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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Do 16.04.2009 | | Autor: | krumble |
| Aufgabe | Gegeben ist der Unterraum
[mm] U=L(\{\vektor{3 \\ 2 \\ -1 \\ -1}, \vektor{4 \\ 6 \\ 2 \\ 4}, \vektor{-1 \\ 1 \\ 2 \\ 3}, \vektor{9 \\ 6 \\ -3 \\ -3}, \vektor{3 \\ 7 \\ 4 \\ 7}}) [/mm]
des [mm] \IR4 [/mm] über [mm] \IR.
[/mm]
Bestimmen Sie die dim U und geben Sie zwei verschiedene Basen von U an. |
Hallo!
Ich muss dieses Beispiel am Montag an der Tafel rechnen und bin mir aber dann mit den Basen gar nicht sicher.
Also, ich hab folgendes gerechnet:
1) Gauß'scher Algorithmus:
[mm] \pmat{ -1 & 2 & 2 & -3 & 4 \\ -1 & 4 & 3 & -3 & 7 \\ 3 & 4 & -1 & 9 & 3 \\ 2 & 6 & 1 & 6 & 7 } \Rightarrow
[/mm]
[mm] \pmat{ -1 & 2 & 2 & -3 & 4 \\ 0 & 2 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & 10 & 7 & 0 & 15 \\ 0 & 10 & 5 & 0 & 15 } \Rightarrow
[/mm]
[mm] \pmat{ -1 & 2 & 2 & -3 & 4 \\ 0 & 2 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & -15 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -15 & 0 } \Rightarrow
[/mm]
[mm] \pmat{ -1 & 2 & 2 & -3 & 4 \\ 0 & 2 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & -15 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & 0 }
[/mm]
Jetzt habe ich 4 Pivotelemente und den Rang(U)=4.
Aus dem Rang kann ich folgern, dass auch die dim(U)=4 ist.
Da eine Basis ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist, habe ich die erste folgendermaßen gewählt:
[mm] B1=\{\vektor{3 \\ 2 \\ -1 \\ -1}, \vektor{4 \\ 6 \\ 2 \\ 4}, \vektor{-1 \\ 1 \\ 2 \\ 3}, \vektor{9 \\ 6 \\ -3 \\ -3} }
[/mm]
Bin mir jetzt aber nicht sicher, wie ich eine zweite angeben kann.
Kann ich vielleicht sagen, dass die zweite Basis aus nur drei Vektoren besteht? Oder soll ich den Nullvektor als vierten Vektor angeben?
Bin sehr dankbar, wenn mir jemand kurz helfen kann.
Dankeschön!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
stimmt fast alles - du sagst "eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem" und da du dim U = 4 raushast, besteht eine Basis aus 4 linear unabhängigen Elementen.
Bei deinem B1 musst du noch nachweisen, dass die 4 Vektoren tatsächlich linear unabhängig sind.
Du bekommst eine Basis, wenn du aus der gegebenen Menge 4 linear unabhängige Vektoren aussuchst. Da gibt es bestimmt mehr als nur die eine Möglichkeit, die du in B1 zusammengestellt hast.
Gruß,
Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Do 16.04.2009 | | Autor: | krumble |
Danke, du hilfst mir schon sehr weiter.
Also, die Probe (durch einsetzen in die erweiterte Koeffizientenmatrix mit dem Nullvektor) ergibt für alle [mm] \lambda=0.
[/mm]
Und wenn ich dich richtig verstanden habe, muss jede meiner Basen aus 4 Vektoren bestehen, stimmt das?
Aber ich weiß doch auch, dass der fünfte Vektor abhängig ist, oder?
Ich könnte die restlichen vier Vektoren in einer anderen Reihenfolge anschreiben, macht das einen Unterschied und geht mir als 2. Basis durch?
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Ich hab die Vektoren nicht überprüft, aber gehe davon aus, dass du das richtig gerechnet hast mit der Dimension. Dann folgt automatisch, dass die 5 Vektoren linear abhängig sind und somit keine Basis bilden.
Immer wenn du jetzt 4 Vektoren nimmst, die sich aus deinen 5 bilden lassen (am einfachsten sind das natürlich die 5 gegebenen Vektoren selbst), und die sind linear unabhängig, hast du eine Basis.
Wenn du also die Vektoren [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4} [/mm] und [mm] v_{5} [/mm] hast, dann könnten verschiedene Basen sein:
Basis 1: [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4} [/mm] (wenn die linear unabhängig sind)
Basis 2: [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{5} [/mm] (wenn die linear unabhängig sind)
Basis 3: [mm] v_{2}, v_{3}, v_{5}, v_{6} [/mm] (wenn die linear unabhängig sind)
usw.
Hoffe, damit wird es noch klarer  .
Gruß,
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:57 Fr 17.04.2009 | | Autor: | krumble |
danke dir, jetzt hab ichs verstanden.
hast mir sehr geholfen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:11 So 19.04.2009 | | Autor: | krumble |
bin übrigens draufgekommen, dass ich mich verrechnet habe. wenn ich diesmal richtig gerechnet habe, ist der rang nur 2.
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