Ansatz für Aufg. mit K-VR. < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei V ein K-Vektorraum und f [mm] \in End_{K}(V), [/mm] so dass für alle v [mm] \in [/mm] V gilt f(v) [mm] \in [/mm] <v>. Zeigen Sie, dass es ein [mm] \lambda \in [/mm] K gibt, so dass für alle v [mm] \in [/mm] V gilt f(v) = [mm] \lambda \* [/mm] v. |
Hallo,
ich habe absolut keine Ahnung, wie ich hier anfangen soll.
Könnt ihr mir vielleicht einen Tipp geben?
Gruss
Alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 Mi 18.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Es sei V ein K-Vektorraum und f [mm]\in End_{K}(V),[/mm] so dass
> für alle v [mm]\in[/mm] V gilt f(v) [mm]\in[/mm] <v>. Zeigen Sie, dass es
> ein [mm]\lambda \in[/mm] K gibt, so dass für alle v [mm]\in[/mm] V gilt f(v)
> = [mm]\lambda \*[/mm] v.
> Hallo,
>
> ich habe absolut keine Ahnung, wie ich hier anfangen soll.
> Könnt ihr mir vielleicht einen Tipp geben?
Nach Vor. gibt es zu jedem v [mm] \in [/mm] V ein [mm] \alpha_v \in [/mm] K mit:
$ f(v)= [mm] \alpha_v [/mm] *v$
Überlege Dir, dass für v [mm] \ne [/mm] 0 dieses [mm] \alpha_v [/mm] eindeutig bestimmt ist. Zeigen sollst Du:
Es gibt ein [mm] \lambda \in [/mm] K mit : [mm] \alpha_v [/mm] = [mm] \lambda [/mm] für alle v [mm] \in [/mm] V \ {0}
FRED
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> Gruss
> Alex
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Danke für den Ansatz. Habe die Aufgabe jetzt gelöst mithilfe des Ansatzes, bzw. glaube ich, sie gelöst zu haben. :D
Z.z.: [mm] \exists \lambda \in [/mm] K [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V: f(v) = [mm] \lambda [/mm] * v, also z.z.:
[mm] \alpha [/mm] * v = [mm] \lambda [/mm] * v
[mm] \gdw \alpha [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
Angenommen, das wäre falsch. Dann gilt:
[mm] \forall \lambda \in [/mm] K [mm] \exists [/mm] v [mm] \in [/mm] V: f(v) [mm] \not= \lambda [/mm] * v
Sei [mm] \lambda [/mm] = 1 (1 = neutrales Element in K).
[mm] \Rightarrow \alpha [/mm] * v = f(v) [mm] \not= [/mm] 1 * v
Ist nun [mm] \alpha [/mm] = 1.
[mm] \Rightarrow [/mm] 1 * v = f(v) [mm] \not= [/mm] 1 * v
Das ist ein Widerspruch.
Also gilt:
[mm] \exists \lambda \in [/mm] K [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V: f(v) = [mm] \lambda [/mm] * v
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:30 Do 19.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke für den Ansatz. Habe die Aufgabe jetzt gelöst
> mithilfe des Ansatzes, bzw. glaube ich, sie gelöst zu
> haben. :D
>
> Z.z.: [mm]\exists \lambda \in[/mm] K [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V: f(v) = [mm]\lambda[/mm]
> * v, also z.z.:
>
> [mm]\alpha[/mm] * v = [mm]\lambda[/mm] * v
> [mm]\gdw \alpha[/mm] = [mm]\lambda[/mm]
>
> Angenommen, das wäre falsch. Dann gilt:
>
> [mm]\forall \lambda \in[/mm] K [mm]\exists[/mm] v [mm]\in[/mm] V: f(v) [mm]\not= \lambda[/mm] *
> v
>
> Sei [mm]\lambda[/mm] = 1 (1 = neutrales Element in K).
>
> [mm]\Rightarrow \alpha[/mm] * v = f(v) [mm]\not=[/mm] 1 * v
>
> Ist nun [mm]\alpha[/mm] = 1.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 1 * v = f(v) [mm]\not=[/mm] 1 * v
>
> Das ist ein Widerspruch.
>
> Also gilt:
>
> [mm]\exists \lambda \in[/mm] K [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V: f(v) = [mm]\lambda[/mm] * v
Mit Verlaub, aber das ist Quatsch !
FRED
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> Danke für den Ansatz. Habe die Aufgabe jetzt gelöst
> mithilfe des Ansatzes, bzw. glaube ich, sie gelöst zu
> haben. :D
Hallo,
zweiteres ist der Fall.
Ich möchte Freds Kommentar noch ein wenig ausschmücken.
>
> Z.z.: [mm]\exists \lambda \in[/mm] K [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V: f(v) = [mm]\lambda[/mm] * v
Bevor Du aufschreibst, was zu zeigen ist, wäre es sicher sinnvoll gewesen, Dich nochmal mit den Voraussetzungen, die Dir Fred erklärt hat, zu beschäftigen:
für jeden Vektor v gibt es ein dazu passendes [mm] a_v [/mm] mit f(v)=a_vv, und sofern v nicht der Nullvektor ist, ist [mm] a_v [/mm] eindeutig bestimmt. Sonst wäre ja f(v) keine Funktion.
> Z.z.: [mm] $\exists \lambda \in$ [/mm] K [mm] $\forall$ [/mm] v [mm] $\in$ [/mm] V: f(v) = [mm] $\lambda$ [/mm] * v, also z.z.:
>
> [mm]\alpha[/mm] * v = [mm]\lambda[/mm] * v
> [mm]\gdw \alpha[/mm] = [mm]\lambda[/mm]
Dieses [mm] \alpha [/mm] ist eine ziemlich hohle Sache, denn es hängt von v ab. Daher hatte Fred ja auc den selbsterklärenden Index drangesetzt.
Wenn Du es so aufschreiben möchtest, müßte dort stehen
"also zu zeigen: es gibt ein [mm] \lambda [/mm] mit [mm] a_vv=\lambda [/mm] v für alle v
<==> [mm] a_v=\lambda [/mm] f.a. [mm] v\in [/mm] V."
>
> Angenommen, das wäre falsch.
> Dann gilt:
Wir lassen jetzt mal all die schicken Zeichen weg und bemühen unseren gesunden Menschenverstand.
Wenn es nicht so ist, daß es solch ein [mm] \lambda [/mm] gibt mit [mm] f(v)=\lambda_v [/mm] für alle [mm] v\in [/mm] V,
dann gibt es zwei Vektoren v und w, für welche [mm] a_v\not=\a_w.
[/mm]
Folgst Du bis hierher? Nickst wissend und kannst dem vollumfänglich zustimmen?
Dann halten wir mal kurz inne und gucken, was Du verzapft hast:
> Angenommen, das wäre falsch.
Mit "das " ist gemeint, daß es ein [mm] \lambda, [/mm] welches für alle v zuständig ist, gibt.
> Dann gilt:
>
> [mm]\forall \lambda \in[/mm] K [mm]\exists[/mm] v [mm]\in[/mm] V: f(v) [mm]\not= \lambda[/mm] * v
Übersetzt:
Für jedes [mm] \lambda [/mm] aus K finden wir einen Vektor v, so daß f(v) kein Vielfaches von [mm] \lambda [/mm] ist.
Das folgt doch nicht daraus, daß die Annahme, daß es kein gemeinsames [mm] \lambda [/mm] gibt, falsch ist.
Hallo? Für jedes [mm] \lambda [/mm] aus K? Du schreibst dort gerade, daß wir u.a. zu [mm] \lambda:=a_v [/mm] kein v finden mit f(v)=a_vv. Du schreibst also, daß die Voraussetzungen, unter denen der Beweis geführt werden muß, nicht mehr gelten...
Da konnte irgendwie nichts Gescheites bei rauskommen.
Das macht nichts. Fehler und Fehlversuche gehören dazu, auch, daß man mal so richtig kräftig danebenhaut.
Vielleicht hättest Du es richtiger gemacht, wenn Du mehr auf Sprache als auf Zeichen gesetzt hättest.
Du kannst Dir jetzt erstmal überlegen, warum die Behauptung im Nullraum gilt und für Vektorräume der Dimension 1.
Wenn Du das getan hast, nimm einen Vektorraum der Dimension 2, und einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor v.
Nun nimm einen weiteren Vektor w dazu.
Hier haben wir zwei Möglichkeiten:
A. v,w sind linear abhängig.
Was folgt für [mm] a_w?
[/mm]
B. v,w sind linear unabhängig.
Betrachte f(v+w) und ziehe Deine Schlüsse.
Fazit?
LG Angela
>
> Sei [mm]\lambda[/mm] = 1 (1 = neutrales Element in K).
>
> [mm]\Rightarrow \alpha[/mm] * v = f(v) [mm]\not=[/mm] 1 * v
>
> Ist nun [mm]\alpha[/mm] = 1.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 1 * v = f(v) [mm]\not=[/mm] 1 * v
>
> Das ist ein Widerspruch.
>
> Also gilt:
>
> [mm]\exists \lambda \in[/mm] K [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V: f(v) = [mm]\lambda[/mm] * v
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