Anwendung von l'hopital < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien f und g Funktionen mit geeignetem Definitionsbereich. Wahr oder falsch?
1:[mm] \limes_{x\rightarrow 1} \bruch {x^2 -x +2}{(x-1)^2} [/mm]
existiert nicht.
(Edit Marcel: Richtige Aufgabenstellung lautet
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 1} \bruch {x^2 +x -2}{(x-1)^2}\,.$ [/mm]
Siehe weiter unten im Thread...)
2:[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch {\wurzel{x+3} - \wurzel {3}}{x} [/mm] existiert nicht. |
Hallo eigentlich geht es mir nur um die Rueckfrage, ob ich hier l'hopital anweden kann oder nicht.
Ich haette nun so gearbeitet:
Nummer 1:
[mm] \limes_{x\rightarrow 1} \bruch {x^2 -x +2}{{x-1}^2} =
\limes_{x\rightarrow 1} \bruch {2x+1}{2x-2} [/mm] und nach erneuter Anwendung:
[mm] \limes_{x\rightarrow 1} \bruch {2x+1}{2x-2} =
\limes_{x\rightarrow 1} \bruch {2}{2} = 1 [/mm]
--> der Grenzwert existiert und die Behauptung ist falsch
Nummer 2:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch {\wurzel{x+3} - \wurzel {3}}{x} =
\limes_{x\rightarrow 0} \bruch {\bruch {1}{2*\wurzel {x+3}}}{1} [/mm]
da [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch {1}{2*\wurzel {x+3}} = \infty [/mm] und
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} 1 = 1 [/mm] folgt, dass der Grenzwert nicht exisitert und damit die Behauptung wahr ist.
Stimmt das so? Kann ich das so machen?
So wie ich das verstehe, kann ich diese Regel anwenden, falls Nenner UND Zaehler gegen 0 streben, bzw Nenner und Zaehler gegen Unendlich streben. Stimmt das?
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Mir ist natuerlich eine Sekunde nach dem Posten aufgefallen, dass ich den Limes irgendwie falsch abgetippt habe.
Es gilt: In Frage Nummer 1: strebt x gegen 1.
In Frage Nummer 2: strebt x gegen 0.
Entschuldigung!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:35 Sa 23.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Mir ist natuerlich eine Sekunde nach dem Posten
> aufgefallen, dass ich den Limes irgendwie falsch abgetippt
> habe.
>
> Es gilt: In Frage Nummer 1: strebt x gegen 1.
> In Frage Nummer 2: strebt x gegen 0.
ich hab' das mal angepasst - einfach KEINEN Backslash vor eine Zahl setzen,
dann erscheint sie auch sichtbar. 
> Entschuldigung!
Kein Ding!
Gruß,
Marcel
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Hallo DepressiverRoboter,
> Seien f und g Funktionen mit geeignetem Definitionsbereich.
> Wahr oder falsch?
> 1:[mm] \limes_{x\rightarrow 1} \bruch {x^2 -x +2}{{x-1}^2}[/mm]
>
> existiert nicht.
>
> 2:[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch {\wurzel{x+3} - \wurzel {3}}{x}[/mm]
> existiert nicht.
> Hallo eigentlich geht es mir nur um die Rueckfrage, ob ich
> hier l'hopital anweden kann oder nicht.
>
> Ich haette nun so gearbeitet:
>
> Nummer 1:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1} \bruch {x^2 -x +2}{{x-1}^2} =
\limes_{x\rightarrow 1} \bruch {2x+1}{2x-2}[/mm]
> und nach erneuter Anwendung:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1} \bruch {2x+1}{2x-2} =
\limes_{x\rightarrow 1} \bruch {2}{2} = 1[/mm]
>
> --> der Grenzwert existiert und die Behauptung ist falsch
>
x=1 ist keine Nullstelle des Zählers.
Somit ist eine Voraussetzung von L'Hospital nicht erfüllt.
>
> Nummer 2:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch {\wurzel{x+3} - \wurzel {3}}{x} =
\limes_{x\rightarrow 0} \bruch {\bruch {1}{2*\wurzel {x+3}}}{1}[/mm]
>
> da [mm]\limes_{x\rightarrow0} \bruch {1}{2*\wurzel {x+3}} = \infty[/mm]
Das stimmt nicht.
> und
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} 1 = 1[/mm] folgt, dass der Grenzwert
> nicht exisitert und damit die Behauptung wahr ist.
>
> Stimmt das so? Kann ich das so machen?
> So wie ich das verstehe, kann ich diese Regel anwenden,
> falls Nenner UND Zaehler gegen 0 streben, bzw Nenner und
> Zaehler gegen Unendlich streben. Stimmt das?
>
Richtig.
> Vielen Dank!
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Uff ich bin auch wirklich zu dumm zum abtippen (ich kaempf noch ein bisschen mit dem mathematischen Schriftsatz), sorry: also der Zaehler der ersten Aufgabe lautet richtig: [mm] x^2 +x -2 [/mm] dann ist x=1 doch eine Nullstelle und ich kann l'hopital anwenden, nicht wahr?
Und zur zweiten Aufgabe:
[mm]\limes_{x\rightarrow0} \bruch {1}{2\cdot{}\wurzel {x+3}} [/mm] ist natuerlich nicht unendlich, sondern 0 (bin heute echt zu frueh aufgestanden)
Dann ist der Grenzwert hier 0, und existiert damit. Richtig?
Entschuldigung nochmal fuer meine Schusseligkeit.
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Hi!
> Uff ich bin auch wirklich zu dumm zum abtippen (ich kaempf
> noch ein bisschen mit dem mathematischen Schriftsatz),
> sorry: also der Zaehler der ersten Aufgabe lautet richtig:
> [mm]x^2 +x -2[/mm] dann ist x=1 doch eine Nullstelle und ich kann
> l'hopital anwenden, nicht wahr?
>
> Und zur zweiten Aufgabe:
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0} \bruch {1}{2\cdot{}\wurzel {x+3}}[/mm]
> ist natuerlich nicht unendlich, sondern 0 (bin heute echt
> zu frueh aufgestanden)
> Dann ist der Grenzwert hier 0, und existiert damit.
> Richtig?
> Entschuldigung nochmal fuer meine Schusseligkeit.
>
Bevor du die Aufgabenstellung hier nicht korrekt abgetippt hast, macht das wenig Sinn.
Lautet deine erste Aufgabenstellung so:
[mm] \limes_{x\rightarrow 1} \bruch {x^2 +x -2}{(x-1)^2} [/mm] ???
Wenn ja: Der Grenzwert ist unendlich. Du hast einen Post weiter oben bereits richtig angefangen, allderings dann L´hopital falsch angewandt.
Zu deiner 2. Aufgabe (falls diese denn richtig abgeschrieben ist):
Nein, deine Lösung ist nicht richtig. Wie kommst du denn auf Null???
Valerie
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Danke nochmal fuer die Antwort, meine Guete ich steh ja echt auf dem Schlauch, man sollte schon im Auge behalten, gegen welchen Wert man x gehen laesst -.-, dann ist
[mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch {1}{2\cdot{}\wurzel {x+3}} [/mm]
ja nicht unendlich, denn ich lasse x ja nicht gegen unendlich, sondern gegen 0 gehen...dann ist:
[mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch {1}{2\cdot{}\wurzel {x+3}} = \bruch {1}{2*\wurzel{3}} [/mm]
oder?
zur anderen Aufgabe:
Genau, die Fragestellung lautet so:
[mm] \limes_{x\rightarrow 1} \bruch {x^2 +x -2}{(x-1)^2} [/mm]
was die Falschanwendung von l'hopital angeht: liegt es daran, dass ich l'hopital das zweite mal gar nicht anwenden kann, weil der Zaehler [mm] 2x + 1 [/mm] fuer x gegen 1 nicht gegen 0 geht?
Und da
[mm] \limes_{x\rightarrow 1} 2x+1 = 3 [/mm]
und
[mm] \limes_{x\rightarrow 1} 2x-2 = 0 [/mm]
folgt
[mm] \limes_{x\rightarrow 1} \bruch {x^2 +x -2}{(x-1)^2} = \infty [/mm]
Stimmt das so?
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Hallo DepressiverRoboter,
> Danke nochmal fuer die Antwort, meine Guete ich steh ja
> echt auf dem Schlauch, man sollte schon im Auge behalten,
> gegen welchen Wert man x gehen laesst -.-, dann ist
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0} \bruch {1}{2\cdot{}\wurzel {x+3}}[/mm]
>
> ja nicht unendlich, denn ich lasse x ja nicht gegen
> unendlich, sondern gegen 0 gehen...dann ist:
> [mm]\limes_{x\rightarrow0} \bruch {1}{2\cdot{}\wurzel {x+3}} = \bruch {1}{2*\wurzel{3}}[/mm]
>
Richtig.
> oder?
>
>
> zur anderen Aufgabe:
> Genau, die Fragestellung lautet so:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1} \bruch {x^2 +x -2}{(x-1)^2}[/mm]
>
> was die Falschanwendung von l'hopital angeht: liegt es
> daran, dass ich l'hopital das zweite mal gar nicht anwenden
> kann, weil der Zaehler [mm]2x + 1[/mm] fuer x gegen 1 nicht gegen 0
> geht?
>
Das ist ebenfalls richtig.
> Und da
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1} 2x+1 = 3[/mm]
> und
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1} 2x-2 = 0[/mm]
> folgt
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1} \bruch {x^2 +x -2}{(x-1)^2} = \infty[/mm]
>
> Stimmt das so?
Ja.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 17:49 Sa 23.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> > zur anderen Aufgabe:
> > Genau, die Fragestellung lautet so:
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 1} \bruch {x^2 +x -2}{(x-1)^2}[/mm]
> >
> > was die Falschanwendung von l'hopital angeht: liegt es
> > daran, dass ich l'hopital das zweite mal gar nicht anwenden
> > kann, weil der Zaehler [mm]2x + 1[/mm] fuer x gegen 1 nicht gegen 0
> > geht?
> >
>
>
> Das ist ebenfalls richtig.
>
>
> > Und da
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 1} 2x+1 = 3[/mm]
> > und
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 1} 2x-2 = 0[/mm]
> > folgt
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 1} \bruch {x^2 +x -2}{(x-1)^2} = \infty[/mm]
>
> >
> > Stimmt das so?
>
>
> Ja.
nein, das stimmt nicht - er kann am Ende de l'Hôpital gar nicht mehr anwenden,
weil eine Voraussetzung zur Anwendung des Satzes nicht gegeben ist (siehe
meine Antwort).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Sa 23.03.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig, aber so einfache Aufgaben mit L'Hopital ui lösen find ich ,it Kanonen auf Spatzen schiessen.1. einfach durch x-1 kürzen, bzw in Z und N ausklammern.
im 2. Fall, 3, bin Formel, mit der Summe des Z erweitern.
Gruss leduart
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Vielen Dank fuer alle Antworten! Jetzt ist die Sache klar.
Was das Kuerzen angeht, das muesste natuerlich auch gehen, ich wollte diese Aufgabe vor allem mal dazu nutzen fuer mich den l'hopital noch mal zu klaeren.
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 17:50 Sa 23.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Hallo
> richtig,
nein, es war nicht alles richtig so - er kann am Ende de l'Hôpital gar nicht
mehr bei der ersten Aufgabe anwenden, weil eine Voraussetzung zur
Anwendung des Satzes nicht gegeben ist (siehe meine Antwort) (mit einer
Fallunterscheidung wäre de l'Hôpital aber auf die einzelnen Fälle anwendbar)!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Sa 23.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Genau, die Fragestellung lautet so:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1} \bruch {x^2 +x -2}{(x-1)^2}[/mm]
>
> was die Falschanwendung von l'hopital angeht: liegt es
> daran, dass ich l'hopital das zweite mal gar nicht anwenden
> kann, weil der Zaehler [mm]2x + 1[/mm] fuer x gegen 1 nicht gegen 0
> geht?
>
> Und da
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1} 2x+1 = 3[/mm]
> und
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1} 2x-2 = 0[/mm]
> folgt
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1} \bruch {x^2 +x -2}{(x-1)^2} = \infty[/mm]
>
> Stimmt das so?
nein! Bei der Regel von de l'Hôpital steht drin, dass
[mm] $$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x_0}\frac{f\,'(x)}{g\,'(x)}$$
[/mm]
gilt, sofern der Grenzwert rechterhand (wie hier: etwa in [mm] $\IR \cup \{\pm \infty\}$) [/mm] existiert
(neben der [mm] "$\pm [/mm] 0/0$" oder [mm] "$\pm \infty/\infty$"-Voraussetzung!).
[/mm]
Aber [mm] $\lim_{x \to 1} \frac{2x+1}{2x-2}$ [/mm] existiert NICHT (in [mm] $\IR \cup \{\pm \infty\}$), [/mm] denn es gilt
[mm] $$\lim_{x \to 1^+}\frac{2x+1}{2x-2}=+\infty\,,$$ [/mm]
aber auch
[mm] $$\lim_{x \to 1^-}\frac{2x+1}{2x-2}=\;-\;\infty\,,$$ [/mm]
so dass wegen [mm] $\infty \not= \;-\;\infty$ [/mm] dieser Limes in [mm] $\IR \cup \{\pm \infty\}$ [/mm] nicht existiert.
L'Hôpital ist NICHT (direkt) ANWENDBAR (wenn man Fallunterscheidungen
macht, dann schon!)!
Nebenbei: Man kann man sowas Tolles wie einen Funktionenplotter benutzen
(findet man leicht mit Googel, oder such' nach Funkyplot) und sich etwa mal
die Funktion $x [mm] \mapsto [/mm] (2x+1)/(2x-2)$ auch plotten lassen, um ganz auf
Nummer sicher zu gehen!
Gruß,
Marcel
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Danke Marcel fuer die Klarstellung: ich werde jetzt nochmal versuchen das so zusammenzufassen wie ich das verstanden hab, um nochmal auf nummer sicher zu gehen dass alles stimmt.
Also Prinzipiell ist die erste Bedingung l'hopital anwenden zu koennen, dass sowohl der Zaehler als auch der Nenner entweder BEIDE gegen 0 streben oder BEIDE gegen Unendlich bzw minus Unendlich.
Hier schonmal die erste Zwischenfrage: geht es auch wenn z.b der Zaehler gegen Unendlich und der Nenner gegen minus Unendlich strebt?)
Die zweite Bedingung ist, dass der Grenzwert nach Anwendung von l'hopital existiert. Strebt also der Grenzwert von [mm] \bruch {f'(a)}{g'(a)} [/mm] gegen Unendlich bzw gegen minus Unendlich, dann ist l'hopital nicht gueltig.
Zweite Frage: Wenn nach erster Anwendung von l'hopital sowohl Zaehler als auch Nenner gegen 0 streben, ist er dann gueltig?
Und schliesslich die dritte Frage: Wenn es mir nur darum geht OB der Grenzwert existiert und nicht darum welcher Grenzwert es genau ist, kann ich dann auf die 2te Bedingung verzichten? Also kann ich, wenn ich sehe dass der Grenzwert nach erster Anwendung von l'hopital nicht existiert darauf schliessen dass der Grenzwert von f nicht existiert?
Im Beispiel z.B kommt man faelschlicherweise auf [mm] \limes_{x\rightarrow 1} \bruch {x^2 +x -2}{(x-1)^2} = \infty [/mm] obwohl eigentlich [mm] \limes_{x\rightarrow 1} \bruch {x^2 +x -2}{(x-1)^2} = -\infty[/mm] gilt. Trotz allem stimmt aber, dass der Grenzwert nicht existiert!
oder ist das schlicht und einfach ein "alles kann passieren wenn diese Bedingung nicht erfuellt ist - lass die Finger davon" :)
vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Sa 23.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke Marcel fuer die Klarstellung: ich werde jetzt nochmal
> versuchen das so zusammenzufassen wie ich das verstanden
> hab, um nochmal auf nummer sicher zu gehen dass alles
> stimmt.
>
> Also Prinzipiell ist die erste Bedingung l'hopital anwenden
> zu koennen, dass sowohl der Zaehler als auch der Nenner
> entweder BEIDE gegen 0 streben oder BEIDE gegen Unendlich
> bzw minus Unendlich.
wobei diese Fälle bis auf Vorzeichen anzusehen sind.
> Hier schonmal die erste Zwischenfrage: geht es auch
> wenn z.b der Zaehler gegen Unendlich und der Nenner gegen
> minus Unendlich strebt?)
Ja, das meinte ich oben. Das kannst Du auch einfach auf andere Fälle
zurückführen:
Wenn $f(x) [mm] \to \intfy$ [/mm] und $g(x) [mm] \to -\infty$ [/mm] bei $x [mm] \to x_0\,,$ [/mm] dann betrachtest
Du zunächst einfach
[mm] $$\frac{f(x)}{\;-\;g(x)}$$
[/mm]
und hast wieder den Fall [mm] "$\infty/\infty$".
[/mm]
> Die zweite Bedingung ist, dass der Grenzwert nach Anwendung
> von l'hopital existiert. Strebt also der Grenzwert von
> [mm]\bruch {f'(a)}{g'(a)}[/mm] gegen Unendlich bzw gegen minus
> Unendlich, dann ist l'hopital nicht gueltig.
Das muss ich korrigieren, da hatte ich was falsch in Erinnerung - siehe meine
letzte Antwort. Im Falle der unbestimmten Divergenz gegen [mm] $\infty$ [/mm] (oder [mm] $-\infty$) [/mm] darf man de l'Hôpital anwenden. Aber die unbestimmte Divergenz
liegt hier auch nicht vor - durch Fallunterscheidung wäre dann aber de l'Hôpital
anwendbar auf einzelne Fälle.
> Zweite Frage: Wenn nach erster Anwendung von l'hopital
> sowohl Zaehler als auch Nenner gegen 0 streben, ist er dann
> gueltig?
Wende ihn dann weiter an, bis Du ggf. zu einem Ziel kommst. Einfach mal
ein "akademisches" Beispiel:
Wir sind generell zu blöd zum kürzen und wollen mit de l'Hôpital
[mm] $$\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^3}$$
[/mm]
berechnen. Mach' mal!
> Und schliesslich die dritte Frage: Wenn es mir nur darum
> geht OB der Grenzwert existiert und nicht darum welcher
> Grenzwert es genau ist, kann ich dann auf die 2te Bedingung
> verzichten? Also kann ich, wenn ich sehe dass der Grenzwert
> nach erster Anwendung von l'hopital nicht existiert darauf
> schliessen dass der Grenzwert von f nicht existiert?
Nein - i.a. nicht. De l'Hôpital ist anwendbar, wenn Du "bei den Ableitungen"
dann irgendwann siehst, dass ein Grenzwert in [mm] $\IR \cup \{\pm \infty\}$ [/mm] rauskommt
(neben den anderen Voraussetzungen, die stets zu prüfen sind, wenn man
ihn mehrmals anwendet).
> Im Beispiel z.B kommt man faelschlicherweise auf
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1} \bruch {x^2 +x -2}{(x-1)^2} = \infty[/mm]
Nein: Ihr hättet da höchstens
[mm] $$\lim_{x \to 1^+}\bruch {x^2 +x -2}{(x-1)^2}=\infty$$
[/mm]
und
[mm] $$\lim_{x \to 1^-}\bruch {x^2 +x -2}{(x-1)^2}=\;-\;\infty$$
[/mm]
folgern können, wenn man es mit de l'Hôpital "richtig" gemacht hätte.
> obwohl eigentlich [mm]\limes_{x\rightarrow 1} \bruch {x^2 +x -2}{(x-1)^2} = -\infty[/mm]
> gilt.
Das gilt nicht - siehe oben!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:40 Sa 23.03.2013 | | Autor: | Marcel |
P.S.
Ist Dir eigentlich klar, dass
[mm] $$\lim_{x \to 1} \frac{2x+1}{2x-2}$$
[/mm]
nicht existiert?
Bzw. ist Dir klar, dass
[mm] $$\lim_{x \to 1^+}\frac{2x+1}{2x-2}=\lim_{1 < x \to 1}\frac{2x+1}{2x-2}=\infty\,,$$
[/mm]
aber
[mm] $$\lim_{x \to 1^-}\frac{2x+1}{2x-2}=\lim_{1 > x \to 1}\frac{2x+1}{2x-2}=\;\red{\;-\;}\;\infty$$
[/mm]
ist?
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Japp, das leuchtet mir soweit mit den verschiedenen Grenzwerten, je nachdem ob man von "unten" oder von "oben" gegen 1 geht.
D.h aber, wenn ich jetzt beim "von unten" und beim "von oben" gegen x streben den gleichen Grenzwert bekommen wuerde(also z.B unendlich),dann wuerde der Grenzwert schon existieren(naemlich unendlich). Und die Behauptung, dass der Grenzwert nicht existiert waere falsch.
Denn "Unendlich" ist auch ein Grenzwert,oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Sa 23.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Japp, das leuchtet mir soweit mit den verschiedenen
> Grenzwerten, je nachdem ob man von "unten" oder von "oben"
> gegen 1 geht.
>
> D.h aber, wenn ich jetzt beim "von unten" und beim "von
> oben" gegen x streben den gleichen Grenzwert bekommen
> wuerde(also z.B unendlich),dann wuerde der Grenzwert schon
> existieren(naemlich unendlich).
ja, sofern man es zuläßt, [mm] $\infty$ [/mm] (oder auch [mm] $-\infty$) [/mm] als Grenzwert
anzusehen!
> Und die Behauptung, dass
> der Grenzwert nicht existiert waere falsch.
> Denn "Unendlich" ist auch ein Grenzwert,oder?
Man würde auf jeden Fall dann [mm] $\lim_{\ldots}\ldots=\infty$ [/mm] schreiben. Und wie gesagt:
Das ist ein wenig Definitionssache, ob man nun [mm] $\infty$ [/mm] (bzw. [mm] $-\;\infty$) [/mm] als
Grenzwert ansieht, und man dann sagen darf, dass der gesuchte Grenzwert
existiert und [mm] $\infty$ [/mm] ist.
Hätte der Aufgabensteller behauptet, dass der gesuchte Grenzwert "in [mm] $\IR$"
[/mm]
nicht existiert, dann wäre die Antwort auch im Falle von [mm] $\lim_{\ldots}\ldots=\infty$
[/mm]
klar: Denn wegen [mm] $\infty \notin \IR$ [/mm] wäre dann die Antwort, dass die Behauptung
dann stimmen würde. (Siehe etwa ![[]](/images/popup.gif) Definition 5.1, Teil 2. (klick!) - wobei man bei dieser
Definition vielleicht genauer schreiben sollte, dass eine Folge in [mm] $\IK$ [/mm] konvergent
in [mm] $\IK$ [/mm] heißen soll, wenn... . Und wenn man nun in Bemerkung und Definition
5.9 guckt, steht da, dass [mm] $a_n \to \infty$ [/mm] als "Konvergenz gegen [mm] $\infty$" [/mm] oder als
"(unbestimmte) Divergenz gegen [mm] $\infty$" [/mm] formuliert wird. Alleine anhand
dieser Formulierungen ist gar nicht klar, ob man nun [mm] $\infty$ [/mm] als Grenzwert
auffasst oder nicht. Wenn man aber sagt, dass eine Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] (bzw. [mm] $\IC$) [/mm] (d.h.
alle [mm] $a_n \in \IR$ [/mm] (bzw. alle [mm] $a_n \in \IC$)) [/mm] genau dann in [mm] $\IR$ [/mm] (bzw. [mm] $\IC$) [/mm] konvergiert, wenn sie einen Grenzwert
in [mm] $\IR$ [/mm] (bzw. [mm] $\IC$) [/mm] hat, dann sind Folgen, die etwa gegen [mm] $\infty$ [/mm] konvergieren, nicht konvergent
in [mm] $\IR$ [/mm] (bzw. [mm] $\IC$) [/mm] (denn andernfalls müßte [mm] $\infty \in \IR$ [/mm] (bzw. [mm] $\infty \in \IC$) [/mm] gelten).
Aber laß' Dich nicht verwirren: Wie gesagt, es ist ein wenig Definitionssache,
ob man, wenn (etwa) eine Folge gegen [mm] $\infty$ [/mm] strebt, auch sagt, dass [mm] $\infty$
[/mm]
dann deren Grenzwert ist, oder ob man [mm] $\infty$ [/mm] nicht als Grenzwert bezeichnen darf.
Dazu sollte eigentlich der Dozent/Autor selbst etwas sagen. Ich selbst
lasse, wenn ich sage, dass eine Folge konvergiert, auch sowas wie [mm] $\infty$ [/mm] oder
[mm] $-\infty$ [/mm] als Grenzwert der Folge zu. Wenn ich aber etwa sage, dass eine Folge
konvergent in [mm] $\IR$ [/mm] ist, dann beinhaltet das die Zusatzinformation, dass die
Folge gegen einen Grenzwert strebt, der zu [mm] $\IR$ [/mm] gehört. In dieser Sprechweise
sind die Fälle, dass die Folge gegen [mm] $\infty$ [/mm] oder [mm] $-\infty$ [/mm] strebt, dann ausgeschlossen.
Hier würde man also weder [mm] $\infty$ [/mm] noch [mm] $-\,\infty$ [/mm] mit dem Begriff Grenzwert
bezeichnen dürfen!
(Analoges gilt natürlich auch für eine Funktion; da gibt es ja Zusammenhänge,
siehe etwa Definition 10.4 (klick!).)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Sa 23.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien f und g Funktionen mit geeignetem Definitionsbereich.
> Wahr oder falsch?
> 1:[mm]\limes_{x\rightarrow 1} \bruch {x^2 +x -2}{(x-1)^2}\,.[/mm]
das ganze nochmal richtig: De l'Hôpital ist hier NICHT (direkt) anwendbar, denn
[mm] $$\lim_{x \to 1} \frac{(x^2+x-2)'}{((x-1)^2)\,'}=\lim_{x \to 1}\frac{2x+1}{2x-2}$$
[/mm]
existiert NICHT.
Es gilt aber
[mm] $$\frac{x^2+x-2}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)^2+3x-3}{(x-1)^2}=1+\frac{3*(x-1)}{(x-1)^2}=1+\frac{3}{x-1}\,.$$
[/mm]
Wegen
[mm] $$\lim_{x \to 1^+}\frac{3}{x-1}=\infty$$
[/mm]
und
[mm] $$\lim_{x \to 1^-}\frac{3}{x-1}=\;-\;\infty$$
[/mm]
existiert der gefragte Limes nicht (in [mm] $\IR$ [/mm] sowieso nicht, denn es gilt ja neben
[mm] $\infty \notin \IR$ [/mm] auch [mm] $-\;\infty \notin \IR$ [/mm] - und in [mm] $\IR \cup \{\pm \infty\}$ [/mm] kann er wegen [mm] $\;-\;\infty \not=\infty$ [/mm] auch nicht existieren!).
Die erste Behauptung stimmt also!
(Und der "graphische Beweis":
[Dateianhang nicht öffentlich])
P.S. Ich habe gerade nochmal nachgeguckt: Die Regel von de L'Hôpital dürfte
doch im Falle der bestimmten Divergenz angewendet werden:
Wiki, L'Hôpital, Grenzübergang im Unendlichen (klick!)
War mir nicht bewußt. Hier liegt aber auch keine unbestimmte Divergenz vor, also ist der Satz hier nicht anwendbar!
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Sa 23.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien f und g Funktionen mit geeignetem Definitionsbereich.
> Wahr oder falsch?
> 1:[mm] \limes_{x\rightarrow 1} \bruch {x^2+x-22}{(x-1)^2}[/mm]
>
> existiert nicht.
nochmal ergänzend, weil mir das selbst nicht mehr klar war: Bei de l'Hôpital
wird die Existenz des Grenzwertes ("bei dem Bruch mit den Ableitungen") nur
(hier etwa) in [mm] $\IR \cup \{\pm \infty\}$ [/mm] gefordert. Dass de l'Hôpital auch im
Falle der unbestimmten Divergenz gegen [mm] $\infty$ [/mm] oder [mm] $\,-\,\infty$ [/mm] auch
anwendbar ist, war mir nicht bewußt.
Nichtsdestotrotz muss man, wenn man ihn hier anwendet, einen ganz kleinen
Trick verwenden:
Wie schon erwähnt gilt
[mm] $$\lim_{x \to 1^+}\frac{(x^2+x-1)\,'}{((x-1)^2)\,'}=\lim_{x \to 1^+} \frac{2x+1}{2x-2}=\;+\;\infty$$
[/mm]
und
[mm] $$\lim_{x \to 1^-}\frac{(x^2+x-1)\,'}{((x-1)^2)\,'}=\lim_{x \to 1^-} \frac{2x+1}{2x-2}=\;-\;\infty\,.$$
[/mm]
(Zur Notation: [mm] $\lim_{x \to 1^+}:=\lim_{1 < x \to 1}$ [/mm] und [mm] $\lim_{x \to 1^-}:=\lim_{1 > x \to 1}\,.$)
[/mm]
Mit de l'Hôpital (er darf auch auf "einseitige Grenzwerte" angewendet werden)
folgt
[mm] $$\lim_{x \to 1^+}\frac{x^2+x-1}{(x-1)^2}=\;+\;\infty$$
[/mm]
und
[mm] $$\lim_{x \to 1^-}\frac{x^2+x-1}{(x-1)^2}=\;-\;\infty \not= \;+\;\infty\,.$$
[/mm]
Daher kann
[mm] $$\lim_{x \to 1}\frac{x^2+x-1}{(x-1)^2}$$
[/mm]
nicht existieren!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:30 So 24.03.2013 | | Autor: | Infinit |
Auch wenn man es ohne das "s" ausspricht, schreibt sich der Herr, von dem diese Regel stammt, immer noch "L'Hospital"
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 So 24.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Auch wenn man es ohne das "s" ausspricht, schreibt sich der
> Herr, von dem diese Regel stammt, immer noch "L'Hospital"
> Viele Grüße,
> Infinit
Hallo Infinit,
dann sage den Franzosen, dass sie ab jetzt wider altfranzösisch schreiben sollen:
estre, fenestre, chasteau .....
statt:
être , fenêtre , château .
Fred
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 So 24.03.2013 | | Autor: | fred97 |
Eine Bemerkung zu $ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch {\wurzel{x+3} - \wurzel {3}}{x} [/mm] $:
Wenn man einenAusdruck als Differenzenquotienten auffassen kann, sollte man das tun, denn l'Hopital ist dann etwas überzogen.
Sei [mm] f(x):=\wurzel{x+3}.
[/mm]
Dann ist
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch {\wurzel{x+3} - \wurzel {3}}{x}= \limes_{x\rightarrow 0} \bruch [/mm] {f(x) -f(0)}{x-0}=f'(0)$
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:06 So 24.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Fred,
> Eine Bemerkung zu [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch {\wurzel{x+3} - \wurzel {3}}{x} [/mm]:
>
> Wenn man einenAusdruck als Differenzenquotienten auffassen
> kann, sollte man das tun, denn l'Hopital ist dann etwas
> überzogen.
aber ich finde den folgenden Schluss nach wie vor toll:
Sei etwa $f [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] differenzierbar in einer punktierten Umgebung
von [mm] $x_0\,.$ [/mm] Zudem existiere [mm] $g:=\lim_{x \to x_0}f\,'(x_0)\,.$ [/mm] Dann existiert auch [mm] $f\,'(x_0)$ [/mm]
und es gilt [mm] $f\,'(x_0)=g\,.$
[/mm]
Denn: Nach de l'Hôpital gilt
[mm] $$\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0} f\,'(x)=g\,.$$
[/mm]
Oben gilt mit [mm] $f(x):=\sqrt{x+3}$ [/mm] natürlich, dass [mm] $f\,$ [/mm] differenzierbar ist auf
[mm] $(-3,\infty)\,,$ [/mm] insbesondere ist [mm] $f\,$ [/mm] diff'bar in [mm] $0\,.$ [/mm] Dann ist
[mm] $$f\,'(x)=\frac{1}{2*\sqrt{x+3}}$$
[/mm]
insbesondere stetig in [mm] $x=0\,,$ [/mm] und man kann auch (unnötigerweise) wie
oben vorgehen.
Irgendwie ist das schon witzig, dass aus der Existenz von [mm] $f\,'$ [/mm] auf einer punktierten
Umgebung von [mm] $x_0$ [/mm] schon folgt, dass [mm] $f\,'$ [/mm] stetig in [mm] $x_0$ [/mm] sein muss, sofern denn [mm] $\lim_{x \to x_0}f\,'(x)$ [/mm]
auch existiert!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:04 Mo 25.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hi Fred,
>
> > Eine Bemerkung zu [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch {\wurzel{x+3} - \wurzel {3}}{x} [/mm]:
>
> >
> > Wenn man einenAusdruck als Differenzenquotienten auffassen
> > kann, sollte man das tun, denn l'Hopital ist dann etwas
> > überzogen.
>
> aber ich finde den folgenden Schluss nach wie vor toll:
> Sei etwa [mm]f \colon \IR \to \IR[/mm] differenzierbar in einer
> punktierten Umgebung
> von [mm]x_0\,.[/mm] Zudem existiere [mm]g:=\lim_{x \to x_0}f\,'(x_0)\,.[/mm]
> Dann existiert auch [mm]f\,'(x_0)[/mm]
> und es gilt [mm]f\,'(x_0)=g\,.[/mm]
>
> Denn: Nach de l'Hôpital gilt
> [mm]\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f\,'(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0} f\,'(x)=g\,.[/mm]
>
> Oben gilt mit [mm]f(x):=\sqrt{x+3}[/mm] natürlich, dass [mm]f\,[/mm]
> differenzierbar ist auf
> [mm](-3,\infty)\,,[/mm] insbesondere ist [mm]f\,[/mm] diff'bar in [mm]0\,.[/mm] Dann
> ist
> [mm]f\,'(x)=\frac{1}{2*\sqrt{x+3}}[/mm]
> insbesondere stetig in [mm]x=0\,,[/mm] und man kann auch
> (unnötigerweise) wie
> oben vorgehen.
>
> Irgendwie ist das schon witzig, dass aus der Existenz von
> [mm]f\,'[/mm] auf einer punktierten
> Umgebung von [mm]x_0[/mm] schon folgt, dass [mm]f\,'[/mm] stetig in [mm]x_0[/mm] sein
> muss, sofern denn [mm]\lim_{x \to x_0}f\,'(x)[/mm]
> auch existiert!
Hallo Marcel,
ist [mm] f:[x_0,x_0+h) \to \IR [/mm] stetig und auf [mm] (x_0,x_0+h) [/mm] differenzierbar und ex. [mm]\lim_{x \to x_0}f\,'(x)[/mm] , so folgt aus dem Mittelwertsatz, dass
$ [mm] \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f\,'(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0} f\,'(x)$
[/mm]
ist.
FRED
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:01 Mo 25.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Fred,
> >
> > aber ich finde den folgenden Schluss nach wie vor toll:
> > Sei etwa [mm]f \colon \IR \to \IR[/mm] differenzierbar in einer
> > punktierten Umgebung
> > von [mm]x_0\,.[/mm] Zudem existiere [mm]g:=\lim_{x \to x_0}f\,'(x_0)\,.[/mm]
> > Dann existiert auch [mm]f\,'(x_0)[/mm]
> > und es gilt [mm]f\,'(x_0)=g\,.[/mm]
> >
> > Denn: Nach de l'Hôpital gilt
> > [mm]\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f\,'(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0} f\,'(x)=g\,.[/mm]
>
> >
> > Oben gilt mit [mm]f(x):=\sqrt{x+3}[/mm] natürlich, dass [mm]f\,[/mm]
> > differenzierbar ist auf
> > [mm](-3,\infty)\,,[/mm] insbesondere ist [mm]f\,[/mm] diff'bar in [mm]0\,.[/mm]
> Dann
> > ist
> > [mm]f\,'(x)=\frac{1}{2*\sqrt{x+3}}[/mm]
> > insbesondere stetig in [mm]x=0\,,[/mm] und man kann auch
> > (unnötigerweise) wie
> > oben vorgehen.
> >
> > Irgendwie ist das schon witzig, dass aus der Existenz von
> > [mm]f\,'[/mm] auf einer punktierten
> > Umgebung von [mm]x_0[/mm] schon folgt, dass [mm]f\,'[/mm] stetig in [mm]x_0[/mm]
> sein
> > muss, sofern denn [mm]\lim_{x \to x_0}f\,'(x)[/mm]
> > auch existiert!
>
> Hallo Marcel,
>
> ist [mm]f:[x_0,x_0+h) \to \IR[/mm] stetig und auf [mm](x_0,x_0+h)[/mm]
> differenzierbar und ex. [mm]\lim_{x \to x_0}f\,'(x)[/mm] , so folgt
> aus dem Mittelwertsatz, dass
>
>
>
> [mm]\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f\,'(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0} f\,'(x)[/mm]
>
> ist.
jupp - das ist natürlich eine "bessere" Formulierung. War mir aber auch klar.
Man sollte Studenten vielleicht aber auch mal generell daran erinnern, wie man
de l'Hôpital beweist, und dass der erweiterte MWS den "normalen" beinhaltet!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 Mo 25.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hi Fred,
>
> > >
> > > aber ich finde den folgenden Schluss nach wie vor toll:
> > > Sei etwa [mm]f \colon \IR \to \IR[/mm] differenzierbar in
> einer
> > > punktierten Umgebung
> > > von [mm]x_0\,.[/mm] Zudem existiere [mm]g:=\lim_{x \to x_0}f\,'(x_0)\,.[/mm]
> > > Dann existiert auch [mm]f\,'(x_0)[/mm]
> > > und es gilt [mm]f\,'(x_0)=g\,.[/mm]
> > >
> > > Denn: Nach de l'Hôpital gilt
> > > [mm]\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f\,'(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0} f\,'(x)=g\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Oben gilt mit [mm]f(x):=\sqrt{x+3}[/mm] natürlich, dass [mm]f\,[/mm]
> > > differenzierbar ist auf
> > > [mm](-3,\infty)\,,[/mm] insbesondere ist [mm]f\,[/mm] diff'bar in [mm]0\,.[/mm]
> > Dann
> > > ist
> > > [mm]f\,'(x)=\frac{1}{2*\sqrt{x+3}}[/mm]
> > > insbesondere stetig in [mm]x=0\,,[/mm] und man kann auch
> > > (unnötigerweise) wie
> > > oben vorgehen.
> > >
> > > Irgendwie ist das schon witzig, dass aus der Existenz von
> > > [mm]f\,'[/mm] auf einer punktierten
> > > Umgebung von [mm]x_0[/mm] schon folgt, dass [mm]f\,'[/mm] stetig in
> [mm]x_0[/mm]
> > sein
> > > muss, sofern denn [mm]\lim_{x \to x_0}f\,'(x)[/mm]
> > > auch existiert!
> >
> > Hallo Marcel,
> >
> > ist [mm]f:[x_0,x_0+h) \to \IR[/mm] stetig und auf [mm](x_0,x_0+h)[/mm]
> > differenzierbar und ex. [mm]\lim_{x \to x_0}f\,'(x)[/mm] , so folgt
> > aus dem Mittelwertsatz, dass
> >
> >
> >
> > [mm]\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f\,'(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0} f\,'(x)[/mm]
Hallo Marcel,
oben haben wir uns beide verschrieben und keiner hats gemerkt. Richtig:
[mm]\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f\,(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0} f\,'(x)[/mm].
FRED
>
> >
> > ist.
>
> jupp - das ist natürlich eine "bessere" Formulierung. War
> mir aber auch klar.
> Man sollte Studenten vielleicht aber auch mal generell
> daran erinnern, wie man
> de l'Hôpital beweist, und dass der erweiterte MWS den
> "normalen" beinhaltet!
>
> Gruß,
> Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:03 Mo 25.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Fred,
> > > Hallo Marcel,
> > >
> > > ist [mm]f:[x_0,x_0+h) \to \IR[/mm] stetig und auf [mm](x_0,x_0+h)[/mm]
> > > differenzierbar und ex. [mm]\lim_{x \to x_0}f\,'(x)[/mm] , so folgt
> > > aus dem Mittelwertsatz, dass
> > >
> > >
> > >
> > > [mm]\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f\,'(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0} f\,'(x)[/mm]
>
> Hallo Marcel,
>
> oben haben wir uns beide verschrieben und keiner hats
> gemerkt. Richtig:
>
> [mm]\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f\,(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0} f\,'(x)[/mm].
ich hab's bei mir mal geändert - Danke! 
Nebenbei: Eigentlich hatte ja nur ich mich verschrieben - bei Dir folgte das
aus der Zitierfunktion. ^^
Gruß,
Marcel
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