Anwendung des Konvergenzkrit. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Untersuche die Folge [mm]a_{n}:= \bruch{n}{(n^{2}+1)}[/mm] auf Konvergenz und bestimme ggf. den Grenzwert |
Hallo lieber Matheraum,
nach einigen Stunden im Bereich der Analysis und der totalen Verzweiflung, bin ich schließlich auf dieses Forum hier gestoßen und habe festgestellt, dass man hier schnell und gut Hilfe bei Problemen bekommt. Dementsprechend würde ich nun gerne mein Glück versuchen, da es leider einige Aufgaben gibt, an denen ich scheitere.
Mein aktuelles Problem ist, dass ich mir nicht ganz sicher bin, wie ich die Konvergenz einer bestimmten Folge überprüfe.
Das Konvergenzkriterium folgender Art ist mir bekannt:
Für jedes [mm]\varepsilon >0[/mm] gibt es ein [mm]N \in \IN[/mm], sodass [mm]|a_{n} -a| < \varepsilon[/mm] für jedes [mm] n \in \IN mit N \ge \IN [/mm]
Soweit so gut, die habe ich an sich auch mittlerweile verstanden. Mir ist ebenfalls bewusst, dass ich, um zu beweisen, dass eine Folge konvergiert, eben dieses Kriterium anwenden muss und schauen, ob ich es beweisen( bzw. widerlegen muss, falls sie denn divergent sein soll). Und genau hier scheitere ich leider.
In einer Übung haben wir die Folge: [mm]a_{n}:= \bruch{n}{(n+1)}, n \in \IN[/mm] wie folgt auf Konvergenz geprüft:
-konvergiert gegen [mm] 1= sup(a_{n}) [/mm].
[mm]\forall \varepsilon >0 \exists n \in \IN \forall n>N:|a_{n}-a|<\varepsilon. [/mm]
gdw. [mm] a_{n}[/mm] konvergiert gegen a.
[mm]|a_{n}-1| = | \bruch{n}{(n+1)} -1| = |\bruch{n}{(n+1)} + \bruch{(n+1)}{(n+1)}| = |\bruch{(-1)}{(n+1)}| <\ frac{1}{(N+1)} < \varepsilon [/mm] für alle [mm] \varepsilon>0[/mm].
Wir sind also zu dem Schluss gekommen, dass [mm]a_{n}[/mm] gegen 1 konvergiert. Soweit auch noch plausibel.
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In meiner aktuellen Aufgabe soll ich die Folge [mm]a_{n}:= \bruch{n}{(n^{2}+1)}[/mm] auf Konvergenz überprüfen und ggf. den Grenzwert angeben.
Mein Ansatz bisher:
-konvergiert gegen [mm] 0 = sup(a_{n})[/mm]
-gdw. [mm]a_{n}[/mm] konvergiert gegen a
[mm]|a_{n}-0| = |a_{n}| = |\bruch{n}{(n^{2}+1)}| [/mm]
Und da hörts bei mir leider auf. Ich weiß nicht, wie genau ich weitermachen soll. Meine Idee ist, dass ich wie bei der Übungsaufgabe weitermachen könnte. Sprich:
[mm]|\bruch{n}{(n^{2}+1)}| < \bruch{N}{(N^{2}+1)} < \varepsilon[/mm]
Allerdings weiß ich leider nicht so genau, was ich davon habe und warum exakt ich das darf, sofern es denn richtig ist.
Über eine Antwort würde ich mich freuen :).
Ps.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Untersuche die Folge [mm]a_{n}:= \bruch{n}{(n^{2}+1)}[/mm] auf
> Konvergenz und bestimme ggf. den Grenzwert
> Hallo lieber Matheraum,
> nach einigen Stunden im Bereich der Analysis und der
> totalen Verzweiflung, bin ich schließlich auf dieses Forum
> hier gestoßen und habe festgestellt, dass man hier schnell
> und gut Hilfe bei Problemen bekommt. Dementsprechend würde
> ich nun gerne mein Glück versuchen, da es leider einige
> Aufgaben gibt, an denen ich scheitere.
>
> Mein aktuelles Problem ist, dass ich mir nicht ganz sicher
> bin, wie ich die Konvergenz einer bestimmten Folge
> überprüfe.
>
> Das Konvergenzkriterium folgender Art ist mir bekannt:
>
> Für jedes [mm]\varepsilon >0[/mm] gibt es ein [mm]N \in \IN[/mm], sodass
> [mm]|a_{n} -a| < \varepsilon[/mm] für jedes [mm]n \in \IN mit N \ge \IN[/mm]
>
> Soweit so gut, die habe ich an sich auch mittlerweile
> verstanden. Mir ist ebenfalls bewusst, dass ich, um zu
> beweisen, dass eine Folge konvergiert, eben dieses
> Kriterium anwenden muss und schauen, ob ich es beweisen(
> bzw. widerlegen muss, falls sie denn divergent sein soll).
> Und genau hier scheitere ich leider.
Nun, das ist so auch nicht ganz richtig in dem Sinne, dass es durchaus auch noch andere Möglichkeiten gibt, die Konvergenz einer Folge nachzuweisen.
>
> In einer Übung haben wir die Folge: [mm]a_{n}:= \bruch{n}{(n+1)}, n \in \IN[/mm]
> wie folgt auf Konvergenz geprüft:
>
> -konvergiert gegen [mm]1= sup(a_{n}) [/mm].
>
> [mm]\forall \varepsilon >0 \exists n \in \IN \forall n>N:|a_{n}-a|<\varepsilon.[/mm]
>
> gdw. [mm]a_{n}[/mm] konvergiert gegen a.
>
> [mm]|a_{n}-1| = | \bruch{n}{(n+1)} -1| = |\bruch{n}{(n+1)} + \bruch{(n+1)}{(n+1)}| = |\bruch{(-1)}{(n+1)}| <\ frac{1}{(N+1)} < \varepsilon[/mm]
> für alle [mm]\varepsilon>0[/mm].
>
> Wir sind also zu dem Schluss gekommen, dass [mm]a_{n}[/mm] gegen 1
> konvergiert. Soweit auch noch plausibel.
>
Ja, das ist bis auf Syntax-Teile die (hier auf dem MR?) nicht funktionieren, alles richtig.
>
> In meiner aktuellen Aufgabe soll ich die Folge [mm]a_{n}:= \bruch{n}{(n^{2}+1)}[/mm]
> auf Konvergenz überprüfen und ggf. den Grenzwert angeben.
>
> Mein Ansatz bisher:
>
> -konvergiert gegen [mm]0 = sup(a_{n})[/mm]
Achtung, da steckt schonmal ein Denkfehler drin: Die Folge strebt gegen Null, aber Null ist hier keinesfalls das Supremum. Mache dir unbedingt klar, weshalb (rechne bspw. einige Folgengleider aus).
>
> -gdw. [mm]a_{n}[/mm] konvergiert gegen a
>
> [mm]|a_{n}-0| = |a_{n}| = |\bruch{n}{(n^{2}+1)}|[/mm]
>
> Und da hörts bei mir leider auf. Ich weiß nicht, wie
> genau ich weitermachen soll. Meine Idee ist, dass ich wie
> bei der Übungsaufgabe weitermachen könnte. Sprich:
>
> [mm]|\bruch{n}{(n^{2}+1)}| < \bruch{N}{(N^{2}+1)} < \varepsilon[/mm]
>
Nein, dass kann man so einfach nicht machen. Da müsstest du vorher erst die Monotonie der Folge nachweisen, und bringen tut es dir auch nichts. Ich skizziere mal, wie ich es gerechnet habe.
Eine solch einfache Abschätzung wie in eurem Beispiel habe ich nicht gefunden. Also habe ich ausgenutzt, dass n positiv ist, d.h. die Betragsklammern können entfallen. Dann habe ich mit dem Nenner multipliziert, alles auf eine Seite gebracht, quadratisch ergänzt und dann radiziert. Es kommt ja letztendlich darauf an, die Ungleichung durch Äquivalenzumformungen nach n aufzulösen, um die Existenz von diesem N nachzuweisen, ab dem alle Folgenglieder in der Epsilon-Umgebung liegen.
Gruß, Diophant
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Hallo und danke dir schon einmal :),
> >
> > In meiner aktuellen Aufgabe soll ich die Folge [mm]a_{n}:= \bruch{n}{(n^{2}+1)}[/mm]
> > auf Konvergenz überprüfen und ggf. den Grenzwert angeben.
> >
> > Mein Ansatz bisher:
> >
> > -konvergiert gegen [mm]0 = sup(a_{n})[/mm]
>
> Achtung, da steckt schonmal ein Denkfehler drin: Die Folge
> strebt gegen Null, aber Null ist hier keinesfalls das
> Supremum. Mache dir unbedingt klar, weshalb (rechne bspw.
> einige Folgengleider aus).
Wuupps, jetzt wo du es sagst. Die Folge konvergiert gegen 0 hat aber ihr Infimum bei 0, also [mm] 0 = inf(a_{n})[/mm].
Das Supremum müsste theoretisch bei [mm]\bruch{1}{2} = sup(a_{n})[/mm] liegen, oder täusche ich mich (ist ja eigentlich auch irrelevant)?
> >
> > -gdw. [mm]a_{n}[/mm] konvergiert gegen a
> >
> > [mm]|a_{n}-0| = |a_{n}| = |\bruch{n}{(n^{2}+1)}|[/mm]
> >
> > Und da hörts bei mir leider auf. Ich weiß nicht, wie
> > genau ich weitermachen soll. Meine Idee ist, dass ich wie
> > bei der Übungsaufgabe weitermachen könnte. Sprich:
> >
> > [mm]|\bruch{n}{(n^{2}+1)}| < \bruch{N}{(N^{2}+1)} < \varepsilon[/mm]
> >
>
> Nein, dass kann man so einfach nicht machen. Da müsstest
> du vorher erst die Monotonie der Folge nachweisen, und
> bringen tut es dir auch nichts. Ich skizziere mal, wie ich
> es gerechnet habe.
>
> Eine solch einfache Abschätzung wie in eurem Beispiel habe
> ich nicht gefunden. Also habe ich ausgenutzt, dass n
> positiv ist, d.h. die Betragsklammern können entfallen.
Gut, klingt logisch, ich habe also:
[mm]\bruch{n}{n^{2}+1} < \varepsilon[/mm]
> Dann habe ich mit dem Nenner multipliziert,
So ?
[mm]n < \varepsilon*n^{2} + \varepsilon[/mm]
> alles auf eine Seite gebracht,
So?
[mm] n -\varepsilon*n^{2} < \varepsilon[/mm]
> quadratisch ergänzt und dann radiziert. Es
Und an dieser Stelle hast du mich verloren. Quadratische Ergänzung ist mir bekannt, allerdings weiß ich nicht, wie ich sie hier anwenden soll.
> kommt ja letztendlich darauf an, die Ungleichung durch
> Äquivalenzumformungen nach n aufzulösen, um die Existenz
> von diesem N nachzuweisen, ab dem alle Folgenglieder in der
> Epsilon-Umgebung liegen.
>
>
> Gruß, Diophant
Danke dir für die Hilfe,
Gruß
QED
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Hallo,
> Wuupps, jetzt wo du es sagst. Die Folge konvergiert gegen
> 0 hat aber ihr Infimum bei 0, also [mm]0 = inf(a_{n})[/mm].
> Das Supremum müsste theoretisch bei [mm]\bruch{1}{2} = sup(a_{n})[/mm]
> liegen, oder täusche ich mich (ist ja eigentlich auch
> irrelevant)?
Alles richtig, und wie du sagst: irrelevant, so lange man die Konvergenz per Epsilon-Kriterium nachweisen möchte!
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> Gut, klingt logisch, ich habe also:
>
> [mm]\bruch{n}{n^{2}+1} < \varepsilon[/mm]
>
Soweit ist es richtig.
> > Dann habe ich mit dem Nenner multipliziert,
> So ?
>
> [mm]\bruch{n}{n^{2}+1} < \varepsilon => \bruch{n^{3}+1}{n^{2}+1}< \varepsilon*n^{2}+\varepsilon[/mm]
>
nein, ich weiß nicht, was du da gemacht hast. Aber mein Rat war anders gemeint. Ich bin jedoch mittlerweile (beim Hausputz!  ) draufgekommen, dass das viel einfacher geht, sofern man bekannte konvergente Folgen verwenden darf:
Mit
[mm] \bruch{n}{n^2+1}<\bruch{n}{n^2}=\bruch{1}{n}<\epsilon
[/mm]
bist du bereits fertig.
Gruß, Diophant
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