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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 So 13.01.2013 | | Autor: | Nallia |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass [mm] e*(n/e)^n [/mm] < n! < [mm] n*e*(n/e)^n
[/mm]
Multiplizieren Sie dazu jeweils die folgenden Ungleichungen
[mm] (1+1/k)^k [/mm] < e (k = 1, ..., n-1) und e < (1-1/k)^-k (k = 2, ..., n). |
Hallo zusammen!
Ich habe diese Aufgabe auf meinem neuen Aufgabenzettel stehen und leider bisher keine zum Ziel führende Idee gehabt.
Zuerst war meine Idee, die oberen Ungleichungen zu logarithmieren, nur damit kam ich nicht besonders weit.
Auch verstehe ich den gegebenen Hinweis nicht. Welche Ungleichungen soll ich womit multiplizieren?
Ich würde mich über Hilfe sehr freuen!!
Vielen Dank im Voraus!
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen Sie, dass [mm]e*(n/e)^n[/mm] < n! < [mm]n*e*(n/e)^n[/mm]
> Multiplizieren Sie dazu jeweils die folgenden
> Ungleichungen
> [mm](1+1/k)^k[/mm] < e (k = 1, ..., n-1) und e < (1-1/k)^-k (k = 2,
> ..., n).
> Hallo zusammen!
> Ich habe diese Aufgabe auf meinem neuen Aufgabenzettel
> stehen und leider bisher keine zum Ziel führende Idee
> gehabt.
> Zuerst war meine Idee, die oberen Ungleichungen zu
> logarithmieren, nur damit kam ich nicht besonders weit.
> Auch verstehe ich den gegebenen Hinweis nicht. Welche
> Ungleichungen soll ich womit multiplizieren?
Hallo Nallia,
erst mal
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Es ist wohl gemeint, dass man z.B. aus den (n-1)
Ungleichungen [mm] (1+\frac{1}{k})^k
k=1 bis und mit k=n-1) eine neue macht,
indem man sie alle miteinander multipliziert, d.h.
es werden die linken Seiten multipliziert (da können
dann später auch die Logarithmen zum Zug kommen)
und die rechten Seiten ebenso.
LG, Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Mo 14.01.2013 | | Autor: | Nallia |
Hallo!
Vielen Dank für die Antwort!!
Mir wird das leider nicht klar, was genau damit gemeint ist, ich stehe da ganz schön auf dem Schlauch.
Es wäre echt hilfreich, wenn du den ersten Schritt für die Herangehensweise notieren würdest, dann könnte ich da besser ansetzen.
Würde mich sehr freuen und wäre sehr hilfreich!!
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Guten Abend Nallia,
zum Anfangen mal ganz konkret mit n=9 ,
linke Ungleichung :
[mm] $\underbrace{\left(1+\frac{1}{1}\right)^{1}}_{<\,e}\ [/mm] *\ [mm] \underbrace{\left(1+\frac{1}{2}\right)^{2}}_{<\,e}\ [/mm] *\ ........\ *\ [mm] \underbrace{\left(1+\frac{1}{8}\right)^{8}}_{<\,e}\ [/mm] <\ [mm] e^8 [/mm] $
[mm] $\underbrace{\left(\frac{2}{1}\right)^{1}}_{<\,e}\ [/mm] *\ [mm] \underbrace{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}}_{<\,e}\ [/mm] *\ ........\ *\ [mm] \underbrace{\left(\frac{9}{8}\right)^{8}}_{<\,e}\ [/mm] <\ [mm] e^8 [/mm] $
[mm] $\frac{2^1*3^2*4^3*\,....\,*7^6*8^7*9^8}{1^1*2^2*3^3*\,....\,*6^6*7^7*8^8}\ [/mm] <\ [mm] e^8 [/mm] $
[mm] $\frac{9^8}{8\,!}\ [/mm] <\ [mm] e^8$
[/mm]
Da steckt die Kernidee wohl schon drin. Die so
erhaltenen Ungleichungen lassen sich natürlich
noch umformen und verallgemeinern (für belie-
biges [mm] n\in\IN).
[/mm]
Noch eine Bitte: deklariere deine Fragen bitte als
solche (und nicht als "Mitteilungen") !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Mo 14.01.2013 | | Autor: | Nallia |
Nachdem ich die Gleichungen umgewandelt habe, bin ich für
(1+ [mm] \bruch{1}{k})^{k} [/mm] < e raus: [mm] \bruch{n^{n-1}}{(n-1)!} [/mm] < [mm] e^{n-1}
[/mm]
und für (1- [mm] \bruch{1}{k})^{-k} [/mm] dann [mm] \bruch{n^{n}}{(n-1)^{n}} [/mm] < [mm] e^{n}
[/mm]
Wenn das soweit stimmt, kann ich das e in die Ungleichung für ... < n! < ... einsetzen, also das ...<e in die linke Seite und das e<... in die rechte Seite?
Oder muss ich ein ganz anderes Vorgehen wählen?
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> Nachdem ich die Gleichungen umgewandelt habe, bin ich für
> (1+ [mm]\bruch{1}{k})^{k}[/mm] < e raus: [mm]\bruch{n^{n-1}}{(n-1)!}[/mm] <
> [mm]e^{n-1}[/mm]
> und für (1- [mm]\bruch{1}{k})^{-k}[/mm] dann
> [mm]\bruch{n^{n}}{(n-1)^{n}}[/mm] < [mm]e^{n}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> Wenn das soweit stimmt, kann ich das e in die Ungleichung
> für ... < n! < ... einsetzen, also das ...<e in die linke
> Seite und das e<... in die rechte Seite?
> Oder muss ich ein ganz anderes Vorgehen wählen?
Du solltest unbedingt darauf achten, die Fakultäten
in der Rechnung drin zu behalten und nicht einfach
wieder rauszukürzen.
Es soll ja eine Ungleichungskette hergeleitet werden,
welche es nachher erlaubt, die Werte von Fakultäten
zwischen Schranken zu fassen.
Ich werde jetzt aber nicht einfach vorrechnen.
LG, Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 Di 15.01.2013 | | Autor: | Nallia |
Ich wollte ja auch wissen, ob ich mit meiner Idee des Einsetzens in in die oberen Gleichungen auf dem richtigen Weg bin.
Ich habe mir meine Ergebnisse für die Folgen von ...<e und e<... nochmal angeschaut. Ich würde vermuten, dass die soweit richtig sind. Die Folge für [mm] e^{n-1} [/mm] ergibt sich ja aus deinem Ansatz.
Mein Ergebnis für e<... muss ich an der Stelle korrigieren, schreibt man diese Formel ganz aus, erhält man [mm] \bruch{n^{n}}{(n-1)!} [/mm] < [mm] e^{n}
[/mm]
Eingesetzt und umgeformt in die Formeln für ... < n! < ... ergibt sich dann:
n*(n-1)! < n! < e*n*(n-1)!
Wenn man das allerdings weiter umformt, steht dann da
n! < n! < e*n! , das ergibt für mich wiederum keinen Sinn mehr, zumindest der erste Teil nicht.
War nun das Vorgehen falsch gewählt, oder habe ich mich verrechnet?
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> Ich wollte ja auch wissen, ob ich mit meiner Idee des
> Einsetzens in in die oberen Gleichungen auf dem richtigen
> Weg bin.
>
> Ich habe mir meine Ergebnisse für die Folgen von ...<e und
> e<... nochmal angeschaut. Ich würde vermuten, dass die
> soweit richtig sind. Die Folge für [mm]e^{n-1}[/mm] ergibt sich ja
> aus deinem Ansatz.
> Mein Ergebnis für e<... muss ich an der Stelle
> korrigieren, schreibt man diese Formel ganz aus, erhält
> man [mm]\bruch{n^{n}}{(n-1)!}[/mm] < [mm]e^{n}[/mm]
> Eingesetzt und umgeformt in die Formeln für ... < n! <
> ... ergibt sich dann:
> n*(n-1)! < n! < e*n*(n-1)!
> Wenn man das allerdings weiter umformt, steht dann da
> n! < n! < e*n! , das ergibt für mich wiederum keinen Sinn
> mehr, zumindest der erste Teil nicht.
> War nun das Vorgehen falsch gewählt, oder habe ich mich
> verrechnet?
Hallo Nallia,
deine erste Ungleichung $\ [mm] (1)\qquad \bruch{n^{n-1}}{(n-1)!}\ [/mm] <\ [mm] e^{n-1} [/mm] $
war schon vorher richtig. Bei der zweiten, die so aussah:
[mm] $\bruch{n^{n}}{(n-1)^{n}}<\ e^{n} [/mm] $
habe ich aber insbesondere die Fakultät vermisst,
also konnte dies nicht stimmen.
Wenn man diese zweite Folge von Ungleichungen
korrekt multipliziert, kommt man auf:
$\ [mm] (2)\qquad e^{n-1}\ [/mm] <\ [mm] \frac{n^n}{(n-1)\,!}$
[/mm]
Nun kann man in den Ungleichungen (1) und (2) den
jeweiligen Bruch mit n erweitern; dabei entsteht jeweils
im Nenner die n! . Anschließend kann man beide Un-
gleichungen so umstellen und zu einer Ungleichungs-
kette verknüpfen, bei welcher diese Fakultät in der
Mitte steht: ....... < [mm] n\,! [/mm] < .......
Nebenbei: ich musste auch mehr als einen Anlauf
nehmen, bis alles stimmte ... 
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:29 Do 17.01.2013 | | Autor: | Nallia |
Ich hab jetzt auch das gewünschte Ergebnis raus!
Vielen lieben Dank für die Hilfe!!
Viele Grüße 
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> Ich hab jetzt auch das gewünschte Ergebnis raus!
> Vielen lieben Dank für die Hilfe!!
> Viele Grüße
schön !
und dann ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
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