Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die DGL [mm] x^{**}+ \omega_{0}^{2}*x=0
[/mm]
a) Suchen Sie eine Lösungsfunktion für die DGL mit den Anfangsbedingungen [mm] x(t=0)=x_{0}>0 [/mm] und [mm] x^{*}(t=0)=x^{*}_{0}=0.
[/mm]
b) Prüfen Sie ihre Ergebnisse.
(bitte die Punkte über x beachten, Ableitung nach der Zeit) |
Hallo,
ich komme bei der a) nicht weiter. Meine bisherige Rechnung:
Schritt 1) Aufstellen der charakteristischen Gleichung
[mm] x^{**}+ \omega_{0}^{2}*x=0
[/mm]
[mm] \lambda^{2}+\omega_{0}^{2}*\lambda=0
[/mm]
Schritt 2) charakteristische Gleichung nach [mm] \lambda [/mm] lösen
[mm] \lambda(\lambda+\omega_{0}^{2})=0
[/mm]
[mm] \lambda_{1}=0
[/mm]
[mm] \lambda_{2}= -\omega_{0}^{2}
[/mm]
Schritt 3) Lösungsformel aufstellen nach Fall: [mm] \lambda_{1} \not= \lambda_{2}
[/mm]
[mm] y_{1}=e^{0*x}=1
[/mm]
[mm] y_{2}=e^{-\omega_{0}^{2}*x}
[/mm]
allgemeine Lösung: [mm] y=c_{1}+c_{2}*e^{-\omega_{0}^{2}*x}
[/mm]
Irgendwie kann das nicht stimmen, meine Lambdas müssten komplex sein, damit ich sinus und cosinus mit reinbekomme. Was mache ich falsch?
Gruß, Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 Fr 10.05.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Gegeben sei die DGL [mm]x^{**}+ \omega_{0}^{2}*x=0[/mm]
>
> a) Suchen Sie eine Lösungsfunktion für die DGL mit den
> Anfangsbedingungen [mm]x(t=0)=x_{0}>0[/mm] und
> [mm]x^{*}(t=0)=x^{*}_{0}=0.[/mm]
>
> b) Prüfen Sie ihre Ergebnisse.
>
> (bitte die Punkte über x beachten, Ableitung nach der
> Zeit)
> Hallo,
>
> ich komme bei der a) nicht weiter. Meine bisherige
> Rechnung:
>
> Schritt 1) Aufstellen der charakteristischen Gleichung
>
> [mm]x^{**}+ \omega_{0}^{2}*x=0[/mm]
mit einem Klick auf die Formel siehst Du, wie man das richtig eintippt: [mm] $\ddot{x}+\omega_0^2x=0$
[/mm]
>
> [mm]\lambda^{2}+\omega_{0}^{2}*\lambda=0[/mm]
Das ist falsch. Setze [mm] $x(t)=e^{\lambda t}$ [/mm] in die DGL ein, dann solltest Du auf eine andere Gleichung kommen.
>
> Schritt 2) charakteristische Gleichung nach [mm]\lambda[/mm] lösen
>
> [mm]\lambda(\lambda+\omega_{0}^{2})=0[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1}=0[/mm]
>
> [mm]\lambda_{2}= -\omega_{0}^{2}[/mm]
>
> Schritt 3) Lösungsformel aufstellen nach Fall: [mm]\lambda_{1} \not= \lambda_{2}[/mm]
>
> [mm]y_{1}=e^{0*x}=1[/mm]
>
> [mm]y_{2}=e^{-\omega_{0}^{2}*x}[/mm]
>
> allgemeine Lösung: [mm]y=c_{1}+c_{2}*e^{-\omega_{0}^{2}*x}[/mm]
>
> Irgendwie kann das nicht stimmen, meine Lambdas müssten
> komplex sein, damit ich sinus und cosinus mit reinbekomme.
> Was mache ich falsch?
Wie gesagt, die charakteristische Gleichung stimmt nicht.
>
>
> Gruß, Andreas
Gruß,
notinX
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Ich brauche da nochmal Hilfe.
Meine char. Gleichung war falsch, weil ich nicht [mm] y=\lambda^{0}=1 [/mm] bedacht habe.
Nun lautet meine Rechnung wie folgt:
Schritt 1) charakteristische Gleichung aufstellen
[mm] \ddot{x}+w_{0}^{2}*x=0
[/mm]
[mm] \lambda^{2}+w_{0}^{2}=0
[/mm]
Schritt 2) char. Gleichung nach [mm] \lambda [/mm] lösen
[mm] \lambda^{2}=-w_{0}^{2}
[/mm]
[mm] \lambda_{1}=-i*\omega_{0}
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=i*\omega_{0}
[/mm]
3) Lösungsformel für Fall 3: [mm] \lambda_{1,2}=\alpha \pm i*\omega
[/mm]
[mm] y_{1}=e^{0*x}*sin(\omega*x)
[/mm]
[mm] y_{2}=e^{0*x}*cos(\omega*x)
[/mm]
allg. Lösung: [mm] y=c_{1}*sin(\omega_{0}*x)+c_{2}*cos(\omega_{0}*x)
[/mm]
Ist das nun bis hierhin richtig?
Gruß, Andreas
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> > Meine char. Gleichung war falsch, weil ich nicht
> > [mm]y=\lambda^{0}=1[/mm] bedacht habe.
>
> Das verstehe ich nicht.
Ich habe es so gelernt, dass man y (oder hier x) durch [mm] \lambda [/mm] ersetzt und die Anzahl der Ableitungsstriche durch Exponenten ausdrückt. So kommt man auf die char. Gleichung.
> > 3) Lösungsformel für Fall 3: [mm]\lambda_{1,2}=\alpha \pm i*\omega[/mm]
>
> Ich habe keine Ahnung von welcher Lösungsformel Du
> sprichst und wo dieses [mm]\alpha[/mm] herkommt.
Wenn Lambda konjugiert komplex ist, zieht man diese (Lösungs-)Formel heran. Je nach Relation der Lambdas sind drei Fälle zu unterscheiden. Man findet sie in der Formelsammlung (ich habe die Papula Formelsammlung, dort Seite 281), um die Fundamentalbasis und die allg. Lösung anzugeben.
Ok, ich habe x durch t ersetzt, das ist auch logisch. Muss ich nicht aber auch das y durch x ersetzen?
Dann wäre der letzte Schritt, die gegebenen Bedingungen einzusetzen:
[mm] x(t=0)=x_{0}>0
[/mm]
[mm] \dot{x}(t=0)=\dot{x}_{0}=0
[/mm]
Wenn ich das tue, habe ich:
[mm] x_{1}(t)=sin(\omega_{0}*t)
[/mm]
[mm] x_{1}(t=0)=sin(\omega_{0}*0)=0 [/mm] (Bed. nicht erfüllt)
[mm] x_{2}(t)=cos(\omega_{0}*t)
[/mm]
[mm] x_{2}(t=0)=cos(\omega_{0}*0)=1 [/mm] (Bed. erfüllt)
[mm] \dot{x}_{1}(t)=cos(\omega_{0}*t)*\omega_{0}
[/mm]
[mm] \dot{x}_{1}(t=0)=cos(\omega_{0}*0)*\omega_{0}=\omega_{0} [/mm] (Bed. nicht erfüllt)
[mm] \dot{x}_{2}(t)=-sin(\omega_{0}*t)*\omega_{0}
[/mm]
[mm] \dot{x}_{2}(t=0)=-sin(\omega_{0}*0)*\omega_{0}=0 [/mm] (Bed. erfüllt)
Was soll ich nun damit anfangen? Die Bedingungen widersprechen sich doch nun, es kann doch keine gemeinsame Lösungsfunktion geben, die beide Bedingungen erfüllt oder?
Gruß, Andreas
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Hallo Mathe-Andi,
> > > Meine char. Gleichung war falsch, weil ich nicht
> > > [mm]y=\lambda^{0}=1[/mm] bedacht habe.
> >
> > Das verstehe ich nicht.
>
> Ich habe es so gelernt, dass man y (oder hier x) durch
> [mm]\lambda[/mm] ersetzt und die Anzahl der Ableitungsstriche durch
> Exponenten ausdrückt. So kommt man auf die char.
> Gleichung.
>
>
> > > 3) Lösungsformel für Fall 3: [mm]\lambda_{1,2}=\alpha \pm i*\omega[/mm]
>
> >
> > Ich habe keine Ahnung von welcher Lösungsformel Du
> > sprichst und wo dieses [mm]\alpha[/mm] herkommt.
>
> Wenn Lambda konjugiert komplex ist, zieht man diese
> (Lösungs-)Formel heran. Je nach Relation der Lambdas sind
> drei Fälle zu unterscheiden. Man findet sie in der
> Formelsammlung (ich habe die Papula Formelsammlung, dort
> Seite 281), um die Fundamentalbasis und die allg. Lösung
> anzugeben.
>
>
> Ok, ich habe x durch t ersetzt, das ist auch logisch. Muss
> ich nicht aber auch das y durch x ersetzen?
>
> Dann wäre der letzte Schritt, die gegebenen Bedingungen
> einzusetzen:
>
>
> [mm]x(t=0)=x_{0}>0[/mm]
>
> [mm]\dot{x}(t=0)=\dot{x}_{0}=0[/mm]
>
> Wenn ich das tue, habe ich:
>
> [mm]x_{1}(t)=sin(\omega_{0}*t)[/mm]
>
> [mm]x_{1}(t=0)=sin(\omega_{0}*0)=0[/mm] (Bed. nicht erfüllt)
>
> [mm]x_{2}(t)=cos(\omega_{0}*t)[/mm]
>
> [mm]x_{2}(t=0)=cos(\omega_{0}*0)=1[/mm] (Bed. erfüllt)
>
>
> [mm]\dot{x}_{1}(t)=cos(\omega_{0}*t)*\omega_{0}[/mm]
>
> [mm]\dot{x}_{1}(t=0)=cos(\omega_{0}*0)*\omega_{0}=\omega_{0}[/mm]
> (Bed. nicht erfüllt)
>
> [mm]\dot{x}_{2}(t)=-sin(\omega_{0}*t)*\omega_{0}[/mm]
>
> [mm]\dot{x}_{2}(t=0)=-sin(\omega_{0}*0)*\omega_{0}=0[/mm] (Bed.
> erfüllt)
>
>
> Was soll ich nun damit anfangen? Die Bedingungen
> widersprechen sich doch nun, es kann doch keine gemeinsame
> Lösungsfunktion geben, die beide Bedingungen erfüllt
> oder?
>
Die allgemeine der gegebenen DGL ist doch:
[mm]x\left(t\right)=c_{1}*\sin\left(\omega_{0}t\right)+c_{2}*\cos\left(\omega_{0}t\right)[/mm]
Bestimme daraus die Lösungsfunktion, die beide Bedingungen erfüllt.
>
>
> Gruß, Andreas
Gruss
MathePower
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> Die allgemeine der gegebenen DGL ist doch:
>
> [mm]x\left(t\right)=c_{1}*\sin\left(\omega_{0}t\right)+c_{2}*\cos\left(\omega_{0}t\right)[/mm]
>
> Bestimme daraus die Lösungsfunktion, die beide Bedingungen
> erfüllt.
Ich habe nun die Lösung unseres Tutoren durchschaut, aber dafür hätte ich die Angabe für die allgemeine Lösung nicht gebraucht, sondern nur die Fundamentalbasen (soweit ich das richtig sehe)
[mm] x(t)=sin(\omega_{0}*t)
[/mm]
[mm] x(t)=cos(\omega_{0}*t)
[/mm]
denn er hat folgendes gemacht:
Bedingung 1 ist erfüllt für [mm] x(t)=cos(\omega_{0}*t) [/mm] denn [mm] x(t=0)=cos(\omega_{0}*0)=1>0
[/mm]
[mm] \ddot{x}(t)=-(\omega)^{2}*cos(\omega*t)
[/mm]
[mm] -(\omega)^{2}*cos(\omega*t)+(\omega)^{2}*cos(\omega*t)=0
[/mm]
Er hat scheinbar geschaut, dass die erste Bedingung erfüllt ist, hat dann mit dieser passenden Funktion die zweite Ableitung gebildet und die zweite Ableitung dieser Funktion und die Funktion selbst in die gegebene DGL eingesetzt, um zu zeigen, dass sie erfüllt ist.
Wozu habe ich dann aber die allgemeine Lösung berechnet?
Gruß, Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Fr 10.05.2013 | | Autor: | notinX |
> > Die allgemeine der gegebenen DGL ist doch:
> >
> >
> [mm]x\left(t\right)=c_{1}*\sin\left(\omega_{0}t\right)+c_{2}*\cos\left(\omega_{0}t\right)[/mm]
> >
> > Bestimme daraus die Lösungsfunktion, die beide Bedingungen
> > erfüllt.
>
>
> Ich habe nun die Lösung unseres Tutoren durchschaut, aber
> dafür hätte ich die Angabe für die allgemeine Lösung
> nicht gebraucht, sondern nur die Fundamentalbasen (soweit
> ich das richtig sehe)
>
> [mm]x(t)=sin(\omega_{0}*t)[/mm]
>
> [mm]x(t)=cos(\omega_{0}*t)[/mm]
>
> denn er hat folgendes gemacht:
>
> Bedingung 1 ist erfüllt für [mm]x(t)=cos(\omega_{0}*t)[/mm] denn
> [mm]x(t=0)=cos(\omega_{0}*0)=1>0[/mm]
Nein, ist sie nicht, denn die Bedingung lautet [mm] $x(0)=x_0$. [/mm] Sie wäre also nur für [mm] $x_0=1$ [/mm] erfüllt.
>
> [mm]\ddot{x}(t)=-(\omega)^{2}*cos(\omega*t)[/mm]
>
> [mm]-(\omega)^{2}*cos(\omega*t)+(\omega)^{2}*cos(\omega*t)=0[/mm]
>
>
> Er hat scheinbar geschaut, dass die erste Bedingung
> erfüllt ist, hat dann mit dieser passenden Funktion die
> zweite Ableitung gebildet und die zweite Ableitung dieser
> Funktion und die Funktion selbst in die gegebene DGL
> eingesetzt, um zu zeigen, dass sie erfüllt ist.
>
> Wozu habe ich dann aber die allgemeine Lösung berechnet?
Ich kann Dir nicht sagen, was der Tutor da getrieben hat. Du brauchst aber auf jeden Fall die allgemeine Lösung um Aufgabe zu bearbeiten.
Nimm die allgemeine Lösung und pass die Konstanten so an, dass sie die Anfangsbedingungen erfüllen.
>
>
> Gruß, Andreas
Gruß,
notinX
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Ich habe die Lösung vom Tutoren weggelegt.
Und auf eigene Faust folgendes gerechnet:
-Bedingungen in die allg. Lösung eingesetzt
-jeweils die Konstanten [mm] c_{1} [/mm] und [mm] c_{2} [/mm] berechnet
-Konstanten in die allg. Lösung wieder eingesetzt
Meine Rechnung:
[mm] x(t)=c_{1}*sin(\omega_{0}*t)+c_{2}*cos(\omega_{0}*t)
[/mm]
[mm] x(t=0)=c_{1}*sin(\omega_{0}*0)+c_{2}*cos(\omega_{0}*0)
[/mm]
[mm] =c_{1}*sin(0)+c_{2}*cos(0)
[/mm]
[mm] =c_{2}
[/mm]
Mit der Bedingung: [mm] x(t=0)=x_{0}>0 [/mm] ist also [mm] c_{2}=x_{0}
[/mm]
(erste Ableitung der allg. Lösung:)
[mm] \dot{x}(t)=c_{1}*cos(\omega_{0}*t)*\omega_{0}-c_{2}*sin(\omega_{0}*t)*\omega_{0}=0
[/mm]
[mm] c_{1}*cos(\omega_{0}*t)*\omega_{0}=c_{2}*sin(\omega_{0}*t)*\omega_{0}
[/mm]
[mm] c_{1}= x_{0}*tan(\omega_{0}*t)
[/mm]
Lösungsfunktion:
[mm] x(t)=x_{0}*tan(\omega_{0}*t)*sin(\omega_{0}*t)+x_{0}*cos(\omega_{0}*t)
[/mm]
Ist das jetzt richtig?
Gruß, Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Fr 10.05.2013 | | Autor: | notinX |
> Ich habe die Lösung vom Tutoren weggelegt.
>
> Und auf eigene Faust folgendes gerechnet:
Gute Idee.
>
> -Bedingungen in die allg. Lösung eingesetzt
> -jeweils die Konstanten [mm]c_{1}[/mm] und [mm]c_{2}[/mm] berechnet
> -Konstanten in die allg. Lösung wieder eingesetzt
>
> Meine Rechnung:
>
> [mm]x(t)=c_{1}*sin(\omega_{0}*t)+c_{2}*cos(\omega_{0}*t)[/mm]
>
> [mm]x(t=0)=c_{1}*sin(\omega_{0}*0)+c_{2}*cos(\omega_{0}*0)[/mm]
>
> [mm]=c_{1}*sin(0)+c_{2}*cos(0)[/mm]
>
> [mm]=c_{2}[/mm]
>
> Mit der Bedingung: [mm]x(t=0)=x_{0}>0[/mm] ist also [mm]c_{2}=x_{0}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> (erste Ableitung der allg. Lösung:)
>
> [mm]\dot{x}(t)=c_{1}*cos(\omega_{0}*t)*\omega_{0}-c_{2}*sin(\omega_{0}*t)*\omega_{0}=0[/mm]
Nein, die erste Ableitung ist i.A. ungleich 0.
Die Beidungung lautet: [mm] $\dot [/mm] x(0)=0$.
>
> [mm]c_{1}*cos(\omega_{0}*t)*\omega_{0}=c_{2}*sin(\omega_{0}*t)*\omega_{0}[/mm]
>
> [mm]c_{1}= x_{0}*tan(\omega_{0}*t)[/mm]
Die Dinger werden nicht umsonst [mm] $c_1$ [/mm] und [mm] $c_2$ [/mm] gekennzeichnet - c steht für 'constant' und wenn eine Konstante von der Zeit abhängt stimmt was nicht...
>
>
> Lösungsfunktion:
>
> [mm]x(t)=x_{0}*tan(\omega_{0}*t)*sin(\omega_{0}*t)+x_{0}*cos(\omega_{0}*t)[/mm]
>
> Ist das jetzt richtig?
Nein, siehe oben.
>
>
> Gruß, Andreas
>
Gruß,
notinX
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Achso, ok. Dann muss für [mm] c_{1} [/mm] gelten:
[mm] c_{1}=0
[/mm]
da
[mm] \dot{x}(t)=c_{1}*cos(\omega_{0}*t)*\omega_{0}-c_{2}*sin(\omega_{0}*t)*\omega_{0}
[/mm]
mit t=0
[mm] \dot{x}(t=0)=c_{1}*cos(0)*\omega_{0}-c_{2}*sin(0)*\omega_{0}
[/mm]
= [mm] c_{1}*\omega_{0}
[/mm]
Dann wäre die Lösungsfunktion:
[mm] x(t)=x_{0}*cos(\omega_{0}*t)
[/mm]
Das ist jetzt aber richtig oder?
Gruß, Andreas
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Hallo Mathe-Andi,
> Achso, ok. Dann muss für [mm]c_{1}[/mm] gelten:
>
> [mm]c_{1}=0[/mm]
>
> da
>
> [mm]\dot{x}(t)=c_{1}*cos(\omega_{0}*t)*\omega_{0}-c_{2}*sin(\omega_{0}*t)*\omega_{0}[/mm]
>
> mit t=0
>
> [mm]\dot{x}(t=0)=c_{1}*cos(0)*\omega_{0}-c_{2}*sin(0)*\omega_{0}[/mm]
>
> = [mm]c_{1}*\omega_{0}[/mm]
>
> Dann wäre die Lösungsfunktion:
>
> [mm]x(t)=x_{0}*cos(\omega_{0}*t)[/mm]
>
>
> Das ist jetzt aber richtig oder?
>
Ja, mit [mm]x_{0} > 0[/mm].
>
> Gruß, Andreas
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Fr 10.05.2013 | | Autor: | Mathe-Andi |
Nun weiß ich, wie das Prinzip solcher Aufgaben funkioniert.
Ich danke Euch!
Lieben Gruß, Andreas
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