{y^2-1}) = e^{x+C} [/mm] hier hörts dann auf. Darf ich das überhaupt machen wie wäre das denn geschickter?
Vielen Dank!
Grüße
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Hallo teo,
> Geben Sie für das Anfangswertproblem
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> [mm]y'=\wurzel{y^2-1}; y(0) = 1[/mm]
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> eine zweiparametrige Schar von Lösungen an.
> Hallo,
>
> ich komm einfach nicht auf die Lösung. Mit Tdv wirds nix
> und mit Substitution komm ich auch nicht weiter.
>
> Mit TdV erhalte ich zum Beispiel (mit Formelsammlung)
>
> [mm]y'=\wurzel{y^2-1} \Rightarrow \integral \frac{1}{\wurzel{y^2-1}} dy = \integral dx \Rightarrow ln(c(y+\wurzel{y^2-1})) = x + C \Rightarrow c(y+\wurzel{y^2-1}) = e^{x+C}[/mm]
> hier hörts dann auf. Darf ich das überhaupt machen wie
> wäre das denn geschickter?
>
Mit der Substitution [mm]y=\cosh\left(t\right)[/mm] ist es geschickter.
> Vielen Dank!
>
> Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 So 05.08.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
ok. Aber das ist ja dann auch sofort die Lösung oder denn cosh(0)=1 und cosh'(t)=sinh(t) = [mm] \wurzel{cosh^2(t).-1}.
[/mm]
Was ist denn jetzt noch mit der zweiparametrigen Schar gemeint?
Vielen Dank!
Grüße
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Hallo teo,
> Hallo,
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> ok. Aber das ist ja dann auch sofort die Lösung oder denn
> cosh(0)=1 und cosh'(t)=sinh(t) = [mm]\wurzel{cosh^2(t).-1}.[/mm]
>
> Was ist denn jetzt noch mit der zweiparametrigen Schar
> gemeint?
>
Wahrscheinlich ist hier die implizite Form der Lösung gemeint:
[mm]y-\cosh\left(x\right)=0[/mm]
> Vielen Dank!
>
> Grüße
Gruss
MathePower
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