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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 So 05.05.2013 | | Autor: | M-unit |
| Aufgabe | Betrachte V = [mm] K_{2} [/mm] als K-Vektorraum. Sei B [mm] \in [/mm] V eine fest gewählte Matrix.
Definiere [mm] L_{B} [/mm] : V [mm] \to [/mm] V durch [mm] L_{B}A [/mm] = BA für alle A [mm] \in [/mm] V
Gib eine geordnete Basis von V an und den Koordinatenvektor zu A [mm] \in [/mm] V bezüglich dieser Basis.
Zeige [mm] L_{B} \in [/mm] Hom(V,V) und det [mm] L_{B} [/mm] = (det [mm] B)^{2} [/mm] |
Hallo Leute, ich muss diese Aufgabe lösen, aber weiss nicht wo ich anfangen soll. Kann mir bitte jemand weiterhelfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Betrachte V = [mm]K_{2}[/mm] als K-Vektorraum. Sei B [mm]\in[/mm] V eine fest
> gewählte Matrix.
> Definiere [mm]L_{B}[/mm] : V [mm]\to[/mm] V durch [mm]L_{B}A[/mm] = BA für alle A [mm]\in[/mm]
> V
> Gib eine geordnete Basis von V an und den
> Koordinatenvektor zu A [mm]\in[/mm] V bezüglich dieser Basis.
> Zeige [mm]L_{B} \in[/mm] Hom(V,V) und det [mm]L_{B}[/mm] = (det [mm]B)^{2}[/mm]
> Hallo Leute, ich muss diese Aufgabe lösen,
Hallo,
was ist denn mit [mm] K_2 [/mm] gemeint?
Der VR der [mm] 2\times [/mm] 2-Matrizen über K?
Ich gehe mal davon aus.
> aber weiss
> nicht wo ich anfangen soll.
Ich würde erstmal genau das tun, wozu Du aufgefordert wirst:
eine Basis [mm] \mathcal{B} [/mm] von V angeben. Und?
Wenn wir nun haben [mm] A=\pmat{a_1_1&a_1_2\\a_2_1&a_2_2}, [/mm] wie lautet dann der Koordinatenvektor von A bzgl. [mm] \mathcal{B}?
[/mm]
Egal ob Du Basis und Koordinatenvektor hast oder nicht, könntest Du vorrechnen, daß [mm] L_B [/mm] ein Homomorphismus ist. Was ist dafür zu zeigen?
Und warum bildet er in die Menge V ab?
Für die Determinante brauchst Du die Darstellungsmatrix bzgl. [mm] \mathcal{B}.
[/mm]
Berechne dafür zunächst die Bilder der Basisvektoren von [mm] \mathcal{B}.
[/mm]
Wenn Du das hast, kannst Du die Darstellungsmatrix aufstellen.
Deren Determinante ist die Determinante von [mm] L_B.
[/mm]
LG Angela
> Kann mir bitte jemand
> weiterhelfen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 So 05.05.2013 | | Autor: | M-unit |
> > Betrachte V = [mm]K_{2}[/mm] als K-Vektorraum. Sei B [mm]\in[/mm] V eine
> fest
> > gewählte Matrix.
> > Definiere [mm]L_{B}[/mm] : V [mm]\to[/mm] V durch [mm]L_{B}A[/mm] = BA für alle A
> [mm]\in[/mm]
> > V
> > Gib eine geordnete Basis von V an und den
> > Koordinatenvektor zu A [mm]\in[/mm] V bezüglich dieser Basis.
> > Zeige [mm]L_{B} \in[/mm] Hom(V,V) und det [mm]L_{B}[/mm] = (det [mm]B)^{2}[/mm]
> > Hallo Leute, ich muss diese Aufgabe lösen,
>
> Hallo,
>
> was ist denn mit [mm]K_2[/mm] gemeint?
> Der VR der [mm]2\times[/mm] 2-Matrizen über K?
> Ich gehe mal davon aus.
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> > aber weiss
> > nicht wo ich anfangen soll.
>
> Ich würde erstmal genau das tun, wozu Du aufgefordert
> wirst:
> eine Basis [mm]\mathcal{B}[/mm] von V angeben. Und?
>
> Wenn wir nun haben [mm]A=\pmat{a_1_1&a_1_2\\a_2_1&a_2_2},[/mm] wie
> lautet dann der Koordinatenvektor von A bzgl. [mm]\mathcal{B}?[/mm]
Hey, also ich wähle einen beliebigen Koordinatenvektor, wie z.B. [mm] \vektor{\alpha \\ \beta}, [/mm] den ich weiter folgender Maßen umforme: [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] * [mm] \vektor{\alpha \\ \beta}
[/mm]
Wäre es jetzt richtig?
> Egal ob Du Basis und Koordinatenvektor hast oder nicht,
> könntest Du vorrechnen, daß [mm]L_B[/mm] ein Homomorphismus ist.
> Was ist dafür zu zeigen?
Ich muss zeigen, dass [mm]L_B[/mm] (v1 + v2)= [mm]L_B[/mm] (v1) + [mm]L_B[/mm] (v2) und [mm]L_B[/mm] [mm] (\alpha*v) [/mm] = [mm] \alpha*[/mm] [mm]L_B[/mm] (v) ist, oder?
> Und warum bildet er in die Menge V ab?
Das verstehe ich leider nicht...
>
> Für die Determinante brauchst Du die Darstellungsmatrix
> bzgl. [mm]\mathcal{B}.[/mm]
>
> Berechne dafür zunächst die Bilder der Basisvektoren von
> [mm]\mathcal{B}.[/mm]
Wie soll ich das machen? Soll ich mir eine beliebige Matrix dafür aussuchen?
> Wenn Du das hast, kannst Du die Darstellungsmatrix
> aufstellen.
> Deren Determinante ist die Determinante von [mm]L_B.[/mm]
>
> LG Angela
>
>
> > Kann mir bitte jemand
> > weiterhelfen.
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
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> > > Betrachte V = [mm]K_{2}[/mm] als K-Vektorraum. Sei B [mm]\in[/mm] V eine
> > fest
> > > gewählte Matrix.
> > > Definiere [mm]L_{B}[/mm] : V [mm]\to[/mm] V durch [mm]L_{B}A[/mm] = BA für alle
> A
> > [mm]\in[/mm]
> > > V
> > > Gib eine geordnete Basis von V an und den
> > > Koordinatenvektor zu A [mm]\in[/mm] V bezüglich dieser
> Basis.
> > > Zeige [mm]L_{B} \in[/mm] Hom(V,V) und det [mm]L_{B}[/mm] = (det [mm]B)^{2}[/mm]
Hallo,
> > was ist denn mit [mm]K_2[/mm] gemeint?
> > Der VR der [mm]2\times[/mm] 2-Matrizen über K?
Was denn jetzt?
Ich sehe die Antwort nicht.
> > Ich würde erstmal genau das tun, wozu Du aufgefordert
> > wirst:
> > eine Basis [mm]\mathcal{B}[/mm] von V angeben. Und?
Und? Wo ist sie denn nun?
> >
> > Wenn wir nun haben [mm]A=\pmat{a_1_1&a_1_2\\a_2_1&a_2_2},[/mm] wie
> > lautet dann der Koordinatenvektor von A bzgl. [mm]\mathcal{B}?[/mm]
Wie denn?
Wir brauchen erst eine Basis von V, bevor wir über Koordinatenvektoren reden.
> Hey, also ich wähle einen beliebigen Koordinatenvektor,
> wie z.B. [mm]\vektor{\alpha \\ \beta},[/mm]
???
Weißt Du überhaupt, was ein "Koordinatenvektor bzgl einer Basis" ist?
Wie gesagt: wir müssen wissen, was V ist, damit wir wissen, welche Elemente in V sind und eine Basis benennen können.
Ohne Basis kein Koordinatenvektor.
> den ich weiter folgender
> Maßen umforme: [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] * [mm]\vektor{\alpha \\ \beta}[/mm]
Warum tust Du das? Nach welchen Regeln?
Ich gehe, bis Du mir das Gegenteil sagst, davon aus, daß V der Raum der [mm] 2\times [/mm] 2-Matrizen über K ist.
Ich glaube, Du hast die Abbildung nicht verstanden.
[mm] L_B [/mm] bildet Elemente aus V auf Elemente aus V ab in in der angegebenen Weise:
[mm] L_B(X)=B*X [/mm] f.a. [mm] X\in [/mm] V.
Der Vektor X ist eine Matrix, und das Bild dieses Vektors ebenfalls.
Daß das Bild in V ist, sollte Dir einleuchten.
Warum ist das so?
> > könntest Du vorrechnen, daß [mm]L_B[/mm] ein Homomorphismus ist.
> > Was ist dafür zu zeigen?
> Ich muss zeigen, dass
f.a. [mm] v_1, v_2, [/mm] v [mm] \in [/mm] V und [mm] \alpha\in [/mm] K gilt:
> [mm]L_B[/mm] (v1 + v2)= [mm]L_B[/mm] (v1) + [mm]L_B[/mm] (v2)
> und [mm]L_B[/mm] [mm](\alpha*v)[/mm] = [mm]\alpha*[/mm] [mm]L_B[/mm] (v) ist, oder?
Ja.
Dann mach doch mal.
Wende die Funktionsvorschrift an und nutze, was Du übers Rechnen mit Matrizen gelernt hast.
> > Und warum bildet er in die Menge V ab?
>
> Das verstehe ich leider nicht...
s.o.
> >
> > Für die Determinante brauchst Du die Darstellungsmatrix
> > bzgl. [mm]\mathcal{B}.[/mm]
> >
> > Berechne dafür zunächst die Bilder der Basisvektoren von
> > [mm]\mathcal{B}.[/mm]
>
> Wie soll ich das machen? Soll ich mir eine beliebige Matrix
> dafür aussuchen?
???
[mm] L_B [/mm] ist eine lineare Abbildung zwischen endlich-dimensionalen VRen.
Diese kann man bzgl. vorgegebener Basen in Bild- und Urbildraum mithilfe einer Matrix, der Darstellungsmatrix schreiben.
Stichworte: Darstellungsmatrix, Koordinatenvektor.
Wie gesagt: Du nimmst die Elemente Deiner Basis und berechnest lt. Funktionsvorschrift deren Funktionswerte unter der Abbildung [mm] L_B.
[/mm]
Danach können wir weitersehen.
Möglicherweise hast Du größere Lücken. Du solltest sie recht bald füllen.
Vielleicht aber verwirrt Dich auch bloß, daß die Vektoren (=Elemente des Vektorraumes) in dieser Aufgabe Matrizen sind.
Das B in der Definition von [mm] L_B [/mm] ist nicht die Darstellungsmatrix!
LG Angela
> > Wenn Du das hast, kannst Du die Darstellungsmatrix
> > aufstellen.
> > Deren Determinante ist die Determinante von [mm]L_B.[/mm]
> >
> > LG Angela
> >
> >
> > > Kann mir bitte jemand
> > > weiterhelfen.
> > >
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt.
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