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Anwendung von Diffbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:29 Do 18.02.2010
Autor: Natascha0

hallo Zusammen,

Die Aufgabe ist um eine Ungleichung zu prüfen, ob sinx [mm] \le [/mm] x gilt.
es ist klar dass diese Ungleichung für x=0 und x>=1 immer gilt. wir betrachten nur für x aus (0,1). Die erste Ableitung von Funktion f(x)=x-sinx  ist gleich 1-cosx, und diese Ableitung ist für x in (0,1) immer größer als 0. d.h.  f(x)=x-sinx ist monoton wachsend in (0,1).
aber wie geht es dann weiter?
Kann jemand mir helfen?

Gruß

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Anwendung von Diffbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:35 Do 18.02.2010
Autor: tobit09

Hallo Natascha,

> wir betrachten nur für x aus (0,1). Die erste
> Ableitung von Funktion f(x)=x-sinx  ist gleich 1-cosx, und
> diese Ableitung ist für x in (0,1) immer größer als 0.
> d.h.  f(x)=x-sinx ist monoton wachsend in (0,1).
>  aber wie geht es dann weiter?
> Kann jemand mir helfen?

Die grobe Idee besteht darin, dass [mm] $\sin x\le [/mm] x$ gleichbedeutend mit [mm] $0\le x-\sin [/mm] x$, also mit [mm] $0\le [/mm] f(x)$ ist. Zu untersuchen ist also, für welche x aus dem Intervall $(0,1)$ [mm] $f(x)\ge [/mm] 0$ gilt.

Mit der von dir genannten Argumentation kann man zeigen, dass f auch im um Null und Eins erweiterten Intervall $[0,1]$ monoton wachsend ist. Wenn also $f$ irgendwo in dem Intervall [mm] $\ge0$ [/mm] ist, dann auch "rechts" davon. Es genügt nun, f in den Randpunkten 0 bzw. 1 zu betrachten, um festzustellen, ob f im ganzen Intervall, nirgendwo im Intervall oder genau in einem "linken" Teilintervall [mm] $\ge0$ [/mm] ist.

(Mit der gleichen Methode könnte man übrigens auch gleich die Gültigkeit der Ungleichung für alle [mm] $x\in\IR$, [/mm] nicht nur für [mm] $x\in(0,1)$ [/mm] prüfen.)

Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Anwendung von Diffbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:04 Di 23.02.2010
Autor: Natascha0

vielen dank.

Verstanden. :-)



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