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| Aufgabe | a)
Seien n [mm] \in \IN [/mm] und
U := [mm] \{ (x_{1},....,x_{n}) \in \IC^{n} : \summe_{i=1}^{n} x_{i} = 0)}
[/mm]
Zeigen sie, dass für den Annihilator [mm] U^{0} [/mm] von U gilt:
[mm] U^{0} [/mm] = [mm] \{ f \in (\IC^{n})' ( ∃es gibt ein c \in \IC) (∀sodass für alle (x_{1},....,x_{n}) \in \IC^{n}) f(x_{1},....,x_{n}) = c \summe_{i=1}^{n} x_{i} })
[/mm]
b) Seien [mm] U_{1} [/mm] , [mm] U_{2} [/mm] Untervektorräume des endlichdimensionalen Vektorraums V über [mm] \IC [/mm] und dim V = n [mm] \in \IN. [/mm] Beweisen oder widerlegen sie:
(i) [mm] (U_{1}+U_{2})^{0} [/mm] = [mm] U_{1}^{0} \cap U_{2}^{0} [/mm]
(ii) [mm] (U_{1} \cap U_{2})^{0} [/mm] = [mm] U_{1}^{0} [/mm] + [mm] U_{2}^{0} [/mm] |
hey,
erstmal zur aufgabenstellung :´dass ich existenzquantor und allquantor meine sieh man hoffentlich. Am anfang vom [mm] U^{0} [/mm] in der Klammer das [mm] \IC^{n} [/mm] dahinter ist kein ' sondern soll ein Sternchen oben sein.
Jetzt zur Aufgabe:
Ich weiss nicht wirklich was der Annihilator ist. Im internet findet man 2 sätze bei wikipedia.... Deshalb hab ich kA und weiß nicht mal genau, was die Aufgabe bzw definitionen aussagen. Wäre nett wenn mir jemand das erklären könnte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Do 12.01.2012 | | Autor: | hippias |
Der Annihilator einer Teilmenge $X$ eines $K$-Vektorraumes ist, ist die Menge aller linearen Abbildungen [mm] :$V\to [/mm] K$, die $X$ auf $0$ abbilden.
Das habe ich uebrigens nicht von Wikipedia gelernt, sondern aus einem Buch! 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:59 Fr 13.01.2012 | | Autor: | fred97 |
hippias hat Dir ja schon gesagt, was der Annihilator einer Teilmeneg eines Vektorraumes ist.
Für Teil a) solltest Du Dir noch klar machen, wie die Linearformen auf [mm] \IC^n [/mm] aussehen:
$f: [mm] \IC^n \to \IC$ [/mm] ist linear [mm] \gdw [/mm] es gibt [mm] a_1,...,a_n \in \IC [/mm] mit: [mm] $f(x_1,...,x_n)=\summe_{j=1}^{n}a_jx_j [/mm] $ [mm] ((x_1,....,x_n) \in \IC^n)
[/mm]
Bei Teil b) (i) mache ich Dir die Inklusion $ [mm] (U_{1}+U_{2})^{0} [/mm] $ [mm] \subseteq [/mm] $ [mm] U_{1}^{0} \cap U_{2}^{0} [/mm] $ vor:
Sei $f [mm] \in (U_{1}+U_{2})^{0}$. [/mm] Das bedeutet: [mm] f(u_1+u_2)=0 [/mm] für alle [mm] u_1 \in U_1 [/mm] und alle [mm] u_2 \in U_2.
[/mm]
Mit [mm] u_2=0 [/mm] ergibt sich:
(1) [mm] f(u_1)=0 [/mm] für alle [mm] u_1 \in U_1
[/mm]
Mit [mm] u_1=0 [/mm] ergibt sich:
(2) [mm] f(u_2)=0 [/mm] für alle [mm] u_2 \in U_2
[/mm]
Aus (1) folgt: $f [mm] \in U_1^0$ [/mm] und aus (2) folgt: $f [mm] \in U_2^0$ [/mm]
FRED
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huhu,
erstmal danke für die Antwort.
b) kann ich super nachvollziehen
nur bei a) : wie kommst du auf die [mm] a_{i} [/mm] mit i = 1,...,n ?
ich hab ein c dadrinne was aber nicht abhängt vom Laufindizes der Summe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:28 Fr 13.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> huhu,
> erstmal danke für die Antwort.
> b) kann ich super nachvollziehen
>
> nur bei a) : wie kommst du auf die [mm]a_{i}[/mm] mit i = 1,...,n ?
>
> ich hab ein c dadrinne was aber nicht abhängt vom
> Laufindizes der Summe
Ich habe Dir oben mitgeteilt, wie eine allgemeine Linearform auf dem [mm] \IC^n [/mm] aussieht.
Du sollst also bei a) zeigen: f [mm] \in U^0 \gdw a_1=...=a_n
[/mm]
FRED
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