Antipodale Punkte der S^2 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Kann mir da mal jemand einen Tipp geben? Wenn ich auf der [mm] S^2 [/mm] (Einheitskreis im [mm] R^3, [/mm] oder?) zwei antipodale Punkte betrachte, sollen diese bzgl. des Ursprungs angeblich senkrecht zueinander sein... aber nach meiner Vorstellung müssten diese, wenn sie sich gegenüber liegen durch eine Gerade durch den Nullpunkt verbunden werden können, also Winkel 180°. Wo liegt denn da mein Vorstellungs- oder Denkfehler? Ich komm beim besten Willen nicht drauf, bitte helft mir!!
Danke schonmal im Voraus!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 Mi 23.08.2006 | | Autor: | felixf |
Salut!
> Kann mir da mal jemand einen Tipp geben? Wenn ich auf der
> [mm]S^2[/mm] (Einheitskreis im [mm]R^3,[/mm] oder?)
Du meinst Einheitssphaere  Also die Menge der Vektoren im [mm] $\IR^3$ [/mm] mit Norm 1. (Das ist eine zweidimensionale reelle Mannigfaltigkeit, deswegen heisst es [mm] $S^2$.)
[/mm]
> zwei antipodale Punkte
> betrachte, sollen diese bzgl. des Ursprungs angeblich
> senkrecht zueinander sein...
Wer behauptet denn das?
> aber nach meiner Vorstellung
> müssten diese, wenn sie sich gegenüber liegen durch eine
> Gerade durch den Nullpunkt verbunden werden können, also
> Winkel 180°.
Genauso ist es auch.
Vielleicht hat die Person, die das behauptet hat, ja auch eine andere Vorstellung bzw. ein anderes Modell von [mm] $S^2$, [/mm] in dem die Aussage stimmt? Oder sie meint was anderes damit?
LG Felix
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Ja, genau diese Einheitssphäre meinte ich :)
Oh, sorry, da habe ich gestern Mist geschrieben. War wohl etwas zu viel Mathe gestern.
Hier nochmal so wie es wirklich gemeint war - sorry...
Mit dem senkrecht aufeinander stehen waren aber die Punkte gemeint, die durch stereographische Projektion der [mm] S^2 [/mm] nach [mm] \IC\cup\{\infty\} [/mm] entstehen. Genau, das war das Problem - das bedeutet doch mal ganz einfach gesagt, ich lege eine Gerade durch den "obersten" Punkt meiner Kugel und dem "ausgewählten" Punkt meiner Kugel, den ich projizieren will. Und da, wo diese Gerade die komplexe Zahlenebene schneidet, da ist dann mein entsprechender Punkt in [mm] \IC\cup\{\infty\}. [/mm] Aber ich bilde mir ein, dass zwei antipodale Punkte, die so abgebildet werden immer noch Winkel 180° einschließen, oder nicht??
Außerdem verstehe ich nicht, warum diese Punkte plötzlich in [mm] \IC^2 [/mm] liegen?
Der "Beweis" dazu ist das lila geschriebene auf der 6. Seite hier:
http://www-m10.ma.tum.de/pub/Lehre/LinAlgAGeo2SS06/vorlesung20060608.pdf
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Guten Morgen,
es seien also [mm] a,b\in S^2 [/mm] mit a=-b, nicht wahr ? Und dann sollst Du vermutlich zeigen, dass dann für [mm] s_0:=(1,0,0) [/mm] gilt:
a-s und b-s stehen senkrecht aufeinander, d.h.
<a-s,b-s>=0,
wobei [mm] <\cdot,\cdot [/mm] > das Standardskalarprodukt des [mm] \IR^3 [/mm] ist.
Nun denn:
[mm] =<-b-s,b-s>=(-1)\cdot =(-1)\cdot (\underbrace{\parallel b\parallel -\parallel s\parallel}_{=1-1=0}\:\:+-)=0
[/mm]
Ok, jetzt hab ich mir auch mal Deine Notizen durchgelesen, und da steht ja noch was anderes:
Zu [mm] (x,y,z)\in S^2 [/mm] ist die Projetion gegeben als [mm] (x+iy)\cdot \frac{1}{1-z}\:\:\in\IC, [/mm] und die von (-x,-y,-z) als [mm] (-x-iy)\cdot\frac{1}{1+z}.
[/mm]
Nun macht Ihr dort aber noch einen Schritt, nämlich eine Abbildung - nennen wir sie mal f -
von der Menge [mm] \pi(S^2)\subset \IC [/mm] (mit [mm] \pi [/mm] ist hier die stereographische Projektion
gemeint) nach [mm] \IC^2, [/mm] und zwar wird
für [mm] a=(x,y,z)\in S^2 [/mm] der Punkt [mm] \pi(a)=(x+iy)\cdot \frac{1}{1-z} [/mm] abgebildet auf [mm] f(\pi(a))=\vektor{x+iy\\1-z},
[/mm]
und die Aussage ist dann, dass für antipodale Punkte [mm] a,-a\in S^2 [/mm] die Punkte [mm] f(\pi(a)), f(\pi(-a)) \in \IC^2 [/mm] senkrecht aufeinander stehen.
Klar soweit ?
Gruss + frohes Schaffen wünscht
Mathias
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Super, ich glaube, jetzt bin ich schon ein ganzes Stück weitergekommen.
Danke euch beiden!!
Ich nehme mir sozusagen antipodale Punkte der [mm] S^2, [/mm] projiziere sie in die komplexe Ebene, und ordne dann wiederum diesen Punkten einen aus [mm] \IC^2 [/mm] zu.
Ja, klingt logisch und der Beweis beweist es ja - aber kann man sich den letzten Schritt auch noch anschaulich vorstellen? Ok, nach der Rechnung ist alles klar - aber was passiert im letzten Schritt? Mir ist bildlich noch nicht ganz klar, was da tatsächlich gemacht wird...
Mit [mm] s_0 [/mm] ist dann wohl der Punkt der Kugel gemeint, der auf [mm] \infty [/mm] abgebildet wird, oder? Also hier der "oberste" Punkt meiner Kugel?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:49 Do 24.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Super, ich glaube, jetzt bin ich schon ein ganzes Stück
> weitergekommen.
>
> Danke euch beiden!!
>
> Ich nehme mir sozusagen antipodale Punkte der [mm]S^2,[/mm]
> projiziere sie in die komplexe Ebene, und ordne dann
> wiederum diesen Punkten einen aus [mm]\IC^2[/mm] zu.
Du kannst [mm] $\hat{\IC}$ [/mm] kanonisch mit [mm] $\IC\mathbb{P}^1$ [/mm] identifizieren, indem du ein Element $x/y [mm] \in \hat{\IC}$ [/mm] auf [mm] $\left[ \vektor{x \\ y} \right]$ [/mm] abbildest. Ich denke, das ist dieser letzte Abbildungsschritt.
> Mit [mm]s_0[/mm] ist dann wohl der Punkt der Kugel gemeint, der auf
> [mm]\infty[/mm] abgebildet wird, oder? Also hier der "oberste" Punkt
> meiner Kugel?
Meinst du das $s = [mm] s_0$ [/mm] aus mathiashs Posting? Ja, das ist der oberste Punkt. Wobei man den hier beliebig auf [mm] $S^2$ [/mm] waehlen kann, es wird nur benoetigt dass [mm] $\| [/mm] s [mm] \| [/mm] = 1$ ist...
LG Felix
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Ah... ok, ich glaube jetzt habe ich es kapiert. Die zwei Teilräume von [mm] \IC^2, [/mm] die ich dann erhalte, müssen senkrecht aufeinender stehen. Anschaulich wird das klar, wenn man als y einfach 1 wählt, oder?
Und wenn ich dann statt diesen Teilräumen bestimmte "Vertreter" betrachte, also Verktoren aus [mm] \IC^2, [/mm] so müssen diese auch senkrecht aufeinender stehen, da ja die Länge des Vektors dazu egal ist...
Ich hoffe das war jetzt richtig so!
Danke nochmal!!
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