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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:09 Fr 17.04.2009 | | Autor: | Kainor |
| Aufgabe | Auf einer kreisrunden Wiese vom Radius r = 1 wird eine Ziege am Rand
an einem Seil der Länge R angebunden. Wie groß muß der Radius R sein,
damit die Ziege genau die HÄalfte der Wiese abweiden kann ? Geben Sie eine
Integralformel fÄur den unbekannten Radius R an. |
Mein Ansatz:
Ich habe 2 Kreisgleichungen aufgestellt und gleichgesetzt um die Grenzen rauszubekommen und die dann in mein Integral eingesetzt.
Koordinatensystem liegt im Mittelpunkt des Kreis mit unbekanntem R.
[mm] \integral_{-1}^{-R^2/2}{ \wurzel{-(x+1)^2+R^2} dx}
[/mm]
[mm] +\integral_{-R^2/2}^{0}{ \wurzel{-(x+1)^2+R^2}-\wurzel{x^2-1} dx}
[/mm]
Der Ansatz soweit richtig? Wenn ja sehe ich nicht wie man das lösen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Fr 17.04.2009 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Auf einer kreisrunden Wiese vom Radius r = 1 wird eine
> Ziege am Rand
> an einem Seil der Länge R angebunden. Wie groß muß der
> Radius R sein,
> damit die Ziege genau die HÄalfte der Wiese abweiden kann
> ? Geben Sie eine
> Integralformel fÄur den unbekannten Radius R an.
> Mein Ansatz:
> Ich habe 2 Kreisgleichungen aufgestellt und gleichgesetzt
> um die Grenzen rauszubekommen und die dann in mein Integral
> eingesetzt.
> Koordinatensystem liegt im Mittelpunkt des Kreis mit
> unbekanntem R.
>
> [mm]\integral_{-1}^{-R^2/2}{ \wurzel{-(x+1)^2+R^2} dx}[/mm]
>
> [mm]+\integral_{-R^2/2}^{0}{ \wurzel{-(x+1)^2+R^2}-\wurzel{x^2-1} dx}[/mm]
das sieht mir unnötig kompliziert aus. Wenn du die Ziege im Ursprung anbindest und den Mittelpunkt der Wiese nach (0,1) legst, werden die Kreisgleichungen sehr einfach. Beachte, welche Kreishälfte du brauchst und nutze beim Integrieren die Symmetrie aus. Das Integral selbst läßt sich dann mit der Substitution $x = [mm] \sin(z)$ [/mm] lösen.
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Fr 17.04.2009 | | Autor: | Kainor |
Das Koordinatensystem hatte ich so angelegt wie du es beschrieben hast. Ich hatte nur den Mittelpunkt der Wiese bei (-1,0). Wenn ich es jetzt versuche wird es bei mir nicht einfacher. Es sieht fast genauso aus. vllt sind die Kreisgl. falsch:
f1: [mm] x^2+y^2=R^2
[/mm]
f2: [mm] (x-1)^2+y^2=1
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Fr 17.04.2009 | | Autor: | koepper |
Guten Abend,
> Das Koordinatensystem hatte ich so angelegt wie du es
> beschrieben hast. Ich hatte nur den Mittelpunkt der Wiese
> bei (-1,0). Wenn ich es jetzt versuche wird es bei mir
> nicht einfacher. Es sieht fast genauso aus. vllt sind die
> Kreisgl. falsch:
>
> f1: [mm]x^2+y^2=R^2[/mm]
Das ist wohl die im Ursprung angebundene Ziege.
> f2: [mm](x-1)^2+y^2=1[/mm]
und diese Wiese hat den Mittelpunkt in (1,0), nicht (-1,0)
LG
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Sa 18.04.2009 | | Autor: | Kainor |
Das hilft mir nicht weiter. Also ich würde die jetzt gleichsetzten, um die Integrationsgrenzen zu bestimmen.
f1=f2 -> [mm] R^2/2-1/2 [/mm]
->
[mm] A=Pi*r^2/2=Pi/2=\integral_{0}^{R^2/2-1/2 }{ \wurzel{1-(x-1)^2}dx}+\integral_{R^2/2-1/2 }^{R}{(\wurzel{1-(x-1)^2}-\wurzel{R^2-x^2}) dx}
[/mm]
Soweit richtig? Und nun mit sin(t)=x substituieren
Edit: Aso das mit der Symmetrie: normalerweise hätten ja die Lsg. von den Kreisgleichungen immer 2 Lsg. also +,- und ich nehm immer nur +, weil Symmetrie bezüglich x-Achse. Aber was kann man noch aus der Symmetrie heraus vereinfachen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:34 Sa 18.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Das hilft mir nicht weiter. Also ich würde die jetzt
> gleichsetzten, um die Integrationsgrenzen zu bestimmen.
>
> f1=f2 -> [mm]R^2/2-1/2[/mm]
Für die x-Koordinate des einen Schnittpunkts erhalte ich aber [mm] x=\bruch{R^2}{2}.
[/mm]
Gruß Abakus
>
> ->
> [mm]A=Pi*r^2/2=Pi/2=\integral_{0}^{R^2/2-1/2 }{ \wurzel{1-(x-1)^2}dx}+\integral_{R^2/2-1/2 }^{R}{(\wurzel{1-(x-1)^2}-\wurzel{R^2-x^2}) dx}[/mm]
>
> Soweit richtig? Und nun mit sin(t)=x substituieren
>
> Edit: Aso das mit der Symmetrie: normalerweise hätten ja
> die Lsg. von den Kreisgleichungen immer 2 Lsg. also +,- und
> ich nehm immer nur +, weil Symmetrie bezüglich x-Achse.
> Aber was kann man noch aus der Symmetrie heraus
> vereinfachen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:04 Sa 18.04.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Kainor, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Nicht dass es wirklich wichtig wäre, aber die Symmetrie wird natürlich hübscher, wenn Du die Mittelpunkte der beiden Kreise nach [mm] (\tfrac-{1}{2},0) [/mm] und [mm] (\tfrac+{1}{2},0) [/mm] verlegst. Es spart im weiteren Verlauf sogar ein wenig Rechenarbeit, aber eben nicht viel.
Grüße
reverend
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