Anzahl Nullstellen mit Rouche < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:15 Sa 11.11.2006 | | Autor: | pheips |
| Aufgabe | Gefragt sind die Nullstellen des Polynoms
[mm]2z^4+3z^3+iz+1[/mm]
in dem Gebiet:
[mm]{z \in \mathbb C : \mid z \mid< 1 }[/mm] |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=42996
Der Satz von Rouche besagt nun, dass wenn f(z) und g(z) in einem Gebiet analytisch sind und eine Kurve ganz in diesem Gebiet liegt und desweiteren
[mm] \mid f(z)-g(z) \mid < \mid f(z) \mid[/mm]
gilt für alle Elemente die auf der Kruve liegen, dann haben f(z) und g(z) die selbe Anzahl an Nullstellen im Inneren der Kurve.
Also möchte ich den Satz von Rouche anwenden, wobei ich die geschloßene Kurve
[mm]\mid z \mid= 1 [/mm]
verwende und die Hilfsfunktionen
[mm]f(z) = z^3(2z+3)[/mm]
[mm]g(z) = 2z^4+3z^3+iz+1[/mm]
Es gilt nun eben zu zeigen, dass
[mm]\mid z^3(2z+3) -(2z^4+3z^3+iz+1) \mid < \mid z^3(2z+3) \mid[/mm]
also
[mm]\mid -iz-1 \mid < \mid z^3(2z+3) \mid[/mm]
Allerdings wenn ich z = -1 setze, erhalte ich
[mm]\mid i-1 \mid < \mid (-1)^3(2(-1)+3) \mid[/mm]
[mm]\sqrt{2} < 1[/mm]
^^wo happerts da. Es sollte nämlich mithilfe Satzes von Rouche lösbar sein.
Dank im voraus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 15.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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