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Man stelle fest, welche der folgenden Implikationen über die Körperelemente x,a,b E K im allgemeinen falsch sind:
Die Frage wie beweis ich es bei dieser Aufgabe:
Es ist [mm] x(x-2a^2) [/mm] > genau dann, wenn [mm] |x-a^2 [/mm] | > [mm] a^2.
[/mm]
Ich würde mich über einen Lösungsansatz freuen
Gruà Peter
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Ist ab > 1 und a<1, so ist b>1
Dies heisst doch aber dass ab > 1 nicht stimmen kann wenn a= 0 oder negativ ist dann ist doch ab immer < 1 dass ist doch ein wiederspruch. Reicht dies oder kann man dies auch genauer Beweisen ?!
Hab diese Frage in keinem anderen Forum gestellt würd mich über eine schnelle Antwort freuen
MFG Peter
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Hallo!
Naja, es kommt auf die Aufgabenstellung an. Falls $a$ und $b$ als positiv vorausgesetzt sind, dann ist die Behauptung so korrekt. Andernfalls natürlich nicht, was man am besten durch Angabe eines Gegenbeispiels beweist:
Für $a = -3$ und $b = -4$ ist $ab = 12 > 1$ aber sowohl $a < 1$ als auch $b < 1$.
Wie gesagt, für positive $a$ und $b$ hingegen, ist das so richtig - kannst Du einen Beweis finden?
Gruß,
Lars
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:44 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Peter!
> Es ist [mm]x(x-2a^2)[/mm] >0 genau dann, wenn [mm]|x-a^2[/mm] | > [mm]a^2.
[/mm]
Hier noch die Lösung:
[mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
Aus [mm] $x(x-2a^2)>0$ [/mm] folgt:
1) $x>0$ und [mm] $x>2a^2$
[/mm]
oder:
2) $x<0$ und [mm] $x<2a^2$.
[/mm]
Im ersten Fall gilt:
[mm] $x-a^2>a^2$,
[/mm]
und wegen [mm] $x-a^2>x-2a^2>0$:
[/mm]
[mm] $\vert x-a^2\vert [/mm] > [mm] a^2$.
[/mm]
Im zweiten Fall gilt:
$x<0$,
also:
$ x [mm] -a^2 [/mm] < [mm] -a^2$,
[/mm]
und wegen [mm] $x-a^2 [/mm] < x < 0$:
[mm] $\vert [/mm] x - [mm] a^2 \vert >a^2$.
[/mm]
[mm] "$\Leftarrow$":
[/mm]
Aus
[mm] $\vert [/mm] x - [mm] a^2 \vert [/mm] > [mm] a^2$
[/mm]
folgt im Falle [mm] $x>a^2$:
[/mm]
[mm] $x-a^2 [/mm] > [mm] a^2$,
[/mm]
also:
[mm] $x>2a^2 [/mm] > 0$
und damit:
[mm] $x(x-2a^2)>0$
[/mm]
oder aber im Falle [mm] $x
[mm] $-a^2 [/mm] > [mm] x-a^2$,
[/mm]
also:
[mm] $x<0<2a^2$
[/mm]
und damit ebenfalls:
[mm] $x(x-2a^2)>0$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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