Ankreismittelpunkt < Fachdidaktik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:25 Di 30.05.2006 | | Autor: | mimi1310 |
| Aufgabe 1 | | Zeigen Sie: Der Höhenschnittpunkt eines stumpfwinkligen Dreiecks ist ein Ankreismittelpunkt seines Höhenfußpunktsdreiecks |
| Aufgabe 2 | Wie kann man mit Hilfe des ersten Strahlensatzes eine gegebene Strecke in n Teile teilen.
Hinweis: Sei AB die gegeben Strecke. Man wähle einen Punkt P außerhalb der Geraden AB und trage die Strecke AP n-mal auf der Geraden AP ab |
Hallo ihr Lieben!
Ich habe ein echtes Problem mit diesen Aufgaben
- Aufgabe 1: kann ich konstruieren passt auch alles Wunderbar, aber ich weiß nicht wie ich das beweisen soll, denn ich habe ja praktisch nichts gegeben, außer das das ursprungsdreieck einen stumpfen Winkel hat
- Aufgabe 2: Kann ich erst gar nicht konstruieren, ist die Aufgabenstellung so richtig? Kann damit echt nichts anfangen
Vielen Dank im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 Di 30.05.2006 | | Autor: | statler |
> Zeigen Sie: Der Höhenschnittpunkt eines stumpfwinkligen
> Dreiecks ist ein Ankreismittelpunkt seines
> Höhenfußpunktsdreiecks
> Wie kann man mit Hilfe des ersten Strahlensatzes eine
> gegebene Strecke in n Teile teilen.
> Hinweis: Sei AB die gegeben Strecke. Man wähle einen Punkt
> P außerhalb der Geraden AB und trage die Strecke AP n-mal
> auf der Geraden AP ab
> Hallo ihr Lieben!
>
> Ich habe ein echtes Problem mit diesen Aufgaben
Hallo du Liebe!
> - Aufgabe 1: kann ich konstruieren passt auch alles
> Wunderbar, aber ich weiß nicht wie ich das beweisen soll,
> denn ich habe ja praktisch nichts gegeben, außer das das
> ursprungsdreieck einen stumpfen Winkel hat
Im Moment sehe ich die Antwort auch noch nicht, aber das hängt wohl damit zusammen, daß die Höhen im Originaldreieck die (Neben-)Winkelhalbierenden im Höhenfußpunktdreieck sind. Ich denk im Zug mal darüber nach, warum das so ist, kann kein Hexenwerk sein.
> - Aufgabe 2: Kann ich erst gar nicht konstruieren, ist die
> Aufgabenstellung so richtig? Kann damit echt nichts
> anfangen
Aber das ist doch viel einfacher: Man nennt den letzten Punkt auf der Strecke AP C, verbindet C mit B und verschiebt CB parallel durch alle Teilpunkte auf AC. Das geht alles mit Zirkel und Lineal, die Schnittpunkte der Parallelen mit AB sind die gesuchten Teilpunkte (1. Strahlensatz).
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Mi 31.05.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Miriam!
Wir benennen das Dreieck wie üblich mit den Ecken A, B und C; der Fußpunkt der Höhe durch A soll D sein, der Fußpunkt der Höhe durch B sei E und der dritte Höhenfußpunkt sei F. Dann liegen E, F, B und C auf einem Kreis. Es ist [mm] \sphericalangle [/mm] EBC = [mm] \sphericalangle [/mm] EFC, weil es Winkel über dem gleichen Kreisbogen sind. Weiter ist [mm] \sphericalangle [/mm] EBC = 90° - [mm] \sphericalangle [/mm] ECB und [mm] \sphericalangle [/mm] EFC = 90° - [mm] \sphericalangle [/mm] EFA, also ist [mm] \sphericalangle [/mm] ECB = [mm] \sphericalangle [/mm] EFA. Die gleichen Überlegungen zeigen, daß auch [mm] \sphericalangle [/mm] ECB = [mm] \sphericalangle [/mm] DFB ist. Aber dann ist auch [mm] \sphericalangle [/mm] EFC = [mm] \sphericalangle [/mm] CFD, d. h. die Höhe ist Winkelhalbierende im Dreieck aus den Höhenfußpunkten. Die gleichen Überlegungen gelten für die beiden anderen Höhen, dabei kann das Dreieck auch stumpfwinklig sein.
Weil Seiten und Höhen senkrecht zueinander sind, halbieren die Seiten des Ursprungsdreiecks die Außenwinkel des Höhenfußpunktdreiecks, und deswegen gilt die Behauptung aus a).
Ein Bild macht vieles klarer, aber ich habe hier kein tool, da du schon eine Konstruktion hast, müßtest du es sehen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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