Anzahl der Nullstellen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Di 05.02.2008 | | Autor: | oli_k |
edit1:
Stop!
Habe gerade ebene einen Fehler entdeckt, ich muss die 2 noch mal 8a³ nehmen... Mal gucken, ob das was ändert... Ich meld mich nachher nochmal!
edit2:
Ich erhalte am Ende [mm] 16(a^4-a^3)<0, [/mm] also a<1, das passt! Mal gucken, wie es jetzt weitergeht...
Originaltext:
Hallo,
ich sitze jetzt schon lange davor und finde meinen verdammten Fehler nicht...
Es geht um die Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{8a³}*(x^4-8a²x²)+2
[/mm]
Zu bestimmen ist die Anzahl der Nullstellen je nach a. Meinem GTR entnehme ich, dass für a=0 nicht definiert, für a>1 vier Nullstellen, für a=1 zwei Nullstellen, für 0<a<1 keine Nullstelle, für a<0 zwei Nullstellen. Dies ist nun noch mathematisch zu belegen, also habe ich zuerst mal gleich 0 gesetzt und nach x aufgelöst:
[mm] x^4-8a²x²+2=0 [/mm] Subst.: x²=z
$z²-8a²z+2=0$
[mm] (z-4a²)²+2-16a^4=0
[/mm]
[mm] (z-4a²)=16a^4-2
[/mm]
[mm] z-4a²=\pm\wurzel{16a^4-2}
[/mm]
[mm] x²=\pm\wurzel{16a^4-2}+4a²
[/mm]
[mm] x=\pm\wurzel{\pm\wurzel{16a^4-2}+4a²}
[/mm]
So... jetzt nehme ich mir zuerst die innere Wurzel vor, wenn deren Inhalt <0 ist, gibt es keien Nullstelle, wenn deren Inhalt [mm] \ge0 [/mm] ist, gibt es mindestens eine, da 4a² stets >0.
Jetzt müsste eigentlich rauskommen, dass die innere Wurzel ab a=1 größer oder gleich 0 ist, aber ich erhalte schon ab [mm] a\approx0,595 [/mm] ein Ergebnis größer 0.
Wo ist hier mein Fehler?
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:12 Di 05.02.2008 | | Autor: | oli_k |
So,
ich habe jetzt bewiesen, dass
für a<1 keine Nullstelle, da Wurzel von negativer Zahl.
für a=1 zwei Nullstellen, da das innere Plusminus wegfällt und somit nur noch zwei Möglichkeiten bleiben.
für a>1 vier Nullstellen, da beide Plusminus bestehen bleiben und ich vier Varianten kombinieren kann.
Wie bekomme ich hier jetzt noch mit rein, dass für a<0 zwei Nullstellen bestehen? Muss ich mir auch noch den Fall angucken, dass [mm] -\wurzel{16(a^4-a^3)}+4a²=0 [/mm] ist?
Gibt es vielleicht eine bessere Methode für solche Aufgabenstellungen?
Danke und sorry an abakus, den ich wohl zwei mal bei seinen Rechnungen unterbrochen habe...
Oli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Di 05.02.2008 | | Autor: | abakus |
Ich möchte zu bedenken geben, dass aus
[mm] 16(a^4-a^3)<0 [/mm] NICHT folgt a<1, sondern 0<a<1. Ändert das was an deiner Lösung?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Di 05.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
danke, das ist eigentlich logisch, aber was ist mathematisch gesehen an der Umformung
[mm] 16(a^4-a^3)<0
[/mm]
[mm] a^4-a^3<0
[/mm]
[mm] a^4
a<1
falsch? Ich vermute mal, ich muss beim durch [mm] a^3 [/mm] teilen noch eingrenzen, ob [mm] a^3 [/mm] positiv oder negativ ist:
für positive a: a<1 -> 0<a<1
für negative a: a>1 -> Widerspruch
Ist das so korrekt?
Jetzt muss ich nur noch herausfinden, wie ich darauf komme, dass es für a<0 zwei Lösungen gibt. M.Rex' Lösung scheint mir da einfacher als meine, da die wohl universeller ist. Die werde ich dann wohl mal probieren, es sei denn, jemand erkennt bei mir, was im Term noch wegfallen kann, damit ich zwei Nullstellen habe für negative a.
Danke,
Oli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Di 05.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
> danke, das ist eigentlich logisch, aber was ist
> mathematisch gesehen an der Umformung
>
> [mm]16(a^4-a^3)<0[/mm]
> [mm]a^4-a^3<0[/mm]
> [mm]a^4
> a<1
>
> falsch? Ich vermute mal, ich muss beim durch [mm]a^3[/mm] teilen
> noch eingrenzen, ob [mm]a^3[/mm] positiv oder negativ ist:
> für positive a: a<1 -> 0<a<1
> für negative a: a>1 -> Widerspruch
> Ist das so korrekt?
So isses!
>
> Jetzt muss ich nur noch herausfinden, wie ich darauf komme,
> dass es für a<0 zwei Lösungen gibt. M.Rex' Lösung scheint
> mir da einfacher als meine, da die wohl universeller ist.
> Die werde ich dann wohl mal probieren, es sei denn, jemand
> erkennt bei mir, was im Term noch wegfallen kann, damit ich
> zwei Nullstellen habe für negative a.
>
> Danke,
> Oli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Di 05.02.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
[mm] \bruch{1}{8a³}\cdot{}(x^4-8a²x²)+2=0
[/mm]
[mm] \gdw x^{4}-8a²x²+16a³=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 0=z²-8a²z+16a³
[mm] \gdw z_{1;2}=4a²\pm\wurzel{16a^{4}-16a³}=4a²\pm4\wurzel{a^{4}-a³}
[/mm]
Das heisst, es gibt jetzt vier mögliche Lösungen für x
[mm] x_{1}=\wurzel{4a²+4\wurzel{a^{4}-a³}}
[/mm]
[mm] x_{2}=-\wurzel{4a²+4\wurzel{a^{4}-a³}}
[/mm]
[mm] x_{3}=\wurzel{4a²-4\wurzel{a^{4}-a³}}
[/mm]
[mm] x_{4}=-\wurzel{4a²-4\wurzel{a^{4}-a³}}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Di 05.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Ok, danke!
Ich glaube, die Lösung für negative a hab ich jetzt auch:
Da [mm] -\wurzel{16(a^4-a^3)}+4a² [/mm] stets <0 ist, fällt die negative innere Wurzel weg, es bleibt also nur noch die positive. Letztendlich bleibt also nur das äußere Plusminus und ich hab damit zwei Lösungen. Stimmt's?
Bin dann jetzt erstmal weg, bis später. Danke schonmal!
Oli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 Do 07.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Oli!
Das sieht gut aus! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Etwas deutlicher wird es vielleicht, wenn man wie folgt umformt:
[mm] $$x_{1/2/3/4} [/mm] \ = \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \wurzel{4a^2 \ \pm \ \wurzel{16a^4-16a^3 \ } \ } [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \pm [/mm] \ 2a [mm] *\wurzel{1 \ \pm \ \wurzel{1-\bruch{1}{a} \ } \ }$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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