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Hallo zusammen,
ich habe eine generelle Frage zu folgenden Konstrukten: Y [mm] \cup_{f} [/mm] X. (Wie heissen diese Objekte eigentlich mathematisch?)
Das ist ja eine topologische Summe modulo eine Äquivalenzrelation def. via einer stetigen Abb. f. Meine Frage ist: wie ist die Topologie darauf definiert? Was ist eine offene (bzw. abgeschlossene) Menge auf diesem Objekt?
(Mir ist schon klar, dass dies die Topologie der Summe ist, aber ich habe trotzdem Mühe, vielleicht könnte mir das jemand anschaulich erklären oder beschreiben?)
Vielen Dank
Euer GorkyPark.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:14 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Manatu |
Hallo GorkyPark,
auch wenn deine Frage leider schon überfällig ist, will ich doch zu nächtlicher Stunde ncoh ein paar Sätze dazu schreiben:
1.) zu [mm] $X\cup_f [/mm] Y$: Dies ist, wie du in der Überschrift schon geschrieben hast, eine Verklebung entlang von $f$. Das kannst du dir auch wirklich als Verklebung vorstellen (und so heißen sie auch mathematisch: Verklebekonstruktion oder im englischen glueing-construktion). Zum Beispiel sei mal [mm] $X=D^1$ [/mm] die Kreisscheibe und [mm] $Y=S^1$ [/mm] der Kreisring und [mm]f:\partial D^1\rightarrow S^1[/mm] die bijektive Abbildung vom Rand der Kreisscheibe in den Kreisring. Dann ist zumindest Mengenmäßig die Verklebung [mm] $X\cup_f [/mm] Y$ genau wieder die Kreisscheibe.
2.) Topologisch sollte es auch wieder die Kreisscheibe sein: Die Topologie auf einer Verklebung [mm]X\cup_f Y[/mm] ist gleich der Quotientenraumtopologie, denn mehr ist es ja auch nicht. Genau, wie du gesagt hast, ist es ja die Summe (oder disjunkte Vereinigung) modulo einer Äquivalenzrelation. Die Topologie ist also die Quotiententopologie von der Summentopologie. Wie kann man das anschaulich machen? Am besten, indem du wirklich an das Verkleben denkst. Eine Menge ist dann offen, wenn alle Urbilder (von der Quotientenprojektion) selbst offen sind. Also, stell dir vor, du reißt die beiden Mengen dort, wo du sie zusammengeklebt hast, wieder auseinander und stellst bei beiden teilen wieder den Urzustand her. Dann müssen halt die entsprechenden Mengen auf diesen beiden Teilen offen sein, die zu der Menge auf dem verklebten Teil gehören.
Ich hoffe, das hat dir schonmal ein bisschen weiter geholfen.
Wenn du's noch brauchst, schlage ich gerne auch mal Beispiele aus meiner Vorlesung damals nach.
Mathematische Grüße,
Manatu
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