Anzahl der Nullstellstellen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 Sa 14.03.2015 | | Autor: | neuer222 |
Hallo,
[mm]\mathbb{R}[t], \mathbb{C}[t][/mm] sind Mengen der Polynome. Ist [mm]f \in \mathbb{R}[t][/mm] und [mm]\lambda \in \mathbb{C}[/mm] eine Nullstelle von [mm]f[/mm], so ist auch die konjugiert komplexe Zahl [mm]\overline{\lambda} \in \mathbb{C}[/mm] eine Nullstelle von [mm]f[/mm].
Und zweitens gilt [mm]u(f;\lambda)=u(f;\overline{\lambda})[/mm], wobei [mm]u(f;\lambda):=max\{r \in \mathbb{N}: f = (t - \lambda )^r \cdot g \}[/mm].
Den Beweis des ersten Teils verstehe ich. Für den Beweis des zweiten Teils habe ich folgendes stehen:
"Um die Vielfachheiten von [mm]\lambda[/mm] und [mm]\overline{\lambda}[/mm] zu vergleichen, genügt es für jedes [mm]k \in \mathbb{R}[/mm]
[mm]u(f;\lambda) \ge k \Rightarrow u(f;\overline{\lambda}) \ge k[/mm] zu beweisen."
Kann mir das bitte jemand Erklären? Warum muss ich das zeigen?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.gute-mathe-fragen.de/217676/anzahl-der-mehrfachen-nullstellen-ermitteln
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:24 Sa 14.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> [mm]\mathbb{R}[t], \mathbb{C}[t][/mm] sind Mengen der Polynome. Ist [mm]f \in \mathbb{R}[t][/mm] und [mm]\lambda \in \mathbb{C}[/mm] eine Nullstelle von [mm]f[/mm], so ist auch die konjugiert komplexe Zahl [mm]\overline{\lambda} \in \mathbb{C}[/mm] eine Nullstelle von [mm]f[/mm].
>
> Und zweitens gilt [mm]u(f;\lambda)=u(f;\overline{\lambda})[/mm], wobei [mm]u(f;\lambda):=max\{r \in \mathbb{N}: f = (t - \lambda )^r \cdot g \}[/mm].
>
> Den Beweis des ersten Teils verstehe ich. Für den Beweis des zweiten Teils habe ich folgendes stehen:
>
> "Um die Vielfachheiten von [mm]\lambda[/mm] und [mm]\overline{\lambda}[/mm] zu vergleichen, genügt es für jedes [mm]k \in \mathbb{R}[/mm]
>
> [mm]u(f;\lambda) \ge k \Rightarrow u(f;\overline{\lambda}) \ge k[/mm] zu beweisen."
>
> Kann mir das bitte jemand Erklären? Warum muss ich das zeigen?
das ist kein MUSS, sondern da steht, dass es HINREICHEND ist, das zu beweisen!
Bei der Definition von [mm] $u(f;\lambda)$ [/mm] sollte aber auch noch etwss mehr über [mm] $g\,$
[/mm]
gesagt werden - steht da $g [mm] \in \IR[/mm] [t]$ dabei?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:31 Sa 14.03.2015 | | Autor: | neuer222 |
>das ist kein MUSS, sondern da steht, dass es HINREICHEND ist, das zu beweisen!
Ja, wahrscheinlich habe ich ein falsches Wort benutzt. Es ist so wie Du das sagst. Meine Frage ist, warum ist es hinreichend.
>Bei der Definition von $ [mm] u(f;\lambda) [/mm] $ sollte aber auch noch etwss mehr über $ [mm] g\, [/mm] $ gesagt werden - steht da $g $ [mm] \in \IR [/mm] $ [t]$ dabei?
Ja.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:57 So 15.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> [mm]\mathbb{R}[t], \mathbb{C}[t][/mm] sind Mengen der Polynome. Ist [mm]f \in \mathbb{R}[t][/mm] und [mm]\lambda \in \mathbb{C}[/mm] eine Nullstelle von [mm]f[/mm], so ist auch die konjugiert komplexe Zahl [mm]\overline{\lambda} \in \mathbb{C}[/mm] eine Nullstelle von [mm]f[/mm].
>
> Und zweitens gilt [mm]u(f;\lambda)=u(f;\overline{\lambda})[/mm], wobei [mm]u(f;\lambda):=max\{r \in \mathbb{N}: f = (t - \lambda )^r \cdot g \}[/mm].
>
> Den Beweis des ersten Teils verstehe ich. Für den Beweis des zweiten Teils habe ich folgendes stehen:
>
> "Um die Vielfachheiten von [mm]\lambda[/mm] und [mm]\overline{\lambda}[/mm] zu vergleichen, genügt es für jedes [mm]k \in \mathbb{R}[/mm]
>
> [mm]u(f;\lambda) \ge k \Rightarrow u(f;\overline{\lambda}) \ge k[/mm] zu beweisen."
>
> Kann mir das bitte jemand Erklären? Warum muss ich das zeigen?
wir haben ja nun meine Rückfragen geklärt. Zu der Aufgabe habe ich folgende
Vermutung:
Wenn
[mm] $u(f;\lambda) \ge [/mm] k$ [mm] $\Longrightarrow$ $u(f;\overline{\lambda}) \ge [/mm] k$
für alle [mm] $k\,$ [/mm] gilt, dann gilt das auch für [mm] $k=u(f;\overline{\lambda}),$ [/mm] d.h. es folgt
[mm] $u(f;\lambda) \ge u(f;\overline{\lambda})\,.$
[/mm]
Vertauscht man nun die Rollen [mm] $\lambda \longleftrightarrow \overline{\lambda},$ [/mm] so folgt zudem
[mm] $u(f;\overline{\lambda}) \ge u(f;\lambda)\,.$
[/mm]
P.S. Natürlich kann es auch sein, dass ich da einen Denkfehler habe.
Sorry, das war Unfug...
Hast Du vielleicht einen Link zum Skript? Ich bin auch gerade etwas aus
dieser Polynomnotation raus...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:06 So 15.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> [mm]\mathbb{R}[t], \mathbb{C}[t][/mm] sind Mengen der Polynome. Ist [mm]f \in \mathbb{R}[t][/mm] und [mm]\lambda \in \mathbb{C}[/mm] eine Nullstelle von [mm]f[/mm], so ist auch die konjugiert komplexe Zahl [mm]\overline{\lambda} \in \mathbb{C}[/mm] eine Nullstelle von [mm]f[/mm].
>
> Und zweitens gilt [mm]u(f;\lambda)=u(f;\overline{\lambda})[/mm], wobei [mm]u(f;\lambda):=max\{r \in \mathbb{N}: f = (t - \lambda )^r \cdot g \}[/mm].
>
> Den Beweis des ersten Teils verstehe ich. Für den Beweis des zweiten Teils habe ich folgendes stehen:
>
> "Um die Vielfachheiten von [mm]\lambda[/mm] und [mm]\overline{\lambda}[/mm] zu vergleichen, genügt es für jedes [mm]k \in \mathbb{R}[/mm]
>
> [mm]u(f;\lambda) \ge k \Rightarrow u(f;\overline{\lambda}) \ge k[/mm] zu beweisen."
>
> Kann mir das bitte jemand Erklären? Warum muss ich das zeigen?
nur mal als Alternative: Warum macht man nicht einen einfachen Induktions-
Beweis? Ich denke nicht, dass der besonders kompliziert wird.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:23 So 15.03.2015 | | Autor: | neuer222 |
Es handelt sich hier um Lineare Algebra, Fischer.
http://i.imgur.com/QYM2ZrQ.png
Die Implikation verstehe ich nicht, denn für z.B. [mm]u(f;\lambda) = 5[/mm] und [mm]u(f;\overline{\lambda}) = 6[/mm] ist die Implikation wahr, obwohl es keine Gleichheit existiert. Dafür müsste ich, denke ich, erst mal sicher stellen, dass die Vielfachheit von [mm]\overline{\lambda}[/mm] nicht größer ist als die von [mm]\lambda[/mm]. Das ist für mich aber überhaupt nicht offensichtlich.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:14 So 15.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> [mm]\mathbb{R}[t], \mathbb{C}[t][/mm] sind Mengen der Polynome. Ist [mm]f \in \mathbb{R}[t][/mm] und [mm]\lambda \in \mathbb{C}[/mm] eine Nullstelle von [mm]f[/mm], so ist auch die konjugiert komplexe Zahl [mm]\overline{\lambda} \in \mathbb{C}[/mm] eine Nullstelle von [mm]f[/mm].
>
> Und zweitens gilt [mm]u(f;\lambda)=u(f;\overline{\lambda})[/mm], wobei [mm]u(f;\lambda):=max\{r \in \mathbb{N}: f = (t - \lambda )^r \cdot g \}[/mm].
>
> Den Beweis des ersten Teils verstehe ich. Für den Beweis des zweiten Teils habe ich folgendes stehen:
>
> "Um die Vielfachheiten von [mm]\lambda[/mm] und [mm]\overline{\lambda}[/mm] zu vergleichen, genügt es für jedes [mm]k \in \mathbb{R}[/mm]
da steht sicher $k [mm] \in \IN$ [/mm] (daher auch mein Vorschlag mit Induktion!)
> [mm]u(f;\lambda) \ge k \Rightarrow u(f;\overline{\lambda}) \ge k[/mm] zu beweisen."
>
> Kann mir das bitte jemand Erklären? Warum muss ich das zeigen?
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
> http://www.gute-mathe-fragen.de/217676/anzahl-der-mehrfachen-nullstellen-ermitteln
Vielleicht kann man so argumentieren:
Wenn obiges bewiesen wurde, dann gilt wegen
[mm] $u(f;\lambda) \ge u(f;\lambda)$
[/mm]
auch
[mm] $u(f;\overline{\lambda}) \ge u(f;\lambda)$
[/mm]
und mit Rollentausch [mm] $\lambda \longleftrightarrow \overline{\lambda}$ [/mm] auch
[mm] $u(f;\overline{\overline{\lambda}})=u(f;\lambda) \ge u(f;\overline{\lambda}).$
[/mm]
Allerdings wäre dann der bessere Hinweis gewesen, dass es reicht
[mm] $u(f;\lambda) \le u(f;\overline{\lambda})$
[/mm]
zu zeigen. Daher weiß ich nicht, ob ich da etwas übersehe!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:35 So 15.03.2015 | | Autor: | neuer222 |
Ja, das war ein [mm]\mathbb{N}[/mm]. Leider verstehe ich Deine Schritte nicht ganz.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:44 So 15.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja, das war ein [mm]\mathbb{N}[/mm]. Leider verstehe ich Deine
> Schritte nicht ganz.
naja, wenn
[mm] $u(f;\lambda) \ge [/mm] k$ [mm] $\Longrightarrow$ $u(f;\overline{\lambda}) \ge [/mm] k$
(ich schreibe weiterhin [mm] $u\,,$ [/mm] eigentlich steht da [mm] $\mu$ ([nomm]$\mu$[/nomm]))
[/mm]
für alle $k [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, dann gilt diese Folgerung auch, wenn wir
[mm] $k:=u(f;\lambda)$
[/mm]
wählen. Für dieses [mm] $k\,$ [/mm] steht dann
[mm] $u(f;\lambda) \ge u(f;\lambda)$ $\Longrightarrow$ $u(f;\overline{\lambda}) \ge u(f;\lambda)$ [/mm]
da, und da
[mm] $u(f;\lambda) \ge u(f;\lambda)$ [/mm] wegen [mm] $u(f;\lambda)=u(f;\lambda)$
[/mm]
sicherlich wahr ist, ist dann klar, dass jedenfalls
[mm] $u(f;\overline{\lambda}) \ge u(f;\lambda)$ [/mm]
gilt.
Und vielleicht zeigt ja der Beweis von
für alle $k [mm] \in \IN$ [/mm] gilt: [mm] $u(f;\lambda) \ge [/mm] k$ [mm] $\Longrightarrow$ $u(f;\overline{\lambda}) \ge [/mm] k$
sofort, dass man auch einfach die Rollen von [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\overline{\lambda}$ [/mm] einander
vertauschen darf!
Dann bekäme man zudem
[mm] $u(f;\lambda) \ge u(f;\overline{\lambda})$,
[/mm]
insgesamt also
$ [mm] u(f;\overline{\lambda}) \ge u(f;\lambda) \ge u(f;\overline{\lambda})\,,$
[/mm]
so dass bei der letzten Ungleichungskette überall [mm] $=\,$ [/mm] geschrieben werden darf
(denn $a [mm] \le [/mm] b [mm] \le [/mm] a$ [mm] $\Longrightarrow$ [/mm] $a=b$).
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:56 So 15.03.2015 | | Autor: | neuer222 |
Vielleicht frage ich nochmal bisschen anders. Kannst Du begründen, dass die Vielfachheit von [mm]\overline{\lambda}[/mm] nicht größer ist als die Vielfachheit von [mm]\lambda[/mm]? Wenn nicht, dann macht die Implikation meiner Meinung nach wenig sind, denn für [mm]u(f;\lambda) = 5[/mm] und [mm]u(f;\overline{\lambda}) = 6[/mm] ist sie wahr und an dieser Stelle sollte Sie falsch sein.
Den vollständigen Beweis habe ich schon mal kopiert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:09 So 15.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielleicht frage ich nochmal bisschen anders. Kannst Du
> begründen, dass die Vielfachheit von [mm]\overline{\lambda}[/mm]
> nicht größer ist als die Vielfachheit von [mm]\lambda[/mm]?
diese Frage ist doch sehr unsinnig an dieser Stelle; schließlich ist das doch
gerade die Aussage, die es insgesamt zu beweisen gilt. (Okay, das stimmt
nicht ganz: Es ist ein Teil der Aussage!)
> Wenn nicht, dann macht die Implikation meiner Meinung nach wenig
> sind, denn für [mm]u(f;\lambda) = 5[/mm] und
> [mm]u(f;\overline{\lambda}) = 6[/mm] ist sie wahr und an dieser
> Stelle sollte Sie falsch sein.
Das ist auch Quatsch. Die Implikation
[mm] $\mu(f;\lambda) \ge [/mm] k$ [mm] $\Longrightarrow$ $\mu(f,\overline{\lambda}) \ge [/mm] k$
gilt für
[mm] $\mu(f;\lambda)=\mu(f;\overline{\lambda})$
[/mm]
sicherlich immer. Du verwechselst gerade die Bedeutung von "notwendig"
und "hinreichend".
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:15 So 15.03.2015 | | Autor: | neuer222 |
> Hallo,
>
> > Vielleicht frage ich nochmal bisschen anders. Kannst Du
> > begründen, dass die Vielfachheit von [mm]\overline{\lambda}[/mm]
> > nicht größer ist als die Vielfachheit von [mm]\lambda[/mm]?
>
> diese Frage ist doch sehr unsinnig an dieser Stelle;
> schließlich ist das doch
> gerade die Aussage, die es insgesamt zu beweisen gilt.
> (Okay, das stimmt
> nicht ganz: Es ist ein Teil der Aussage!)
>
Ja, das stimmt, diese Aussage wird bewiesen. Aber meine Frage ist, warum soll ich diese Aussage beweisen? Warum bekomme ich durch Beweis dieser Aussage die Gleichheit der Vielfachheit der komplexen Zahl und der konjugierten?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:32 So 15.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Vielleicht frage ich nochmal bisschen anders. Kannst Du
> > > begründen, dass die Vielfachheit von [mm]\overline{\lambda}[/mm]
> > > nicht größer ist als die Vielfachheit von [mm]\lambda[/mm]?
> >
> > diese Frage ist doch sehr unsinnig an dieser Stelle;
> > schließlich ist das doch
> > gerade die Aussage, die es insgesamt zu beweisen gilt.
> > (Okay, das stimmt
> > nicht ganz: Es ist ein Teil der Aussage!)
> >
> Ja, das stimmt, diese Aussage wird bewiesen. Aber meine
> Frage ist, warum soll ich diese Aussage beweisen? Warum
> bekomme ich durch Beweis dieser Aussage die Gleichheit der
> Vielfachheit der komplexen Zahl und der konjugierten?
ich habe dazu doch schon dreimal meine Vermutung geschrieben (weil ich
mir da aber selbst nicht ganz sicher bin - und zwar eigentlich nur bei dem
Teil, wo es um den Rollentausch geht - habe ich aber mal Fred angeschrieben;
vielleicht korrigiert er mich ja noch):
Also nochmal:
Ich schreibe mal [mm] $a:=u(f;\lambda) \in \IN$ [/mm] und [mm] $b:=u(f;\overline{\lambda}) \in \IN$.
[/mm]
Wenn für jedes natürliche [mm] $k\,$ [/mm] gilt
(1) Aus $a [mm] \ge [/mm] k$ folgt schon $b [mm] \ge k\,,$
[/mm]
dann muss auch
$b [mm] \ge [/mm] a$
gelten. Denn:
Weil $a [mm] \in \IN$ [/mm] ist, können wir $k:=a$ setzen. Dann geht
(1) Aus $a [mm] \ge [/mm] k$ folgt schon $b [mm] \ge k\,,$
[/mm]
über in
(2) Aus $a [mm] \ge [/mm] k=a$ folgt schon $b [mm] \ge a=k\,.$
[/mm]
Und das Wichtige ist: Die Aussage $a [mm] \ge [/mm] a$ ist wegen [mm] $a=a\,$ [/mm] wahr, so dass
wir mit diesem Wissen und der Wahrheit von (2) dann WISSEN, dass $a [mm] \le [/mm] b$ sein
muss!
Ist Dir klar, dass
$A [mm] \Longrightarrow [/mm] B$
nichts anderes als [mm] $(\neg [/mm] A) [mm] \vee [/mm] B$ bedeutet? Eine Implikation $A [mm] \Longrightarrow [/mm] B$ ist also
eine Aussage, die man beweisen kann.
Wenn ich nun eine Aussage [mm] $B\,$ [/mm] beweisen will, so bringt es mir nichts, wenn
ich nur die Implikation
$A [mm] \Longrightarrow [/mm] B$
bewiesen habe. Ich muss zudem auch wissen, dass [mm] $A\,$ [/mm] wahr ist, um am Ende
so einzusehen, dass [mm] $B\,$ [/mm] wahr sein muss.
Irgendwas in der Richtung scheinst Du mir jedenfalls hier durcheinanderzuwerfen
(ist aber nichts untypisches).
Allgemein habe ich dazu
hier
mal etwas geschrieben gehabt.
Zur Demonstration: Die Aussage
($-3 > 5$) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ($9 > 25$)
ist wahr; und natürlich ist dabei $9 > [mm] 25\,$ [/mm] Quatsch.
Dass
($-3 > 5$) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ($9 > 25$)
wahr ist, ist einfach:
Aussage A: $-3 > [mm] 5\,$
[/mm]
Aussage B: $9 > 25$
Da [mm] $A\,$ [/mm] falsch ist, ist [mm] $(\neg [/mm] A)$ wahr und damit auch
[mm] $(\neg [/mm] A) [mm] \vee B\,.$
[/mm]
Übrigens wäre auch die Folgerung
($-3 > 5$) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ($9 < [mm] 25\,$)
[/mm]
korrekt.
Das ist ein Beispiel für das, was man in "Aus Falschem folgt alles!" ausdrückt!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:05 So 15.03.2015 | | Autor: | neuer222 |
Ich verstehe was Du machst, aber ich finde, damit zeigst Du überhaupt nicht, dass man die Gleichheit bekommt.
Du müsstest zeigen, dass
Wenn [mm]u(f;\lambda) \ge k \Rightarrow u(f;\overline{\lambda}) \ge k[/mm] für alle [mm]k \in \mathbb{N}[/mm], dann [mm]u(f;\lambda) = u(f;\overline{\lambda})[/mm] (Vereinfach "wenn A, dann B").
Denn, wenn das so ist, dann können wir einfach nur die Prämisse mithilfe der vollständigen Induktion beweisen und schon muss die Konklusion wahr sein also [mm]u(f;\lambda) = u(f;\overline{\lambda})[/mm].
Ich kann ein einfaches Gegenbeispiel nennen, bei dem die Implikation nicht gilt [mm]u(f;\lambda) = 5[/mm] und [mm]u(f;\overline{\lambda}) =6 [/mm]. In dem Fall ist A wahr und B falsch also unsere gesamte Implikation falsch und genau das wollen wir nicht haben. Deswegen müssten wir die Prämisse irgendwie einschränken, damit unsere Implikation wahr wird. Die Implikation wird wahr, wenn [mm]\overline{\lambda}[/mm] nicht mehr Vielfachheiten hätte als die Anzahl der Vielfachheiten von [mm]\lambda[/mm], denn in solchen Fällen würden Fälle wie in meinem Gegenbeispiel gar nicht existieren können und somit würde die Implikation wahr sein.
Erstens weiß ich nicht wie ich begründen kann, dass [mm]\overline{\lambda}[/mm] nicht mehr Vielfachheiten hat als [mm]\lambda[/mm], zweitens kann sein, dass ich hier ein einen Denkfehler habe. Wenn ja, wo? Und drittens, es kann sein, dass es anders / einfacher geht.
Jetzt bin ich schlafen. Ich hoffe die Diskussion geht "morgen" noch weiter.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 So 15.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich verstehe was Du machst, aber ich finde, damit zeigst Du
> überhaupt nicht, dass man die Gleichheit bekommt.
ich verstehe Dein Problem nicht!
> Du müsstest zeigen, dass
> Wenn [mm]u(f;\lambda) \ge k \Rightarrow u(f;\overline{\lambda}) \ge k[/mm]
> für alle [mm]k \in \mathbb{N}[/mm], dann [mm]u(f;\lambda) = u(f;\overline{\lambda})[/mm]
> (Vereinfach "wenn A, dann B").
Auf genau das läuft es doch hinaus.
> Denn, wenn das so ist, dann können wir einfach nur die
> Prämisse mithilfe der vollständigen Induktion beweisen
> und schon muss die Konklusion wahr sein also [mm]u(f;\lambda) = u(f;\overline{\lambda})[/mm].
>
> Ich kann ein einfaches Gegenbeispiel nennen, bei dem die
> Implikation nicht gilt [mm]u(f;\lambda) = 5[/mm] und
> [mm]u(f;\overline{\lambda}) =6 [/mm]. In dem Fall ist A wahr und B
> falsch also unsere gesamte Implikation falsch und genau das
> wollen wir nicht haben. Deswegen müssten wir die Prämisse
> irgendwie einschränken, damit unsere Implikation wahr
> wird. Die Implikation wird wahr, wenn [mm]\overline{\lambda}[/mm]
> nicht mehr Vielfachheiten hätte als die Anzahl der
> Vielfachheiten von [mm]\lambda[/mm], denn in solchen Fällen würden
> Fälle wie in meinem Gegenbeispiel gar nicht existieren
> können und somit würde die Implikation wahr sein.
>
> Erstens weiß ich nicht wie ich begründen kann, dass
> [mm]\overline{\lambda}[/mm] nicht mehr Vielfachheiten hat als
> [mm]\lambda[/mm], zweitens kann sein, dass ich hier ein einen
> Denkfehler habe. Wenn ja, wo? Und drittens, es kann sein,
> dass es anders / einfacher geht.
>
> Jetzt bin ich schlafen. Ich hoffe die Diskussion geht
> "morgen" noch weiter.
Ist es jetzt klar? Hippias hat ja erklärt, warum sowohl
für alle natürlichen [mm] $k\,$ [/mm] gilt: [mm] $\mu(f;\lambda) \ge [/mm] k$ [mm] $\Longrightarrow$ $\mu(f;\overline{\lambda}) \ge [/mm] k$
auch
für alle natürlichen [mm] $k\,$ [/mm] gilt: [mm] $\mu(f;\overline{\lambda}) \ge [/mm] k$ [mm] $\Longrightarrow$ $\mu(f;\lambda) \ge [/mm] k$
impliziert. Damit kommt man schlussendlich zu
[mm] $\mu(f;\overline{\lambda}) \ge \mu(f;\lambda) \ge \mu(f;\overline{\lambda})$
[/mm]
und ist fertig.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 So 15.03.2015 | | Autor: | neuer222 |
Der Rest ist ja ein Kinderspiel. Mir hat irgendwie die Information gefehlt, dass ich [mm]u(f;\overline{\lambda}) \ge k \Rightarrow u(f;\lambda) \ge k[/mm] benutzen darf. Das folgt aus [mm] u(f;\overline{\overline{\lambda}})=u(f;\lambda). [/mm]. Die Gleichung hast Du auch ja erwähnt. Mir war irgendwie nicht ganz klar worauf Du hinaus wolltest. Vielleicht hätte ich besser lesen sollen. Zum Glück hat sich alles schon geklärt :).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 So 15.03.2015 | | Autor: | hippias |
Ich setze folgendes als wahr voraus:
Fuer alle Polynome $f$ und alle [mm] $\lambda$ [/mm] und alle [mm] $k\in \IN$ [/mm] gilt. wenn [mm] $u(f,\lambda)\geq [/mm] k$, dann ist [mm] $u(f,\bar{\lambda})\geq [/mm] k$.
1. Schussfolgerung. Es gilt ebenso die Umkehrung: wenn [mm] $u(f,\bar{\lambda})\geq [/mm] k$, dann ist [mm] $u(f,\lambda)\geq [/mm] k$.
Beweis: Sei [mm] $u(f,\bar{\lambda})\geq [/mm] k$. Nach Voraussetzung gilt dann auch [mm] $u(f,\bar{\bar{\lambda}})\geq [/mm] k$. Da [mm] $\bar{\bar{\lambda}}= \lambda$ [/mm] ist, gilt die behauptete Umkehrung.
2. Schlussfolgerung. Es ist [mm] $u(f,\lambda)=u(f,\bar{\lambda})$.
[/mm]
Beweis: Angenommen es waere [mm] $u(f,\lambda)
Versuche nun selbst die Annahme [mm] $u(f,\lambda)>u(f,\bar{\lambda})$ [/mm] zum Widerspruch zu fuehren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 So 15.03.2015 | | Autor: | neuer222 |
> 1. Schussfolgerung. Es gilt ebenso die Umkehrung: wenn
> [mm]u(f,\bar{\lambda})\geq k[/mm], dann ist [mm]u(f,\lambda)\geq k[/mm].
>
> Beweis: Sei [mm]u(f,\bar{\lambda})\geq k[/mm]. Nach Voraussetzung
> gilt dann auch [mm]u(f,\bar{\bar{\lambda}})\geq k[/mm]. Da
> [mm]\bar{\bar{\lambda}}= \lambda[/mm] ist, gilt die behauptete
> Umkehrung.
Hallo,
warum [mm]\lambda = \overline{\lambda}[/mm]? Es ist im allgemeinen, denke ich, nicht richtig, denn [mm]\lambda = \overline{\lambda}[/mm] müssten die Form [mm](x,0)[/mm] haben und woher weißt Du, dass es in der Tat so ist?
Außerdem verstehe ich nicht warum Du das machst, denn wenn Du weißt, dass [mm]\lambda = \overline{\lambda}[/mm], dann brauchst Du den Rest nicht mehr, denn dann ist offensichtlich [mm]u(f;\lambda) = u(f;\overline{\lambda})[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 So 15.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> > 1. Schussfolgerung. Es gilt ebenso die Umkehrung: wenn
> > [mm]u(f,\bar{\lambda})\geq k[/mm], dann ist [mm]u(f,\lambda)\geq k[/mm].
> >
>
> > Beweis: Sei [mm]u(f,\bar{\lambda})\geq k[/mm]. Nach Voraussetzung
> > gilt dann auch [mm]u(f,\bar{\bar{\lambda}})\geq k[/mm]. Da
> > [mm]\bar{\bar{\lambda}}= \lambda[/mm] ist, gilt die behauptete
> > Umkehrung.
>
> Hallo,
>
> warum [mm]\lambda = \overline{\lambda}[/mm]?
Hippias schrieb: [mm]\lambda =\overline{ \overline{\lambda}}[/mm]
FRED
> Es ist im allgemeinen,
> denke ich, nicht richtig, denn [mm]\lambda = \overline{\lambda}[/mm]
> müssten die Form [mm](x,0)[/mm] haben und woher weißt Du, dass es
> in der Tat so ist?
>
> Außerdem verstehe ich nicht warum Du das machst, denn wenn
> Du weißt, dass [mm]\lambda = \overline{\lambda}[/mm], dann brauchst
> Du den Rest nicht mehr, denn dann ist offensichtlich
> [mm]u(f;\lambda) = u(f;\overline{\lambda})[/mm]
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 So 15.03.2015 | | Autor: | neuer222 |
Super! Es würde mir reichen [mm]\overline{\overline{\lambda}} = \lambda[/mm]. Genau das hat mir gefehlt. Danke schön :)!
Den Thread kann man jetzt als grün markieren.
PS: Es war schwer die Doppelstriche zu erkennen.
PPS: Da Hippias "bar" statt "overline" benutzt hat :).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:39 So 15.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Hippias,
> Ich setze folgendes als wahr voraus:
> Fuer alle Polynome [mm]f[/mm] und alle [mm]\lambda[/mm] und alle [mm]k\in \IN[/mm]
> gilt. wenn [mm]u(f,\lambda)\geq k[/mm], dann ist
> [mm]u(f,\bar{\lambda})\geq k[/mm].
>
> 1. Schussfolgerung. Es gilt ebenso die Umkehrung: wenn
> [mm]u(f,\bar{\lambda})\geq k[/mm], dann ist [mm]u(f,\lambda)\geq k[/mm].
>
> Beweis: Sei [mm]u(f,\bar{\lambda})\geq k[/mm]. Nach Voraussetzung
> gilt dann auch [mm]u(f,\bar{\bar{\lambda}})\geq k[/mm]. Da
> [mm]\bar{\bar{\lambda}}= \lambda[/mm] ist, gilt die behauptete
> Umkehrung.
>
> 2. Schlussfolgerung. Es ist
> [mm]u(f,\lambda)=u(f,\bar{\lambda})[/mm].
> Beweis: Angenommen es waere
> [mm]u(f,\lambda)
> ist, folgte aus der 1. Schlussfolgerung, dass auch
> [mm]u(f,\lambda)\geq u(f,\bar{\lambda})[/mm] waere; Widerspruch zur
> Annahme [mm]u(f,\lambda)
>
> Versuche nun selbst die Annahme
> [mm]u(f,\lambda)>u(f,\bar{\lambda})[/mm] zum Widerspruch zu
> fuehren.
ist bei diesem Weg irgendwas anders wie bei meinem Vorschlag? Klar, Du
führst einen Pseudowiderspruchsbeweis, aber im Endeffekt sehe ich da
jetzt nichts neues.
(Wir beide kommen so zu [mm] $\mu(f;\overline{\lambda})\ge \mu(f;\lambda) \ge \mu(f;\overline{\lambda})$; [/mm] und dass
[mm] ($\underbrace{a \le b\;\text{ und }\;b \le a}_{\text{d.h. }a \le b \le a}$) $\iff$ $a=b\,$
[/mm]
(insbesondere [mm] $\Longrightarrow$) [/mm]
gilt, sollte doch klar sein?)
P.S. Ist keine Kritik an Dir, ich frage mich nur, warum neuer222 mit Deiner
(fast identischen) Lösungsversion besser klarkommt. Wichtig in Deinem
ersten Satz ist übrigens dieses "für alle (komplexen) [mm] $\lambda$"; [/mm] ich war gestern
einfach zu faul, mir dahingehend Gedanken zu machen, ob das wirklich so
in der Aussage gemeint ist, daher auch der Hinweis, dass man einfach mal
in den Beweis gucken soll, ob man einfach die Rollen [mm] $\lambda \longleftrightarrow \overline{\lambda}$ [/mm] vertauschen
kann!
P.P.S. Ist übrigens auch nicht böse gegen neuer222 gemeint; mir geht es
nur darum, dass Du Dir vielleicht selbst klar machst, dass eigentlich mein
direkter Beweis identisch mit dem Widerspruchsbeweis von hippias ist, und
dass mein Weg dahingehend eigentlich *schneller* ist bzw. jedenfalls
wirkt.
Da meine Art des Beweisschemas eigentlich sehr oft benutzt wird: Sicher
kennst Du die Dreiecksungleichung
$|a+b| [mm] \le |a|+|b|\,,$
[/mm]
die auch für alle komplexen (also nicht nur reellen) [mm] $a,b\,$ [/mm] gilt.
Zeige mal
[mm] $|\;|a|\,-\,|b|\;| \le |a-b|\,.$
[/mm]
Mir geht es dabei hier nur um den Teil, wo Du siehst, dass aus einer
bewiesenen Ungleichung die andere schon *mit Rollentausch* folgt.
Ansonsten hat Dir vielleicht auch bei mir der Hinweis
$a [mm] \le [/mm] b [mm] \le [/mm] a$ [mm] $\Longrightarrow$ $a=b\,$
[/mm]
gefehlt? (Wobei da auch [mm] $\iff$ [/mm] geschrieben werden darf!)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:08 So 15.03.2015 | | Autor: | hippias |
Ich habe den Thread nur ueberflogen. Da er mir ziemlich lang fuer eine eigentlich triviale Aussage schien, hatte ich gehofft, dass meine Antwort etwas zur Aufklaerung beitragen kann.
Es ist mir auch schon aufgefallen, dass Antworten gelegentlich nicht sogleich als hilfreich wahrgenommen werden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:35 So 15.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo hippias,
> Ich habe den Thread nur ueberflogen. Da er mir ziemlich
> lang fuer eine eigentlich triviale Aussage schien, hatte
> ich gehofft, dass meine Antwort etwas zur Aufklaerung
> beitragen kann.
>
> Es ist mir auch schon aufgefallen, dass Antworten
> gelegentlich nicht sogleich als hilfreich wahrgenommen
> werden.
ja, das kann sein. Die Länge des Threads liegt im Wesentlich daran, dass
ich meine Antwort eigentlich dreimal wiederholt habe.
Mir ging' es nur darum, dass ich didaktisch ein Gespühr für die eventuell
noch vorhandene Problematik bekomme.
Aber im Endeffekt ist es jetzt nur noch wichtig, dass neuer222 nun alles
verstanden hat. 
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:42 Mo 16.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> [mm]\mathbb{R}[t], \mathbb{C}[t][/mm] sind Mengen der Polynome. Ist [mm]f \in \mathbb{R}[t][/mm] und [mm]\lambda \in \mathbb{C}[/mm] eine Nullstelle von [mm]f[/mm], so ist auch die konjugiert komplexe Zahl [mm]\overline{\lambda} \in \mathbb{C}[/mm] eine Nullstelle von [mm]f[/mm].
>
Noch eine Bemerkung:
> Und zweitens gilt [mm]u(f;\lambda)=u(f;\overline{\lambda})[/mm], wobei [mm]u(f;\lambda):=max\{r \in \mathbb{N}: f = (t - \lambda )^r \cdot g \}[/mm].
Das ist doch keine Definition für die Vielfachheit der Nullstelle !
Ist [mm] \lambda [/mm] eine Nullstelle von f, so gilt:
es ex. ein m [mm] \in \IN [/mm] und ein g [mm] \in \IC[/mm] [t] mit:
$f(t)=(t - [mm] \lambda )^m \cdot [/mm] g(t)$ und [mm] g(\lambda) \ne [/mm] 0.
Dann sind m und g eindeutig bestimmt und m heisst die Vielfachheit der Nullstelle [mm] \lambda [/mm] von f.
FRED
>
> Den Beweis des ersten Teils verstehe ich. Für den Beweis des zweiten Teils habe ich folgendes stehen:
>
> "Um die Vielfachheiten von [mm]\lambda[/mm] und [mm]\overline{\lambda}[/mm] zu vergleichen, genügt es für jedes [mm]k \in \mathbb{R}[/mm]
>
> [mm]u(f;\lambda) \ge k \Rightarrow u(f;\overline{\lambda}) \ge k[/mm] zu beweisen."
>
> Kann mir das bitte jemand Erklären? Warum muss ich das zeigen?
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
> http://www.gute-mathe-fragen.de/217676/anzahl-der-mehrfachen-nullstellen-ermitteln
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:37 Mo 16.03.2015 | | Autor: | neuer222 |
> > Hallo,
> >
> > [mm]\mathbb{R}[t], \mathbb{C}[t][/mm] sind Mengen der Polynome. Ist [mm]f \in \mathbb{R}[t][/mm] und [mm]\lambda \in \mathbb{C}[/mm] eine Nullstelle von [mm]f[/mm], so ist auch die konjugiert komplexe Zahl [mm]\overline{\lambda} \in \mathbb{C}[/mm] eine Nullstelle von [mm]f[/mm].
> >
>
>
> Noch eine Bemerkung:
>
> > Und zweitens gilt [mm]u(f;\lambda)=u(f;\overline{\lambda})[/mm], wobei [mm]u(f;\lambda):=max\{r \in \mathbb{N}: f = (t - \lambda )^r \cdot g \}[/mm].
>
> Das ist doch keine Definition für die Vielfachheit der Nullstelle !
>
> Ist [mm]\lambda[/mm] eine Nullstelle von f, so gilt:
>
> es ex. ein m [mm]\in \IN[/mm] und ein g [mm]\in \IC[/mm] [t]mit:
>
> [mm]f(t)=(t - \lambda )^m \cdot g(t)[/mm] und [mm]g(\lambda) \ne[/mm] 0.
>
> Dann sind m und g eindeutig bestimmt und m heisst die Vielfachheit der Nullstelle [mm]\lambda[/mm] von f.
Doch. Vielleicht sollte man noch sagen, dass [mm]g \in K[t][/mm] was ich irgendwo im Thread noch gesagt habe. Ansonsten ist das eine Definition der Nullstelle zumindest laut Fischer. Beachte, dass meine Definition das "max" benutzt und damit muss ich nicht mehr beachten, dass [mm]g(\lambda) \not = 0[/mm], denn das sieht man durch das "max" direkt.
Das kann man noch mit folgendem Satz deutlich machen:
Sei [mm]\lambda \in K[/mm] eine Nullstelle von [mm]f \in K[t][/mm], so gibt es eindeutig bestimmtes [mm]g \in K[t][/mm] mit
1) [mm]f = (t - \lambda) \cdot g[/mm]
2) [mm]deg g = (deg f) -1 [/mm].
Jetzt betrachten wir nochmal meine Definition. Würde [mm]g(\lambda) = 0[/mm] sein, dann würde [mm]\lambda[/mm] eine Nullstelle von [mm]g[/mm] sein. Und somit kriegen wir mit meinem Satz [mm]g = (t-\lambda) \cdot g'[/mm]. Damit haben wir insgesamt [mm]f = (t - \lambda)^r \cdot (t-\lambda) \cdot g'[/mm]. Dann hätten wir also [mm]r+1[/mm], aber [mm]r[/mm] ist doch "max" also Widerspruch.
>
> FRED
> >
> > Den Beweis des ersten Teils verstehe ich. Für den Beweis des zweiten Teils habe ich folgendes stehen:
> >
> > "Um die Vielfachheiten von [mm]\lambda[/mm] und [mm]\overline{\lambda}[/mm] zu vergleichen, genügt es für jedes [mm]k \in \mathbb{R}[/mm]
> >
> > [mm]u(f;\lambda) \ge k \Rightarrow u(f;\overline{\lambda}) \ge k[/mm] zu beweisen."
> >
> > Kann mir das bitte jemand Erklären? Warum muss ich das zeigen?
> >
> > Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
> > http://www.gute-mathe-fragen.de/217676/anzahl-der-mehrfachen-nullstellen-ermitteln
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:50 Di 17.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> > > Hallo,
> > >
> > > [mm]\mathbb{R}[t], \mathbb{C}[t][/mm] sind Mengen der Polynome. Ist [mm]f \in \mathbb{R}[t][/mm] und [mm]\lambda \in \mathbb{C}[/mm] eine Nullstelle von [mm]f[/mm], so ist auch die konjugiert komplexe Zahl [mm]\overline{\lambda} \in \mathbb{C}[/mm] eine Nullstelle von [mm]f[/mm].
> > >
> >
> >
> > Noch eine Bemerkung:
> >
> > > Und zweitens gilt [mm]u(f;\lambda)=u(f;\overline{\lambda})[/mm], wobei [mm]u(f;\lambda):=max\{r \in \mathbb{N}: f = (t - \lambda )^r \cdot g \}[/mm].
> >
> > Das ist doch keine Definition für die Vielfachheit der Nullstelle !
> >
> > Ist [mm]\lambda[/mm] eine Nullstelle von f, so gilt:
> >
> > es ex. ein m [mm]\in \IN[/mm] und ein g [mm]\in \IC[/mm] [t]mit:
> >
> > [mm]f(t)=(t - \lambda )^m \cdot g(t)[/mm] und [mm]g(\lambda) \ne[/mm] 0.
> >
> > Dann sind m und g eindeutig bestimmt und m heisst die Vielfachheit der Nullstelle [mm]\lambda[/mm] von f.
>
> Doch. Vielleicht sollte man noch sagen, dass [mm]g \in K[t][/mm] was ich irgendwo im Thread noch gesagt habe. Ansonsten ist das eine Definition der Nullstelle zumindest laut Fischer. Beachte, dass meine Definition das "max" benutzt und damit muss ich nicht mehr beachten, dass [mm]g(\lambda) \not = 0[/mm], denn das sieht man durch das "max" direkt.
Das brauchst Du mir nicht sagen. [mm]g \in K[t][/mm] hast Du vielleicht irgendwo im Thread noch gesagt, jedenfalls nicht in Deinem Eingangspost. Und da gehörts hin !
FRED
>
> Das kann man noch mit folgendem Satz deutlich machen:
> Sei [mm]\lambda \in K[/mm] eine Nullstelle von [mm]f \in K[t][/mm], so gibt es eindeutig bestimmtes [mm]g \in K[t][/mm] mit
> 1) [mm]f = (t - \lambda) \cdot g[/mm]
> 2) [mm]deg g = (deg f) -1 [/mm].
>
> Jetzt betrachten wir nochmal meine Definition. Würde [mm]g(\lambda) = 0[/mm] sein, dann würde [mm]\lambda[/mm] eine Nullstelle von [mm]g[/mm] sein. Und somit kriegen wir mit meinem Satz [mm]g = (t-\lambda) \cdot g'[/mm]. Damit haben wir insgesamt [mm]f = (t - \lambda)^r \cdot (t-\lambda) \cdot g'[/mm]. Dann hätten wir also [mm]r+1[/mm], aber [mm]r[/mm] ist doch "max" also Widerspruch.
>
> >
> > FRED
> > >
> > > Den Beweis des ersten Teils verstehe ich. Für den Beweis des zweiten Teils habe ich folgendes stehen:
> > >
> > > "Um die Vielfachheiten von [mm]\lambda[/mm] und [mm]\overline{\lambda}[/mm] zu vergleichen, genügt es für jedes [mm]k \in \mathbb{R}[/mm]
> > >
> > > [mm]u(f;\lambda) \ge k \Rightarrow u(f;\overline{\lambda}) \ge k[/mm] zu beweisen."
> > >
> > > Kann mir das bitte jemand Erklären? Warum muss ich das zeigen?
> > >
> > > Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
> > > http://www.gute-mathe-fragen.de/217676/anzahl-der-mehrfachen-nullstellen-ermitteln
> >
>
|
|
|
|
