Anwendungsaufgabe Integrale < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Di 05.02.2008 | | Autor: | bOernY |
| Aufgabe | Das nebenstehende Diagramm zeigt, wie die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs von der Zeit abhängt; der zugehörige Funktionsterm für 0<t<10 ist
[mm]v(t)=7t * e^{-0,1t}[/mm]
Dabei bezeichnet v die Maßzahl der in Meter pro Sekunde gemessenen Geschwindigkeit, t die Maßzahl der in Sekunden gemessenen Zeit. Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen, der t-Achse und der Geraden [mm]t=t_0[/mm] entspricht dem während der ersten [mm]t_0[/mm] Sekunden zurückgelegten Weg in Metern.
a) Berechnen Sie den Weg den das Fahrzeug in den ersten 10 Sekunden zurücklegt.
b) Ab dem Zeitpunkt [mm]t=10[/mm] wird das Fahrzeug bis zum Stillstand abgebremst. Dabei wird die Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Zeit durch eine lineare Funktion beschrieben.
Ermitteln Sie die Steigung dieser Funktion, wenn der Bremsweg 122,5 Meter beträgt. |
Also Aufgabenteil a war kein Problem für mich - den habe ich gelöst und muss von euch nicht beachtet werden.
Das Problem liegt bei Aufgabenteil b.
Also ich habe die Idee das mit so ansetzen könnte:
[mm] \int_{10}^{p} {mx+b}\, [/mm] dx = 122,5
Dabei wüsste man noch, dass [mm]p[/mm] die Nullstelle von [mm]y=mx + b[/mm] sein muss, die dementsprechend [mm]\bruch{-b}{m}[/mm] wäre.
Außerdem gibt es einen gemeinsamen Punkt von [mm]v(t)[/mm] und [mm]y[/mm], nämlich [mm]v(10)[/mm].
Ausgerechnet bekommt man dann also [mm]v(10)=70e^{-1}[/mm]
Doch wie komme ich denn jetzt zu m oder b?
Ich habe zwar einige Informationen, allerdings bin ich noch zu keinem Ergebnis gekommen.
Danke im vorraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Di 05.02.2008 | | Autor: | tobbi |
Hallo bOernY,
zunächst einmal: deine Idee scheint zwar richtig, aber man kann auch mit Starfightern auf Spatzen schießen, um das mal so auszudrücken!!
Du hast während des Bremsprozesses einen linearverlaufenden Graphen also eine recht simple Fläche, um nicht zusagen: ein Dreieck. Nun sicherlich kann man den Flächeninhalt (also die zurückgelegte Strecke) mittels eines Integrals bestimmen, bei einer so einfachen Figur ist das allerdings unnötig! (und macht die Sache hier nur unnötig schwierig)
Bekannt sind ist [mm] v_{bremsanfang}=70\cdot e^{-1} \approx [/mm] 25,75; ferner [mm] v_{bremsende}=0, [/mm] sowie die Strecke s=122,5.
Da gilt [mm] s=A_{Dreieck}=\bruch{1}{2}(y_{bremsanfang}-y_{bremsende})\cdot [/mm] t mit t:= während des Bremsens vergehende Zeit lässt sich t direkt ermitteln.
Du kennst dann sowohl die Zeit- als auch die Geschwindigkeitsdifferenz, brauchst also nur noch........
Schöne Grüße
Tobbi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Di 05.02.2008 | | Autor: | bOernY |
Also sei mir nicht böse, aber ich habe Physik nach der 10 abgewählt und kann mit dem was du mir sagst zwar rein sachlich etwas anfangen nur krieg ich es grad garnicht in einen Zusammenhang um eine Rechnung zu erstellen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 Di 05.02.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Willkommen im Club ;)
Das Dreieck wird begrenzt durch:
A(10|0), [mm] B(10|\bruch{70}{e}), [/mm] C(a|0), wobei a dann die Nullstelle der linearen Funktion wäre.
Nun weißt du, dass das Dreieck einen Flächeninhalt von 122,5m haben soll. Wie lang muss also dann die Seite sein, die auf der x-Achse liegt?
Da das Dreieck rechtwinklig ist:
[mm] A=\bruch{1}{2}*\bruch{70}{e}*(a-10)=122,5
[/mm]
Damit hast du a raus, deinen Punkt C, und kannst den Anstieg der Geraden durch B und C bestimmen.
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