Anfangswertproblem lösen < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem:
(1 + [mm] e^x) [/mm] * y * y' = [mm] e^x, [/mm] x(0) = 1 |
Hallo Leute, hier mein Lösungsvorschlag:
(1 + [mm] e^x) [/mm] * y * y' = [mm] e^x
[/mm]
(1 + [mm] e^x) [/mm] * y * [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] e^x
[/mm]
y * [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{e^x}{1 + e^x}
[/mm]
y * dy = [mm] \bruch{ex}{1 + e^x} [/mm] dx
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{e^x}{1 + e^x} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{} {e^x * \bruch{1}{1 + e^x} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{} {e^x * (1 + e^x)^-1 dx} [/mm] = ln(1 + [mm] e^x)
[/mm]
[mm] \integral_{}^{} [/mm] {y dy} = [mm] \bruch{1}{2}y^2 [/mm] + C
[mm] \bruch{1}{2}y^2 [/mm] + C = ln(1 + [mm] e^x)
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] 1^2 [/mm] + C = ln(1 + [mm] e^0) [/mm] = ln(2)
C = 2 * ln(2) = -1,38
[mm] \bruch{1}{2} y^2 [/mm] - 1,38 = ln(1 + [mm] e^x)
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} y^2 [/mm] = ln(1 + [mm] e^x) [/mm] + 1,38
y = [mm] \wurzel{2 * (ln(1 + e^x) + 1,38)}
[/mm]
Liege ich irgendwo falsch?
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Huhu,
die Aufgabe ist Physiker-typisch gelöst worden.
Tip: Guck dir nochmal deine Konstante an, die stimmt m.E. nach so nicht.
Jenachdem, um was es für eine Klausur es sich handelt, ist der Lösungsweg entweder unsauber oder ok 
Für eine Mathematikvorlesung in der man DGLs behandelt, sollte man das anders begründen, für einen Physiker passt das 
MFG,
Gono.
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Meinst du die konstante c? oder welche meinst du genau?
Wie schreibe ich denn sowas Mathematiker-like auf? Wär echt hilfreich wenn man mir zeigen könnte wie das ein Mathematiker machen würde (Es ist keine Physikklausur, sondern eine Matheklausur für informatiker / Ingenieure)
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Ja ich mein die Konstante c, die bei dir plötzlich irgendwann X heisst und später wieder c.
Schreibs nochmal sauber auf.
Wie abakus auch schrieb: Eine Probe ist immer sehr hilfreich.
> Wie schreibe ich denn sowas Mathematiker-like auf? Wär
> echt hilfreich wenn man mir zeigen könnte wie das ein
> Mathematiker machen würde (Es ist keine Physikklausur,
> sondern eine Matheklausur für informatiker / Ingenieure)
Für diese Zwecke geht deine Lösung ok.
Ein Mathematiker kann saubererweise mit "dx" nicht rechnen, als wären es Variablen, was du aber machen kannst.
Das interessante daran ist: Es ist mathematisch unsauber, führt aber zum korrekten Ergebnis, daher meine Frage, worin die Klausur geschrieben wird.
Da bein Informatikern / Ingenieuren aber mehr wert auf die korrekte Lösung und nur bedingt auf den Lösungsweg gelegt wird, geht dieses Vorgehen in Ordnung.
MFG,
Gono.
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Ok, das mit der Konstante hab ich geändert. War n Tippfehler.
Mal aber so aus reinem interesse: Wie würde das denn ein Mathematiker hinschreiben (eilt jetzt ja nicht, wenn die Lösung korrekt ist ;))
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mi 08.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:44 Sa 04.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem:
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> (1 + [mm]e^x)[/mm] * y * y' = [mm]e^x,[/mm] x(0) = 1
> Hallo Leute, hier mein Lösungsvorschlag:
>
> (1 + [mm]e^x)[/mm] * y * y' = [mm]e^x[/mm]
>
> (1 + [mm]e^x)[/mm] * y * [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]e^x[/mm]
>
> y * [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{e^x}{1 + e^x}[/mm]
>
> y * dy = [mm]\bruch{ex}{1 + e^x}[/mm] dx
>
> [mm]\integral_{}^{} {\bruch{e^x}{1 + e^x} dx}[/mm] = [mm]\integral_{}^{} {e^x * \bruch{1}{1 + e^x} dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{}^{} {e^x * (1 + e^x)^-1 dx}[/mm] = ln(1 + [mm]e^x)[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}[/mm] {y dy} = [mm]\bruch{1}{2}y^2[/mm] + C
>
> [mm]\bruch{1}{2}y^2[/mm] + X = ln(1 + [mm]e^x)[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]1^2[/mm] + x = ln(1 + [mm]e^0)[/mm] = ln(2)
>
> C = 2 * ln(2) = -1,38
>
> [mm]\bruch{1}{2} y^2[/mm] - 1,38 = ln(1 + [mm]e^x)[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2} y^2[/mm] = ln(1 + [mm]e^x)[/mm] + 1,38
>
> y = [mm]\wurzel{2 * (ln(1 + e^x) + 1,38)}[/mm]
>
> Liege ich irgendwo falsch?
Was sagt die Probe?
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Welche Probe meinst du genau? Ich kenn mich mit dem Anfangsproblem noch nicht ganz so gut aus ... :/
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Hallo john_rambo,
> Welche Probe meinst du genau? Ich kenn mich mit dem
> Anfangsproblem noch nicht ganz so gut aus ... :/
Nun, setze die Anfangsbedingung in Deine Lösung ein.
Gruss
MathePower
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Das Ergebnis scheint zu stimmen mit der Ableitung:
y' = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2 * (ln(1 + e^x) + 1,38)}} [/mm] * [mm] \bruch{e^x}{1 + e^x}
[/mm]
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Hallo john_rambo,
> Das Ergebnis scheint zu stimmen mit der Ableitung:
>
> y' = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2 * (ln(1 + e^x) + 1,38)}}[/mm] *
> [mm]\bruch{e^x}{1 + e^x}[/mm]
Klar stimmt das.
Das meinte ich aber nicht.
Setze x=0 in Deine Lösung
[mm]y = \wurzel{2 \cdot{} (ln(1 + e^x) + 1,38)} [/mm]
ein.
Gruss
MathePower
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Ich bekomm da 2,034.... raus. Und nu?
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Hallo john_rambo,
> Ich bekomm da 2,034.... raus. Und nu?
Um das zu korrigieren, setze
[mm]y\left(x\right)=\wurzel{2*\ln\left(1+e^{x\right)+K}[/mm]
Setze weiterhin die Anfangsbedingung ein, und löse nach K auf:
[mm]y\left(x_{0}\right)=\wurzel{2*\ln\left(1+e^{x_{0}\right)+K}[/mm]
Gruss
MathePower
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