Anzahl Surjektiver Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN. [/mm] Betrachte alle surjektiven Abbildungen
f: {1,2,..,n} -> {1,2,..,n}
Wie viele gibt es? (mit Beweis) |
Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich hier etwas zu papier bekommen soll.
Meine Überlegung:
Ich denke, dass die Anzahl der surjektiven Abbildungen von n abhängig ist.
Surjektiv heiß ja, dass jeder Wert {1,2,...,n}(y) mindesteins Einmal von f:{1,2,..,n}(f(x)) getroffen wird.
Nunkann ich ja sagen
1->1
2->2
...n->n
soweit so gut. nun kann doch aber auch 2->1 1->2 usw treffen und dann habe ich doch eine Abhängigkeit von n oder nicht?
Auch fällt mir auf, dass bei meiner überlegung alle Abbildungen nicht nur surjektiv sondern bijektiv sind.
ihr seht, ich bin mal wieder total verwirrt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 Mi 27.10.2010 | | Autor: | wauwau |
Du hast recht - f:A->B surjektiv, und |A|=|B| endlich ist surjektiv gleich bijektiv.
Anzahl der surejktiven Abbildung ist dann gleich die Anzahl der Permutationen von {1,...n} und die ist gleich n! (Fakultät)
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Nur schade, dass wir bis heute noch nichts von Permutationen oder ähnlichem in der Vorlesung gehört haben... Muss ich sowas aus der Schule kennen?
Kannst du mir ggf. einen sinnvollen Link oder Literaurtipp nennen, in dem ich mich dazu belesen kann?
Ich werde einfach meine gedanken aufschreiben und schauen, ob es dafür 1-2 Punke gibt... :)
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Mi 27.10.2010 | | Autor: | wauwau |
jede surj Abbildung kannst du ja durch ein n-tupel beschreiben
$(f(1),f(2),...f(n))$
daher gibt es für $f(1)$n verschiedene Funktionswerte für $f(2)$ n-1 verschiedene Möglichkeiten,, für $f(n-1)$ 2 versch. F-werte und für $f(n)$ bleibt dann nur mehr ein Wert übrigt
Insgesamt sind das dann:
$n.(n-1).(n-2).....3.2.1$ verschiedene Abbildungen
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