Anzahl der Zwischenkörper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Mi 15.12.2010 | | Autor: | ThomasTT |
| Aufgabe | | Nun sei E/K eine Galois-Erweiterung. Es gelte [E:K]=21 und Gal(E/K) sei nicht zyklisch. Bestimmen Sie die Anzahl aller Zwischenkörper [mm] K\subseteq [/mm] L [mm] \subseteq [/mm] E. |
Ich habe nun erst einmal so angefangen:
Ich versuche nun die Anzahl aller Untergruppen von Gal(E/K) zu finden, denn dann kann ich nach dem Hauptsatz der Galoistheorie (siehe z.B. http://de.wikipedia.org/wiki/Galoistheorie#Hauptsatz_der_Galoistheorie) folgern, dass es genausoviele Zwischenkörper gibt.
Da [mm] [E:K]=21=7\cdot3 [/mm] die Ordnung der Galoisgruppe G:=Gal(E/K) ist, gibt es nach dem Satz von Lagrange lediglich Untergruppen H von G der Ordnung 1,3,7 oder 21. Sei nun k die Anzahl der Untergruppen H von G mit |H|=3. Dann erhalte ich aus dem dritten Sylowsatz, dass es genau eine Untergruppe H mit |H|=3 gibt. Analog für |H|=7 erhalte ich, dass es lediglich eine gibt. Für |H|=1 ist H={e} (neutrale Element in G) und für |H|=21 ist H=G.
Es gibt also 4 verschiedene Unterguppen: |H|=1 einmal, |H|=3 einmal, |H|=7 einmal, |H|=21 einmal. Aus dem Hauptsatz folgere ich nun, dass es demnach auch nur 4 Zwischenkörper gibt.
Ist das so richtig?
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Hallo,
Du hast Dich bei den Sylowsätzen vertan. Die Anzahl der Gruppen der Ordnung 3 ist größer.
Viele Grüße,
Tagesschau.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Mi 15.12.2010 | | Autor: | ThomasTT |
Also sei [mm] |G|=21=3\cdot7 [/mm] und k sei die Anzahl der Untergruppen H mit |H|=3.
Dann gilt: [mm] k\equiv1 [/mm] mod 3. Also ständen für k die Zahlen 1,4,7,10,... zur Wahl. Da aber k die Zahl 7 teilen muss, kann ich bloß k=1 wählen, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:44 Mi 15.12.2010 | | Autor: | andreas |
hallo,
teilt $7$ etwa $7$ nicht?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Mi 15.12.2010 | | Autor: | ThomasTT |
Oh, danke! Das stimmt natürlich. Aber bedeutet das nun, dass ich entweder genau 1 Untergruppe oder aber genau 7 Untergruppen mit |H|=3 habe? Oder kann ich in diesem allgemeinen Fall schließen, dass es 7 Untergruppen sind?
Gruß
Thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 Do 16.12.2010 | | Autor: | andreas |
hallo.
es gibt eine voraussetzung an [mm] $\operatorname{Gal}(E/K)$, [/mm] die du noch nicht verwendet hast. welche ist das? und welchen der beiden fälle schließt diese aus?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:12 Do 16.12.2010 | | Autor: | ThomasTT |
Also ich tippe jetzt mal darauf, dass du die Eigenschaft meinst, dass G:=Gal(E/K) nicht zyklisch ist. Und dem Post von tagesschau entnehme ich mal, dass es wohl 7 Untergruppen gibt und nicht bloß 1.
Aber wie schließe ich: Gal(E/K) nicht zyklisch --> 7 Untergruppen H mit |H|=3 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:36 Do 16.12.2010 | | Autor: | andreas |
morgen.
es gilt ganz allgemeien für eine endliche gruppe $G$: $G$ ist zyklisch genau dann, wenn $G$ zu jedem teiler seiner ordnung genau eine untergruppe dieser ordnung besitzt.
vielleicht hattet ihr ja solch einen satz. ansonsten hier ein ad hoc argument für das was dich interessiert, nämlich: besitzt eine gruppe $G$ der ordnung $21$ genau je eine untergruppe der ordnungen $3$ und $7$, so ist $G$ zyklisch.
zähle dazu einfach elemente: wieviele elemente der ordnungen $3$ bzw. $7$ gibt es in $G$? bleiben elemente übrig? welche ordnungen kommen für diese in frage?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Do 16.12.2010 | | Autor: | ThomasTT |
> es gilt ganz allgemeien für eine endliche gruppe [mm]G[/mm]: [mm]G[/mm] ist
> zyklisch genau dann, wenn [mm]G[/mm] zu jedem teiler seiner ordnung
> genau eine untergruppe dieser ordnung besitzt.
Leider hatten wir so einen Satz noch nicht.
> vielleicht hattet ihr ja solch einen satz. ansonsten hier
> ein ad hoc argument für das was dich interessiert,
> nämlich: besitzt eine gruppe [mm]G[/mm] der ordnung [mm]21[/mm] genau je
> eine untergruppe der ordnungen [mm]3[/mm] und [mm]7[/mm], so ist [mm]G[/mm] zyklisch.
Also die Folgerung ist mir nun klar:
Ich weiß bereits, dass ich nur eine Untergruppe der Ordnung 7 habe. Und wenn ich nun auch nur eine Untergruppe der Ordnung 3 hätte, würde folgen, dass G zyklisch ist. Da aber nach Voraussetzung G nicht-zyklisch ist, so muss es mehr Untergruppen als nur 1 gebe. Und weil nur noch die 7 zur Auswahl stand, gibt es also genau 7 Untergruppen der Ordnung 3.
> zähle dazu einfach elemente: wieviele elemente der
> ordnungen [mm]3[/mm] bzw. [mm]7[/mm] gibt es in [mm]G[/mm]? bleiben elemente übrig?
> welche ordnungen kommen für diese in frage?
Was raus kommen soll ist klar, aber ich verstehe leider immer noch nicht welche Elemente ich wie zähen soll. :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Do 16.12.2010 | | Autor: | andreas |
hallo.
deine folgerungen stimmen alle.
nun zur frage, warum die gruppe im fraglichen fall zyklisch ist: nehmen wir einfach zum beispiel mal wild an es gibt $3$ elemente der ordnung $3$. wenn du nun die von jedem dieser elemente erzeugte zyklische untergruppe betrachtest, so haben all diese untergruppen ordnung $3$. wieviele dieser untergruppen können maximal gleich sein? wenn man sich erinnert, dass es in der gruppe nur eine untergruppe der ordnung $3$ geben soll, wieviel elemente der ordnung $3$ (beziehungsweise $7$) gibt es dann?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 Fr 17.12.2010 | | Autor: | ThomasTT |
> nun zur frage, warum die gruppe im fraglichen fall zyklisch
> ist: nehmen wir einfach zum beispiel mal wild an es gibt [mm]3[/mm]
> elemente der ordnung [mm]3[/mm]. wenn du nun die von jedem dieser
> elemente erzeugte zyklische untergruppe betrachtest, so
> haben all diese untergruppen ordnung [mm]3[/mm]. wieviele dieser
> untergruppen können maximal gleich sein?
Sei [mm] G_1=\{a,a^2,a^3\} [/mm] wobei natürlich [mm] a^3=e, [/mm] dann [mm] G_2=\{a^2,a^4,a^6\}=\{a^2,a,a^3\}. G_1 [/mm] und [mm] G_2 [/mm] sind also gleich. Die Gruppe [mm] G_3 [/mm] erzeugt durch [mm] a^3 [/mm] ist dann lediglich das neutrale Element. Also können maximal 2 Untergruppen gleich sein, denn die dritte zyklische Untergruppe, die es "wilderweise" gibt, ist einfach irgendetwas anderes.
> wenn man sich erinnert, dass es in der gruppe nur eine untergruppe der
> ordnung [mm]3[/mm] geben soll, wieviel elemente der ordnung [mm]3[/mm]
> (beziehungsweise [mm]7[/mm]) gibt es dann?
Dann gibt es je nur ein Element der Ordnung 3 bzw. 7. Aber inwiefern hängt das mit deiner ersten Frage oben zusammen?
An sich gibt es doch sicher eine kurze Erklärung weshalb es hier (in meiner Aufgabe) genau 7 Untergruppen der Ordnung 3 gibt und nicht nur 1. Da wir den Satz (welchen du oben erwähnt hast) noch nicht hatten, kann ich in meiner Aufgabe ja nicht folgern "G nicht zyklisch --> sofort 7 Untergruppen". Ich habe das Gefühl nah dran zu sein, aber irgendwie hat der Zusammenhang noch nicht Klick gemacht. :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:52 Fr 17.12.2010 | | Autor: | andreas |
hallo.
ok, anders formuliert: jedes element der ordnung $3$ muss in der einzigen untergruppe der ordnung $3$ liegen. wieveiel elemente der ordnung $3$ gibt es damit in $G$? genau so für elemente der ordnung $7$.
welche ordnung(en) haben die elemente in $G$, die nicht ordnung $3$ oder $7$ haben?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Fr 17.12.2010 | | Autor: | ThomasTT |
Danke erstmal soweit. Man hat es echt nicht leicht mit mir. ^^
> ok, anders formuliert: jedes element der ordnung [mm]3[/mm] muss in
> der einzigen untergruppe der ordnung [mm]3[/mm] liegen. wieveiel
> elemente der ordnung [mm]3[/mm] gibt es damit in [mm]G[/mm]? genau so für
> elemente der ordnung [mm]7[/mm].
Es müsste dann 2 Elemente der Ordnung 3 geben. Das neutrale Element ist auch in der Gruppe der Ordnung 3, aber hat selbst ja bloß Ordnung 1.
> welche ordnung(en) haben die elemente in [mm]G[/mm], die nicht
> ordnung [mm]3[/mm] oder [mm]7[/mm] haben?
Ich würde tippen "unendlich", aber ich weiß es ehrlich nicht.
Zu felixf:
> Hier ist es doch so: du hast zwei zyklische Untergruppen
> [mm]H_1, H_2[/mm] von [mm]G[/mm] (der Ordnung 3 und 7), und du weisst dass es
> jeweils nur eine davon gibt. Damit sind beide Normalteiler,
> womit [mm]G \cong H_1 \times H_2 \cong \IZ/3\IZ \times \IZ/7\IZ \cong \IZ/21\IZ[/mm]
> ist, also zyklisch.
Woher weiß ich genau, dass die beiden Untergruppen Normalteiler sind, wenn es jeweils nur eine der Ordnung 3 und eine der Ordnung 7 gibt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Fr 17.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > ok, anders formuliert: jedes element der ordnung [mm]3[/mm] muss in
> > der einzigen untergruppe der ordnung [mm]3[/mm] liegen. wieveiel
> > elemente der ordnung [mm]3[/mm] gibt es damit in [mm]G[/mm]? genau so für
> > elemente der ordnung [mm]7[/mm].
> Es müsste dann 2 Elemente der Ordnung 3 geben. Das
> neutrale Element ist auch in der Gruppe der Ordnung 3, aber
> hat selbst ja bloß Ordnung 1.
Genau.
> > welche ordnung(en) haben die elemente in [mm]G[/mm], die nicht
> > ordnung [mm]3[/mm] oder [mm]7[/mm] haben?
> Ich würde tippen "unendlich", aber ich weiß es ehrlich
> nicht.
Sie muessen Ordnung 1 oder 21 haben. Schliesslich ist die Ordnung gleich der Anzah der Elemente in der vom Element erzeugten Untergruppe.
Und von Ordnung 1 gibt es nur ein Element, naemlich das neutrale.
> Zu felixf:
> > Hier ist es doch so: du hast zwei zyklische Untergruppen
> > [mm]H_1, H_2[/mm] von [mm]G[/mm] (der Ordnung 3 und 7), und du weisst dass es
> > jeweils nur eine davon gibt. Damit sind beide Normalteiler,
> > womit [mm]G \cong H_1 \times H_2 \cong \IZ/3\IZ \times \IZ/7\IZ \cong \IZ/21\IZ[/mm]
> > ist, also zyklisch.
> Woher weiß ich genau, dass die beiden Untergruppen
> Normalteiler sind, wenn es jeweils nur eine der Ordnung 3
> und eine der Ordnung 7 gibt?
Na, wenn $g [mm] \in [/mm] G$ ist und etwa [mm] $H_1$ [/mm] 3 Elemente hat, dann ist $g [mm] H_1 g^{-1}$ [/mm] ebenfalls eine Untergruppe von $G$ mit 3 Elementen. Da es nur eine davon gibt, ist $g [mm] H_1 g^{-1} [/mm] = [mm] H_1$ [/mm] fuer alle $g [mm] \in [/mm] G$, womit [mm] $H_1$ [/mm] ein Normalteiler ist.
Allgemein: Eine Untergruppe mit $n$ Elementen ist genau dann ein Normalteiler, wenn es genau eine Untergruppe mit $n$ Elementen gibt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Fr 17.12.2010 | | Autor: | ThomasTT |
> > Woher weiß ich genau, dass die beiden Untergruppen
> > Normalteiler sind, wenn es jeweils nur eine der Ordnung 3
> > und eine der Ordnung 7 gibt?
>
> Na, wenn [mm]g \in G[/mm] ist und etwa [mm]H_1[/mm] 3 Elemente hat, dann ist
> [mm]g H_1 g^{-1}[/mm] ebenfalls eine Untergruppe von [mm]G[/mm] mit 3
> Elementen. Da es nur eine davon gibt, ist [mm]g H_1 g^{-1} = H_1[/mm]
> fuer alle [mm]g \in G[/mm], womit [mm]H_1[/mm] ein Normalteiler ist.
>
> Allgemein: Eine Untergruppe mit [mm]n[/mm] Elementen ist genau dann
> ein Normalteiler, wenn es genau eine Untergruppe mit [mm]n[/mm]
> Elementen gibt.
Also: Es gibt nur eine Untergruppe der Ordnung 3 und eine der Ordnung 7. Außerdem sind beide Normalteiler. Außerdem gibt es 2 Elemente der Ordnung 3, 6 der Ordnung 7, 1 der Ordnung 1 und 12 der Ordnung 21. Bedeutet das dann, dass diese 12 Elemente der Ordnung 21 durch die 2 Elemente der Ordnung 3 und die 6 der Ordnung 7 erzeugt werden? Und wieso folgt dann, dass die Gruppe G zyklisch ist?
Danke soweit!
Gruß
Thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Fr 17.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Woher weiß ich genau, dass die beiden Untergruppen
> > > Normalteiler sind, wenn es jeweils nur eine der Ordnung 3
> > > und eine der Ordnung 7 gibt?
> >
> > Na, wenn [mm]g \in G[/mm] ist und etwa [mm]H_1[/mm] 3 Elemente hat, dann ist
> > [mm]g H_1 g^{-1}[/mm] ebenfalls eine Untergruppe von [mm]G[/mm] mit 3
> > Elementen. Da es nur eine davon gibt, ist [mm]g H_1 g^{-1} = H_1[/mm]
> > fuer alle [mm]g \in G[/mm], womit [mm]H_1[/mm] ein Normalteiler ist.
> >
> > Allgemein: Eine Untergruppe mit [mm]n[/mm] Elementen ist genau dann
> > ein Normalteiler, wenn es genau eine Untergruppe mit [mm]n[/mm]
> > Elementen gibt.
>
> Also: Es gibt nur eine Untergruppe der Ordnung 3 und eine
> der Ordnung 7. Außerdem sind beide Normalteiler. Außerdem
> gibt es 2 Elemente der Ordnung 3, 6 der Ordnung 7, 1 der
> Ordnung 1 und 12 der Ordnung 21. Bedeutet das dann, dass
> diese 12 Elemente der Ordnung 21 durch die 2 Elemente der
> Ordnung 3 und die 6 der Ordnung 7 erzeugt werden? Und wieso
> folgt dann, dass die Gruppe G zyklisch ist?
Ist $G$ eine Gruppe mit $n$ Elementen, so sind aequivalent:
(i) $G$ ist zyklisch;
(ii) $G = [mm] \langle [/mm] g [mm] \rangle$ [/mm] mit $g [mm] \in [/mm] G$;
(ii) es gibt ein Element $g$ in $G$ der Ordnung $n$.
Ueberleg dir mal, warum die einzelnden Aequivalenzen (i) [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] (ii) [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] (iii) gelten.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:07 Fr 17.12.2010 | | Autor: | ThomasTT |
Also ich danke euch erstmal für die Hilfe. Ich denke ich werde mir das jetzt nochmal alles ganz genau anschauen. Das wird hier sonst kein Ende nehmen. ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:51 Fr 17.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > es gilt ganz allgemeien für eine endliche gruppe [mm]G[/mm]: [mm]G[/mm] ist
> > zyklisch genau dann, wenn [mm]G[/mm] zu jedem teiler seiner ordnung
> > genau eine untergruppe dieser ordnung besitzt.
>
> Leider hatten wir so einen Satz noch nicht.
Hier ist es doch so: du hast zwei zyklische Untergruppen [mm] $H_1, H_2$ [/mm] von $G$ (der Ordnung 3 und 7), und du weisst dass es jeweils nur eine davon gibt. Damit sind beide Normalteiler, womit $G [mm] \cong H_1 \times H_2 \cong \IZ/3\IZ \times \IZ/7\IZ \cong \IZ/21\IZ$ [/mm] ist, also zyklisch.
LG Felix
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