Anzahl der Partitionen < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:08 Di 03.01.2012 | | Autor: | Sin777 |
| Aufgabe | | Die Anzahl der Partitionen einer natürlichen Zahl n in Summanden, die alle gerade sind, ist gleich der Anzahl der Partitionen von n/2. |
Ich komme mit dieser Aufgabe nicht ganz klar. Zunächst einmal sollte ich wohl davon ausgehen, dass n gerade ist, denn Partitionen sind ja nur für natürliche Zahlen (inklusive Null) definiert und dann macht n/2 keinen sinn. Also ist n=2k. Dann ist zu zeigen, dass
p*(2k)=p(k) mit p* ist die Anzahl der Partitionen die nur gerade Summanden enhält.
Ich habe schon die ganze zeit mit induktion rumprobiert aber finde einfach keinen Industionsschritt.
Hat vielleicht jemand einen Hinweis für mich?
Vielen dank im voraus
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Wenn die Summanden alle gerade sind, ist auch n gerade.
Stelle dir irgendeine Summe gerader Summanden vor, die n ergibt. Klammere nun 2 aus. In der Klammer steht nun eine beliebige Partition, die gerade n/2 gibt.
Hast du umgekehrt eine Partition, die n/2 ergibt, schreibe eine Klammer darum und setze den Faktor 2 davor. Dann hat das Ganze den Wert n. Löse nun die Klammer auf: Du erhältst lauter gerade Summanden, also eine Partition von n.
Zu jeweils 2 verschiedenen Partitionen von n erhältst du 2 verschiedene von n/2 und umgekehrt. Also ist die Anzahl der Möglichkeiten gleich.
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