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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Di 10.02.2009 | | Autor: | Yujean |
Guten Abend!
Ich habe folgende Aufgabe bekommen:
An einem Grundtück soll ein 60m langer Zaun verlegt werden. Wie lang müssen die einzelnen Seiten sein, damit man die größte Fläche erhält, die der Zaun eingrenzt.
Ich bin ersteinmal von einem Rechteck ausgegangen.
A= x*y
Da wir schon eine Seite haben, nämlich das Grundstück und wir 60m verlegen müssen sieht die nächste Gleichung wiefolgt aus:
x+2y=60m
Dies Forme ich nach y um, damit ich es dann in die Ausgangsfunktion einsetzten kann:
A(x)= [mm] x*(\bruch{60m-x}{2})
[/mm]
Dann erhalte ich x=30m ; y=15m
Dieses Ergebnisse müsste korrekt sein.
Nur jetzt habe ich mir geacht, dass es nicht eigentlich als Dreieck oder als Halbkreis eine größere Fläche ergeben könnte? Ich weiß nur noch nicht wie ich vorgehen soll, kann mir vllt jemand einen Denkanstoß geben?
Vielen Dank
Yujean
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Hallo
Mit 60 m Zaum ein Grundstück einzugrenzen ergibt folgende Möglichkeiten
ohne weitere Vorgabe
wird die größte Fläche ein Kreis sein U=60 m nach Radius umstellen
oder bei deiner Annahme Rechteck wird die größte Fläche mit einem Quadrat a= 15 m erreicht.
Dein Ansatz brachte Dich zu einem gleichschenklichem Dreieck
Gruß madodojumi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Di 10.02.2009 | | Autor: | Yujean |
Ok, dann habe ich mich etwas unglücklich ausgedrückt meine ich. Es ist schon eine Seite des Rechtecks da. An diese Seite soll der Zaun gelegt werden. Das heißt, dass in meinem Beispiel der Zaun 60m lang ist + die gegebene Seite, die ebenfalls sowie die x-Seite 30m hat.
Falls sie es jetzt immer noch nicht verstehen ist es nicht so schlimm =P ich klügel einfach noch ein bisschen weiter an der Aufgabe =)
Vielen Dank
Yujean
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 Di 10.02.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Da du die 30m Kante ja gegeben hast, hast du den Zaun ja in Form eines Halbkreises von 15m Radius legen. Dann hast du also einen Materialverbrauch von [mm] \pi*15\approx47,1m [/mm] .
Das ergibt dann eine Fläche von [mm] \pi*15²\approx706m²
[/mm]
Jetzt hast du ja noch 60-47,1=12,9m Zaun übrig, den du noch senkrecht zur 30m-Kante stecken kannst, du kannst also ein Rechteck mit dem Flächeininhalt von 6,95*30=208,5m² dazupacken.
Das dürfte dann der grösste Flächeninhalt werden, da der Kreis das Gebilde ist, der bei gegebenem Umfang die Grösste Fläche besitzt.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Di 10.02.2009 | | Autor: | Yujean |
Normalerweise ist diese Seite von 30m allerdings nicht gegeben. Das war nur bei dem Beispiel mit dem Rechteck so.
Gegeben sind nur die 60m des Zaunes und eine Grundstückkante, an die dann das abgegrenzte Zaunstück anliegt. Für die schon gegebene Grundstückskante brauch ich ja keinen einzigen Meter mehr von dem Zaun. Der wird alleine für das Umzäunen der anliegenden Flächen gebraucht.
Um ein Dreieck mit der Grundstückskante zu konstruieren habe ich jetzt drei unbekannte Seiten. Einmal die der Grundstückskante, und die beiden des Zaunes. Allerdings weiß ich, dass diese beiden zusammen 60m ergeben heiß:
a+b=60m
Die Formel zur Berechnung eines Dreieicks ist doch A=0.5g*h. Meine Aufgabe ist es jetzt a und b zu bestimmen, nur weiß ich nicht wie. =)
Wenn sich noch einer erbarmt mir bei dieser Aufgabe zuhelfen, dem wäre ich sehr dankbar =)
Yujean
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Hallo, gehen wir von einem Rechteck aus, es sind drei Seiten Zaun zu bauen, Seite a, Seite a und Seite b
A(a,b)=a*b
60=2a+b
stelle die 2. Gleichung nach b um, dann in 1. Gleichung einsetzen, dann Extremwertbetrachtung, unter der Annahme, ein Rechteck hast du ja schon 15m und 30m,
Steffi
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:32 Di 10.02.2009 | | Autor: | Yujean |
a=30m
b=15m
Allerdings hab ich keinen blassen Schimmer wie das bei einem Dreieck gehen soll??? Und bei einem Halbkreis schon garnicht. Soll man dann vllt beim Dreieck
A(a,b)= [mm] \bruch{a*b}{2}
[/mm]
rechnen? weil das ist doch eigentlich die Formel zur berechnung einer Dreiecksfläche.
Danke für die Hilfe
Yujean
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Di 10.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yujean!
Für den Halbkreis gibt es doch eine eindeutige und schnelle Lösung: die gegebene Zaunlänge von 60 m entspricht dem halben Kreisumfang:
[mm] $$u_{\text{Halbkreis}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\pi*d [/mm] \ = \ 60 \ [mm] \text{m}$$
[/mm]
Daraus kann man den zugehörigen Flächeninhalt berechnen:
[mm] $$A_{\text{Halbkreis}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{8}*\pi*d^2$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:52 Di 10.02.2009 | | Autor: | Yujean |
ohhhja natürlich, da bin ich so verwirrt und kriege das nicht einmal mehr mit das der zaun hier ja nur 60m lang sein kann =P
aber wie ist es jetzt bei einem Dreieck?
Gruss
Yujean
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> aber wie ist es jetzt bei einem Dreieck?
Hallo Yujean,
wahrscheinlich denkst du an ein gleichschenkliges
Dreieck, dessen gleich lange Schenkel durch den
Zaun gebildet werden. Setzen wir die Länge eines
Schenkels gleich a (=30 m) und den von den beiden
Schenkeln eingeschlossenen Winkel gleich [mm] \gamma, [/mm] so ist
der Flächeninhalt des Dreiecks
[mm] A=a^2*sin(\gamma)
[/mm]
Du willst den Flächeninhalt maximieren. Da a konstant
ist, heisst das, dass [mm] sin(\gamma) [/mm] maximiert werden muss.
Statt ein Dreieck oder ein Rechteck könntest du
auch andere Figuren nehmen: Trapez, Fünfeck etc.
Dabei gibt es eine interessante Betrachtungsweise:
Spiegele den geplanten Zaun an der gegebenen
Randlinie. Echter und gespiegelter Zaun umschlies-
sen dann zusammen eine doppelt so grosse Fläche,
die ebenfalls maximiert werden soll. Dann wird
anschaulich klar, dass die entstehende Figur ein
regelmässiges Vieleck sein muss (Quadrat, gleich-
seitiges 6-Eck, 8-Eck , .... 2n-Eck etc.). Im Grenz-
fall [mm] n\to\infty [/mm] kommt man zum Kreis, der die absolut
grösste Fläche ergibt.
LG Al-Chw.
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