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Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:06 Mo 25.03.2013
Autor: xtraxtra

Hallo.
Ich habe eine generelle Frage zu AWPs:
Angenommen ich habe folgende allgemeine Situation gegeben:
x'=Ax mit x(0)=v
Die Matrix A ist ebenfalls gegeben.
Meine Lösung schaut wie folgt aus:
Als erstes bestimme ich die Eigenwerte und Eigenvektoren von A.
Mit dessen Hilfe kann ich dann die zu A gehörende Jordanmatrix J und die Transformationsmatrix W bilden.
Es gilt dann [mm] A=WJW^{-1} [/mm]
Anschließend berechne ich [mm] exp(A*t)=W*exp(J*t)*W^{-1} [/mm]
Ist dann exp(A*t)*v mein Lösungsvektor?



        
Bezug
Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:13 Mo 25.03.2013
Autor: fred97


> Hallo.
> Ich habe eine generelle Frage zu AWPs:
>  Angenommen ich habe folgende allgemeine Situation
> gegeben:
>  x'=Ax mit x(0)=v
>  Die Matrix A ist ebenfalls gegeben.
>  Meine Lösung schaut wie folgt aus:
> Als erstes bestimme ich die Eigenwerte und Eigenvektoren
> von A.
>  Mit dessen Hilfe kann ich dann die zu A gehörende
> Jordanmatrix J und die Transformationsmatrix W bilden.
> Es gilt dann [mm]A=WJW^{-1}[/mm]
>  Anschließend berechne ich [mm]exp(A*t)=W*exp(J*t)*W^{-1}[/mm]
>  Ist dann exp(A*t)*v mein Lösungsvektor?

Ja, [mm] e^{tA}v [/mm] löst das AWP

FRED

>  
>  


Bezug
                
Bezug
Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:17 Mo 25.03.2013
Autor: xtraxtra

Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Eine kleine Verständnisfrage hätte ich dann noch:
Wieso kann/muss ich denn nicht für t=0 einsetzen?
Weil ich interessiere mich ja für den Zeitpunkt t=0.

Bezug
                        
Bezug
Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:41 Mo 25.03.2013
Autor: ullim

Hi,

wenn Du t=0 einsetzt, erhältst Du als Lösung den Vektor v, was ja korrekt ist. Du bist aber sicherlich nicht nur an der Lösung zum Zeitpunkt t=0 interessiert sondern am gesamten zeitlichen Verlauf und den hast Du mit der Lösung

[mm] x(t)=e^{A*t}*v [/mm] ja auch beschrieben.

Bezug
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