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Auf wie viele Arten können 4 Äpfel, 3 Bananen, 2 Pfirsische und 2 Birnen auf einem länglichen Tisch angeordnet werden, sodass die Obstsorten nicht vermischt werden?
Wie wäre es, wenn das Obst auf einen runden Tisch gelegt wird?
1)
4!*3!*2!*2!
2)
da würde ich mich über Hinweise freuen.
Danke!
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Hallo learningboy,
das ist wieder so eine Textaufgabe, die mich zur Weißglut bringt. Was will der Aufgabensteller bloß wissen? Ok, es gibt das implizite Obstsalatverbot: die Sorten sollen nicht "vermischt" werden. Und was heißt das jetzt im Vollzug? Ich verstehe darunter, dass alle 4 Äpfel nebeneinander liegen etc. Das ist kombinatorisch allerdings ziemlich langweilig und hieße:
1) Vier Obstsorten nebeneinander: 4! Möglichkeiten
2) Vier Obstsorten im Kreis: 3! Möglichkeiten
Hierzu dreh Dir den Tisch immer so, dass z.B. die beiden Birnen vor Dir liegen, und schau entgegen dem Uhrzeigersinn (schon weils eine Mathematikaufgabe ist  ), was dann folgt.
Liebe Grüße,
reverend
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1) Vier Obstsorten nebeneinander: 4! Möglichkeiten
Aber die Äpfel können ja untereinander ja vermischt werden, also z.B reifer Apfel - verfaulter - grüner - roter...
Also hätte ich dann gesagt: Äpfel(!)*Birnen(!)... * 4!
So? Oder eher nicht?
Danke!
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Hallo learningboy,
das ist eine mögliche Deutung, und offenbar weißt Du, wie man sie rechnet.
Dann wäre aber das Ergebnis [mm] \red{4!}*4!*3!*2!*2!=\blue{13824}, [/mm] wobei die "rote" Fakultät aus den möglichen Anordnungen der Obstsorten folgt.
...und die blaue Zahl korrigiert einen nicht nachvollziehbaren Eingabefehler. Ähem. Hüstel.
Ich habe die Aufgabe anders verstanden, aber da sie dann zu langweilig wäre, hast Du mit hoher Wahrscheinlichkeit die Aufgabe so verstanden, wie der Aufgabensteller sie meinte. Kennt Ihr einander?
Grüße,
reverend
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Antwort 1 wäre dann:
663552
aber was ändert sich bei einem runden tisch? das verstehe ich nicht so ganz...
Danke!
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Hallo nochmal,
also... meine Rechnung halte ich noch für richtig, aber mein Ergebnis war falsch (habe ich korrigiert) - doch wie kommst Du jetzt auf Deins? Das verstehe ich noch nicht.
Bei einem runden Tisch ändert sich, dass es keinen Anfang und kein Ende mehr gibt. Du kannst immer den Tisch so drehen, dass die beiden Birnen vor Dir liegen.
Grüße
reverend
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Auf wie viele Arten können 4 Äpfel, 3 Bananen, 2 Pfirsische und 2 Birnen auf einem länglichen Tisch angeordnet werden, sodass die Obstsorten nicht vermischt werden?
Ich dchte:
4 Äpfel --> 4!*3!*2!*1!
3 Bananen --> 3!*2!*1!
2 Pfirsische --> 2!*1!
2 Birnen --> 2!*1!
= 4!*3!*2!*1! * 3!*2!*1! * 2!*1! * 2!*1! * 4!
So dachte ich?
für den langen tisch.
müsste das nicht auch das ergebnis für den runden tisch sein? es ändert sich da doch mathematisch nichts?
danke!
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Hallo learningboy,
das sind ein bisschen viel Fakultäten. Dafür solltest Du vielleicht eine neue Schreibweise einführen, ich schlage vor:
[mm] n!!=\produkt_{i=1}^n{n!}=\produkt_{j=1}^n\produkt_{i=1}^j{i}
[/mm]
Außerdem macht es Sinn, $ 0!!=0!=1 $ zu definieren.
Ende des Exkurses. Ich mache mich nicht über Dich lustig, finde die Idee sogar interessant und werde sie mal weiter verfolgen, aber nicht hier. Für die Aufgabe brauchst Du diese Neudefinition aber bestimmt nicht.
Vier Äpfel (Reif, verfault, grün, rot) werden angeordnet. Eine vollständige Wertetabelle enthält dann diese Möglichkeiten:
Rvgr
Rvrg
Rgvr
Rgrv
Rrvg
Rrgv
vRgr
vRrg
vgRr
vgrR
vrRg
vrgR
gRvr
gRrv
gvRr
gvrR
grRv
grvR
rRvg
rRgv
rvRg
rvgR
rgRv
rgvR
Mehr sind nicht zu finden. An erster Position gibt es vier Möglichkeiten, an zweiter drei, an dritter drei, und die letzte Stelle ist dann unausweichlich festgelegt. Insgesamt also 4*3*2*1=4!=24 Möglichkeiten.
Für alles Obst also [mm] 4!\red{(Sortenfolge)}*4!\red{(Apfelfolge)}*3!\red{(Bananenfolge)}*2!\red{(Pfirsichfolge)}*2!\red{(Birnenfolge)} [/mm] Möglichkeiten.
Bleibt noch der runde Tisch. Einfache Frage: Wo fängt er an? Geh nicht von Deinem Standpunkt aus, sonder nimm an, dass der Tisch langsam rotiert. Wie unterscheidest Du nun unterschiedliche Anordnungen?
Grüße,
reverend
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$ [mm] 4!\red{(Sortenfolge)}\cdot{}4!\red{(Apfelfolge)}\cdot{}3!\red{(Bananenfolge)}\cdot{}2!\red{(Pfirsichfolge)}\cdot{}2!\red{(Birnenfolge)} [/mm] $ Möglichkeiten.
hat meine lösung also gestimmt? ja, oder?
das mit dem runden tisch ist schwer... man weiß nicht wo anfang udn wo ende ist, das gibt es quasi nicht.
könntest du mir das mal vorrechnen, vll sehe ich es dann ein. danke!
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Hallo nochmal,
nein, Deine Lösung hat nicht gestimmt, wie Du leicht am Zahlenwert des Ergebnisses ersehen kannst:
$ [mm] 4!*4!*3!*2!*2!=4*3*2*1*4*3*2*1*3*2*1*2*1*2*1=4^2*3^3*2^5=3^3*2^9=13824 [/mm] $
Für den runden Tisch kann ich Dir kaum noch weiterhelfen.
Fang mal mit drei Objekten an, die Du erst linear verteilst:
123
132
213
231
312
321
Jetzt leg sie in gleichem Abstand auf den Rand eines Kreises. Da gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: 123=231=312 und 132=321=213. Probiers aus. Nimm dann vier Objekte. Was ändert sich?
Grüße
reverend
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Runder Tisch:
da wird aus 4! dann 3!
Danke!
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So ist es.
Grüße,
reverend
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