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| Aufgabe | Folgende AWP sind auf Lösbarkeit und Eindeutigkeit zu analysieren. Überprüfe die Lipschitzbedingung.
a) y' = [mm] \wurzel{|y|}, [/mm] y(0) = 0
b) y' = -sgn(y) [mm] \wurzel{|y|}, [/mm] y(0) = 0
c) y' = [mm] \begin{cases} 1 + \wurzel{y}, & \mbox{für } y >= 0 \\ 1, & \mbox{für } y < 0\end{cases}, [/mm] y(0) = 0 |
Hallo!
Ich habe mich an der ersten aufgabe versucht:
Existenz von Lösungen:
Satz von Peano:
Voraussetzung: Rechte Seite stetig
Dies ist erfüllt, da die Wurzelfunktion und die Betragsfunktion stetig sind. Außerdem ist die Hintereinanderausführung von stetigen Funktionen wieder stetig.
Satz von Picard Lindelöf
VOR: Rechte Seite stetig und [mm] \exists [/mm] Lipschitzkonstante
BEH: [mm] \exists^1 [/mm] Lösung in R'
z.z. [mm] |f(x,y_1) [/mm] - [mm] f(x,y_2)| \le [/mm] L * [mm] |y_1 [/mm] - [mm] y_2| \forall (x,y_1)(x,y_2) \in [/mm] R
(mit L > 0)
also [mm] |\wurzel{|y_1|} [/mm] - [mm] \wurzel{|y_2|}| \le [/mm] L * [mm] |y_1 [/mm] - [mm] y_2|
[/mm]
L [mm] \not \exists [/mm] wegen Gegenbeispiel
sei [mm] y_1 [/mm] = [mm] 4/(16*L^2)
[/mm]
sei [mm] y_2 [/mm] = [mm] 1/(16*L^2)
[/mm]
[mm] |\wurzel{|y_1|} [/mm] - [mm] \wurzel{|y_2|}| \ge (|y_1| [/mm] - [mm] |y_2|)/(\wurzel{|y_1|} [/mm] - [mm] \wurzel{|y_2|}) [/mm] = 4/3 L * [mm] |y_1 [/mm] - [mm] y_2| \ge [/mm] L * [mm] |y_1 [/mm] - [mm] y_2|
[/mm]
=> es existiert kein L => Lösung nicht eindeutig.
Bei b) und c) stehe ich etwas an - ich weiß nicht wie man hier vorgeht. In b) existiert wohl wieder eine Lösung - weil Wurzel und signum Funktion stetig sind. selbiges gilt für c). Aber die restlichen Bedingungen bekomme ich nicht hin.
bitte um hilfe.
danke
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> b) y' = -sgn(y) [mm]\wurzel{|y|},[/mm] y(0) = 0
> In b) existiert wohl wieder eine Lösung -
> weil Wurzel und signum Funktion stetig sind.
Die Signumfunktion für sich gesehen ist natürlich
bei x=0 nicht stetig, das Produkt
[mm] -sgn(y)*\wurzel{|y|}
[/mm]
aber schon.
Eine Lösung gibt es bestimmt, nämlich die
Nullfunktion. Das ist aber vermutlich nicht
die einzig mögliche. Ich denke, dass es im
Bereich [mm] x\ge0 [/mm] drei Lösungskurven gibt:
1.) die aus Aufgabe (a)
2.) die dazu spiegelbildliche (an der x-Achse
gespiegelt)
3.) die Nullfunktion (=x-Achse)
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Do 15.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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