Annäherung im Intervall < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Sa 17.04.2010 | | Autor: | The-Nik |
| Aufgabe | Die Funktion [mm] f_{1} [/mm] soll im Intervall [0;5] durch eine lineare Funktion der Form [mm] g(x)=-\bruch{5}{4}x+c [/mm] angenähert werden.
Wie ist c zu wählen, damit die maximale Abweichng [mm] |f_{t}-g(x)|, [/mm] x [mm] \in [/mm] [0;5] möglichst klein wird?
Wie groß ist diese maximale Abweichung in diesem Fall? |
Hallo Leute,
Ich verstehe die komplette Aufgabenstellung nicht. Annähern bedeutet doch in diesem Fall "berühren". Also müsste man die beiden Funktionen gleichsetzten. Doch ich weis ja nichts über das c. Und was bedeutet maximale Abweichung? Soll das so viel heißen wie, größter Abstand?
Gruss,
Nik
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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Hallo!
> Die Funktion [mm]f_{1}[/mm] soll im Intervall [0;5] durch eine
> lineare Funktion der Form [mm]g(x)=-\bruch{5}{4}x+c[/mm] angenähert
> werden.
> Wie ist c zu wählen, damit die maximale Abweichng
> [mm]|f_{t}-g(x)|,[/mm] x [mm]\in[/mm] [0;5] möglichst klein wird?
> Wie groß ist diese maximale Abweichung in diesem Fall?
> Hallo Leute,
>
> Ich verstehe die komplette Aufgabenstellung nicht.
> Annähern bedeutet doch in diesem Fall "berühren". Also
> müsste man die beiden Funktionen gleichsetzten. Doch ich
> weis ja nichts über das c. Und was bedeutet maximale
> Abweichung? Soll das so viel heißen wie, größter
> Abstand?
Genau. "maximale Abweichung" heißt "größter Abstand".
Du hast eine Funktion [mm] f_{1} [/mm] gegeben (die hast du uns aber nicht verraten).
Diese soll jetzt durch eine lineare Funktion [mm] $g(x)=-\bruch{5}{4}x+c$ [/mm] angenähert werden.
Stell' dir das so vor:
Du hast dein Koordinatensystem mit dem Graphen von [mm] f_{1}, [/mm] der dort eingezeichnet ist.
Nun hast du noch einen Stock. Dieser Stock hat eine ganz bestimmte Steigung (nämlich [mm] -\frac{5}{4}). [/mm] Du kannst es jetzt nur nach oben und nach unten schieben (dies entspricht der Variation von dem c in der linearen Funktion oben).
Natürlich wird dadurch die Funktion [mm] f_{1} [/mm] nie genau angenähert, sondern manchmal ist die Funktion [mm] f_{1} [/mm] über dem Stock, manchmal darunter. Wenn du ein konkretes Intervall vorgibst, zum Beispiel [0,5], gibt es in diesem Intervall auch immer einen größten Abstand der Funktion [mm] f_{1} [/mm] zu deinem Stock.
Du sollst nun den Stock so legen, dass dieser größte Abstand so klein wie möglich wird.
Der Abstand der Funktion [mm] f_{1} [/mm] und der linearen Funktion [mm] $g_{c}(x)=-\bruch{5}{4}x+c$ [/mm] an jeder Stelle x lässt sich durch [mm] |f_{1}(x) [/mm] - [mm] g_{c}(x)| [/mm] berechnen (Beträge, weil der Abstand immer positiv ist).
Dieser Term [mm] $|f_{1}(x) [/mm] - [mm] g_{c}(x)|$ [/mm] ist eine neue Funktion, nennen wir sie d(x):
[mm] $d_{c}(x) [/mm] = [mm] |f_{1}(x) [/mm] - [mm] g_{c}(x)|$
[/mm]
Die Funktion [mm] d_{c}(x) [/mm] gibt also an jeder Stelle x den Abstand von [mm] f_{1}(x) [/mm] zu [mm] g_{c}(x) [/mm] an.
Wir sollen den maximalen Abstand minimieren.
Das heißt, wir müssen zunächst einmal das Maximum der Funktion [mm] d_{c}(x) [/mm] bestimmen.
--> Schritt 1: Bestimme die Extremstellen der Funktion [mm] d_{c}(x). [/mm] Die Extremstellen sind wahrscheinlich abhängig von c. (Lasse zum Ableitung der Funktion [mm] d_{c}(x) [/mm] die Beträge weg. Dich interessieren dann sowohl Minima als auch Maxima der Funktion [mm] d_{c}(x) [/mm] sowie Werte von [mm] d_{c}(x) [/mm] an den Intervallgrenzen 0 und 5!)
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Sa 17.04.2010 | | Autor: | The-Nik |
> Du hast eine Funktion $ [mm] f_{1} [/mm] $ gegeben (die hast du uns aber nicht verraten).
Die Funktion lautet: [mm] f_{1}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}(x-5)^{2}
[/mm]
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> --> Schritt 1: Bestimme die Extremstellen der Funktion $ [mm] d_{c}(x). [/mm] $ Die Extremstellen sind wahrscheinlich abhängig von c. (Lasse zum Ableitung der
> Funktion $ [mm] d_{c}(x) [/mm] $ die Beträge weg. Dich interessieren dann sowohl Minima als auch Maxima der Funktion $ [mm] d_{c}(x) [/mm] $ sowie Werte von $ [mm] d_{c}(x) [/mm] $ > an den Intervallgrenzen 0 und 5!)
[mm] d_{c}(x) [/mm] = [mm] |f_{1}(x)-g_{c}(x)|
[/mm]
[mm] d_{c}(x) [/mm] = [mm] |\bruch{1}{4}(x-5)^{2}+\bruch{5}{4}x-c|
[/mm]
[mm] d_{c}(x) [/mm] = [mm] |\bruch{1}{4}x^{2}-1,25x+6,25-c|
[/mm]
d'_{c}(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x-1,25
d''_{c}(x) = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
So, nun kann ich die Extremwerte bestimmen:
d'_{c}(x) = 0
d'_{c}(x) [mm] \not= [/mm] 0
[mm] \bruch{1}{2}x-1,25 [/mm] = 0
x = 2,5 (Wahrscheinlich auch -2,5 wegen den Betragsstrichen??)
d''_{c}(2,5) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] > 0 =>TP
d''_{c}(-2,5) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] > 0 =>TP
=> [mm] T_{1} [/mm] (2,5|4,6875+c)
=> [mm] T_{2} [/mm] (-2,5|10,9375+c)
Dann habe ich noch das bei den Intervallgrenzen 0 und 5 gemacht:
[mm] d_{c}(0) [/mm] = |6,25+c|
[mm] d_{c}(5) [/mm] = |6,25-c|
---------------------------------------------------------
Doch was fange ich damit an? Ich habe ja jetzt nur zwei TP und kein Maxima. Wie soll ich nun weitermachen?
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Hallo!
> > Du hast eine Funktion [mm]f_{1}[/mm] gegeben (die hast du uns aber
> nicht verraten).
>
> Die Funktion lautet: [mm]f_{1}(x)[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}(x-5)^{2}[/mm]
>
> -------------------------------------------------------
>
>
> > --> Schritt 1: Bestimme die Extremstellen der Funktion
> [mm]d_{c}(x).[/mm] Die Extremstellen sind wahrscheinlich abhängig
> von c. (Lasse zum Ableitung der
> > Funktion [mm]d_{c}(x)[/mm] die Beträge weg. Dich interessieren dann
> sowohl Minima als auch Maxima der Funktion [mm]d_{c}(x)[/mm] sowie
> Werte von [mm]d_{c}(x)[/mm] > an den Intervallgrenzen 0 und 5!)
>
> [mm]d_{c}(x)[/mm] = [mm]|f_{1}(x)-g_{c}(x)|[/mm]
>
> [mm]d_{c}(x)[/mm] = [mm]|\bruch{1}{4}(x-5)^{2}+\bruch{5}{4}x-c|[/mm]
>
>
> [mm]d_{c}(x)[/mm] = [mm]|\bruch{1}{4}x^{2}-1,25x+6,25-c|[/mm]
>
> d'_{c}(x) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] x-1,25
>
> d''_{c}(x) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
>
> So, nun kann ich die Extremwerte bestimmen:
>
> d'_{c}(x) = 0
> d'_{c}(x) [mm]\not=[/mm] 0
>
> [mm]\bruch{1}{2}x-1,25[/mm] = 0
> x = 2,5 (Wahrscheinlich auch -2,5 wegen den
> Betragsstrichen??)
Nein, x = 2.5 ist schon okay.
Das hat mit den Betragsstrichen nichts zu tun!
> d''_{c}(2,5) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] > 0 =>TP
> => [mm]T_{1}[/mm] (2,5|4,6875+c)
Ich komme auf (2,5;|4,6875-c|).
> Dann habe ich noch das bei den Intervallgrenzen 0 und 5
> gemacht:
>
> [mm]d_{c}(0)[/mm] = |6,25+c|
> [mm]d_{c}(5)[/mm] = |6,25-c|
auch hier komme ich auf gleiche Intervallgrenzen, nämlich jeweils mit y-Wert |6.25-c|.
> Doch was fange ich damit an? Ich habe ja jetzt nur zwei TP
> und kein Maxima. Wie soll ich nun weitermachen?
Was wir jetzt wissen:
- Bei 2.5 liegt der einzige Extrempunkt der Abstandsfunktion im Intervall [0,5]. (Ob das ein TP oder ein HP ist, kannst du nicht mit deinen zweiten Ableitungen entscheiden, weil ja ursprünglich noch der Betrag drumherum war).
- Das bedeutet: Der maximale Abstand der beiden Funktionen [mm] f_{1}(x) [/mm] und g(x) kann nur an den Intervallrändern 0 / 5 oder an der Stelle 2.5 angenommen werden!
Wir wissen: Der Abstand an den Intervallrändern ist |6.25-c|, der Abstand bei x=2.5 ist |4.6875-c|.
Für jedes [mm] c\in\IR [/mm] ist einer dieser beiden Zahlen der maximale Abstand im Intervall [0,5].
Du solltest dir zunächst klar machen, dass der gesuchte Wert c nun zwischen 4.6875 und 6.25 liegen muss.
Wenn wir nur diese c betrachten, erhalten wir für die Abstände:
|6.25-c| = 6.25 - c
|4.6875-c| = -4.6875 + c
Es handelt sich hier um zwei lineare Funktionen (in der Variablen c), die sich schneiden. Beim Schnittpunkt wird das Maximum der beiden am niedrigsten.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:38 Di 20.04.2010 | | Autor: | The-Nik |
Hallo Stefan,
super! Habe nun alles verstanden und laut meinem Lehrer stimmt es auch.
Noch mal vielen Dank für die Hilfe.
Gruss,
Nik
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